REDIELUZ
ISSN 2244-7334 / Depósito legal pp201102ZU3769 Vol. 8 Nº 1 • enero - junio 2018: 89-95
(Dynamic model with GeoGebra to the study of secant and cosecant functions)
Jean Montero y Xiomara Arrieta
Centro de Estudios Matemáticos y Físicos, Facultad de Humanidades y Educación, Universidad del Zulia, Maracai- bo-Venezuela
jmontero865@hotmail.com, xarrieta2410@yahoo.com
El estudio de las funciones trigonométricas re- sulta ser muy complejo para los estudiantes de Educación Media, lo que dificulta su aprendizaje significativo. Este trabajo tuvo como objetivo des- cribir un modelo dinámico con el uso del GeoGebra para el estudio de las funciones secante y cosecan- te. La metodología utilizada es documental, de tipo descriptiva. Se consideró el concepto de inversión de figuras planas debido a su relación con todo par de magnitudes que son inversamente proporcio- nales, como es el caso de las razones secante y cosecante y sus recíprocas el coseno y seno de un ángulo. Se trabajó con las razones trigonométricas porque las mismas determinan el recorrido de las funciones trigonométricas y sus valores se pue- den visualizar fácilmente a través de las medidas de unos segmentos. El software GeoGebra es un recurso didáctico que proporciona un entorno di- námico ideal para interpretar geométricamente las razones trigonométricas, destacando el hecho de la posibilidad de variar el ángulo agudo que determi- na las longitudes de los segmentos representativos de dichas razones; esto permite visualizar que el rango de valores de la secante y la cosecante de un ángulo nunca está en el intervalo (-1,1), para ciertos valores dichas razones no están definidas, la secante es par y la cosecante es impar y am- bas son periódicas. Como consideración final se
destaca la importancia de incorporar recursos di- dácticos novedosos en el proceso de enseñanza y aprendizaje, permitiendo a los docentes apoyarse en las tecnologías, para facilitar en sus estudiantes el aprendizaje significativo de las funciones trigo- nométricas.
The study of trigonometric functions turns out to be very complex for Middle School students, which hin- ders their significant learning. The objective of this work was to describe a dynamic model with the use of GeoGebra for the study of secant and cosecant functions. The methodology used is documentary, descriptive. The concept of inversion of flat figures was considered due to its relationship with all pair of magnitudes that are inversely proportional, as is the case of the secant and cosecant ratios and their reciprocal the cosine and sine of an angle. We worked with the trigonometric ratios because they determine the path of the trigonometric functions and their values can be easily visualized through the measurements of some segments. The GeoGe- bra software is a didactic resource that provides an
Recibido: 18/04/2018. Aceptado: 01/06/2018
ideal dynamic environment to geometrically inter- pret the trigonometric ratios, highlighting the fact of the possibility of varying the acute angle that deter- mines the lengths of the representative segments of said ratios; this allows visualizing that the secant and cosecant value range of an angle is never in the interval (-1,1), for certain values such reasons are not defined, the secant is even and the cosecant is odd and both are periodic As a final consideration, the importance of incorporating innovative didactic resources in the teaching and learning process is highlighted, allowing teachers to rely on techno- logies to facilitate in their students the meaningful learning of trigonometric functions.
Las funciones trigonométricas resultan ser muy complejas para los estudiantes de Educación Me- dia, particularmente las funciones secante y cose- cante, cuyos recorridos están determinados por los valores de las razones homónimas. La compren- sión de estas funciones y sus características, se di- ficulta para los estudiantes debido quizá, al mayor énfasis que los docentes le dan al estudio de las funciones trigonométricas principales seno, coseno y tangente, además a las limitaciones que tiene el estudio de estas funciones en un ambiente estático, como el pizarrón, ya que se minimizan el universo de posibilidades de su enseñanza y aprendizaje; por lo que se hace necesario el uso de diversos recursos didácticos para promover el aprendizaje significativo en los estudiantes.
En un estudio previo, Díaz y Prieto (2013) han abordado el problema de la comprensión de los signos de las razones seno, coseno y tangente de un ángulo, desde un punto de vista geométrico y apoyados en entornos dinámicos. En su trabajo los autores muestran a través de segmentos asocia- dos a una circunferencia unitaria y cuyas longitudes coinciden con los valores de las razones menciona- das, algunas de sus características principales con la simple variación del ángulo agudo, todo esto rea- lizado con GeoGebra. Al replicar este análisis sobre la secante y cosecante de un ángulo se observa que las construcciones auxiliares sobre la circun- ferencia unitaria no representan una ayuda al mo- mento de determinar segmentos representativos a estas últimas razones.
Este problema fue superado incorporando al análisis un concepto matemático olvidado en los programas de Educación Media, como es la inver- sión en el plano, la cual consiste en la reflexión de un objeto respecto a una circunferencia, la misma es conocida como circunferencia de inversión, de- bido a que su centro y su radio son elementos de la inversión, el primero es denominado centro de inversión y el cuadrado del radio se conoce como potencia de la inversión.
El concepto de inversión es aplicable a cualquier par de magnitudes que se relacionen de manera inversamente proporcional, ya que una propiedad del mismo es que el producto de las distancias en- tre el centro de inversión y un punto dado y entre el mismo centro y el homólogo del punto reflejado es constante (Reventós, 2003).
Se conoce científicamente que la secante y la cosecante de un ángulo son las razones trigonomé- tricas recíprocas del coseno y el seno del mismo án- gulo, respectivamente, ya que están relacionadas de la siguiente manera: y
, es decir que los productos de la secante con el coseno y de la cosecante con el seno son constan- tes e iguales uno, el cual sería la potencia de la in- versión, si se utiliza la circunferencia unitaria como circunferencia de reflexión; en síntesis, la relación entre las razones trigonométricas y la inversión se
establece al asumir como circunferencia de inver- sión a la unitaria, ya que así la potencia de inver- sión es uno, que coincide con el producto de dos razones recíprocas.
El trabajo tuvo como objetivo describir un mode- lo dinámico con el uso del GeoGebra para el estu- dio de las funciones secante y cosecante.
La función secante es una función real de varia-
ble real que está definida por y = sec x, por lo que, sus pares ordenados están dados por (x, sec x); es decir, su recorrido está formado por los valores de la secante de un ángulo (Duarte et al., 2012).
Dominio: los reales, menos x = nπ/2, con n en- tero.
Recorrido: y ϵ
Periodicidad: es periódica de periodo 2π.
Ceros: no tiene ceros.
Paridad: es una función par, ya que sec x = sec (-x) y por lo tanto es simétrica con respecto al eje y.
Gráfica: su gráfica se muestra en la figura 1.
La función cosecante es una función real de va- riable real que está definida por y = csc x, por lo que sus pares ordenados están dados por (x, csc x); es decir, su recorrido está formado por los valores de la cosecante de un ángulo (Duarte et al., 2012).
Dominio: los reales menos α = nπ, con n en- tero.
Recorrido: y ϵ
Periodicidad: es periódica de periodo 2π.
Ceros: no tiene ceros.
Paridad: es una función impar, ya que –csc α = csc (-α) y por lo tanto es simétrica con respecto al origen.
Gráfica: su gráfica se muestra en la figura 2.
Figura 1. Gráfica de la función secante de un
ángulo, mediante GeoGebra
Fuente: Los autores (2018)
Figura 2. Gráfica de la función cosecante de un
ángulo, mediante GeoGebra
secante se muestra en la figura 3, donde se pueden
observar sus semejanzas y diferencias.
Figura 3. Comparación de las gráficas de las fun- ciones secante y cosecante de un ángulo, mediante GeoGebra
Fuente: Los autores (2018)
Al hablar de la secante y la cosecante de un án- gulo se hace referencia a las razones trigonomé- tricas recíprocas del coseno y el seno del mismo ángulo (Zill y Wright, 2011).
La secante y la cosecante de un ángulo por ser recíprocas del coseno y el seno del mismo ángulo pueden relacionarse con estas de la siguiente ma- nera: .
De las relaciones anteriores puede deducirse lo siguiente: la secante y la cosecante de un ángu- lo son inversamente proporcionales al coseno y al seno del mismo ángulo respectivamente, ya que al incrementarse una la otra disminuirá y viceversa.
Además, el rango de valores tanto de la secante como de la cosecante de un ángulo nunca está en el intervalo (-1,1).
El concepto de inversión se refiere a la reflexión de un objeto respecto a una circunferencia, la cual es conocida como circunferencia de inversión, como por ejemplo la inversión del segmento CD (fi- gura 4) (Reventós, 2003).
Fuente: Los autores (2018)
La comparación entre las gráficas secante y co-
Figura 4. Inversión del segmento CD.
Fuente: Los autores (2018)
Por estar involucrada una circunferencia, puede deducirse que tanto el centro como el radio de la misma son elementos de la inversión. El centro de la circunferencia es conocido como el centro de re- flexión o de inversión y tiene la propiedad de ser colineal con cualquier punto y su reflejo, también llamado homólogo, como por ejemplo la inversión del punto A (figura 5).
Figura 5. Inversión del punto A.
Fuente: Los autores (2018)
Otro elemento de la inversión es la potencia, la cual es igual al cuadrado del radio de la circunfe- rencia de inversión. Otra característica de la po- tencia de inversión es que es igual al producto de la distancia entre el centro de inversión y un punto dado y la distancia entre el mismo centro y el punto reflejado u homólogo, esto es:
Donde: O es el centro de reflexión, A es un punto dado, A’ es el reflejo de A y K es la potencia de la inversión.
De la ecuación anterior puede deducirse que la inversión es una relación de proporcionalidad inver- sa entre dos magnitudes, debido a que K es cons- tante y para que se mantenga así, al aumentar una
de las magnitudes necesariamente la otra tiene que disminuir proporcionalmente y viceversa.
Como se observó en el apartado anterior, la in-
versión es una relación de proporcionalidad inver- sa, por lo tanto, puede aplicarse a cualquier par de variables que compartan una relación de este tipo.
Se mostró que la secante y la cosecante de un ángulo son inversamente proporcionales al coseno y el seno de ese ángulo respectivamente, por lo tanto, su relación puede ser tratada por medio del concepto de inversión.
Las igualdades también pueden escribirse de la siguiente manera:
Puede notarse que las ecuaciones anteriores cumplen con la ecuación general de la inversión y que para cada caso K es igual a uno, por lo cual el radio de la circunferencia de inversión es uno.
El GeoGebra es un software libre de código abierto que puede ser utilizado desde los primeros años de educación hasta el nivel universitario (Ho- henwarter y Jones, 2007). Fue desarrollado como trabajo de tesis de maestría por Markus Hohenwar- ter en el año 2001, en la Universidad de Salzburgo, Austria. Combina las herramientas de la geometría, el álgebra, el cálculo, la estadística, entre otras áreas.
El GeoGebra se caracteriza por su dinamismo, lo que permite al usuario explorar relaciones entre los objetos, anticipar comportamientos y validar su conocimiento, y modelar situaciones problemáti- cas de Matemática y Física que impliquen Álgebra, Geometría y Cálculo, por lo cual se considera una herramienta valiosa para el desarrollo de actitudes y competencias en los estudiantes de estas cien- cias (García, 2011; Iturbe et al., 2012).
La metodología utilizada es documental de tipo descriptiva, ya que se revisaron diversas fuentes de información, y se describió un modelo dinámico que utiliza el software GeoGebra para el estudio de las funciones secante y cosecante de un ángulo con la finalidad de dar cumplimiento al objetivo planteado
en la investigación (Hernández et al., 2010).
Se parte de dibujar en el software GeoGebra, la circunferencia trigonométrica y un triángulo rectán- gulo cuya hipotenusa tiene sus vértices ubicados, uno en el centro de la circunferencia y el otro sobre la misma. El tercer vértice del triángulo se ubica so- bre el eje horizontal.
El trabajar de esta manera permite simplificar la comprensión de los objetos estudiados, debido a que los valores del coseno y del seno para el ángu- lo interior del triángulo en el vértice correspondiente al centro de la circunferencia, son iguales a las lon- gitudes de dos simples segmentos: el primero es el cateto adyacente al ángulo estudiado y el segundo es la proyección sobre el eje Y del cateto opuesto al mismo.
Por lo antes expuesto la simple inversión de los extremos no comunes de dichos segmentos res- pecto a la circunferencia trigonométrica, producirá dos puntos conocidos como homólogos de los pun- tos invertidos, los cuales al unirse al centro de la circunferencia generarán otros dos segmentos, uno horizontal y otro vertical, cuyas longitudes serán iguales a los valores de la secante y la cosecante respectivamente para dicho ángulo.
El procedimiento para el diseño del modelo diná- mico es el siguiente:
Se traza la circunferencia trigonométrica (herra- mienta: circunferencia dado su centro y su ra- dio, en el software GeoGebra).
Se ubica un punto cualquiera B sobre la circun- ferencia (herramienta: nuevo punto).
Se construyen por B perpendiculares a los ejes de coordenadas (herramienta: recta perpendi- cular).
Se determinan las intersecciones de las per- pendiculares con los ejes (C sobre el eje X y D sobre el eje Y) (herramienta: intersección de dos objetos).
Se ocultan las perpendiculares a los ejes (click derecho sobre la misma opción: muestra obje- to).
Se construye el triángulo rectángulo ABC (he- rramienta: polígono).
Se define el ángulo α en el vértice A del triángu- lo (herramienta: ángulo).
Se trazan los segmentos AC y AD correspon- dientes al coseno y al seno del ángulo α res- pectivamente y se les cambia su color para di- ferenciarlos (herramienta: segmento entre dos puntos y click derecho sobre los segmentos y la opción: propiedades de objeto).
Se invierten los puntos C y D respecto a la cir- cunferencia trigonométrica para obtener sus homólogos, los cuales se renombran como los puntos E y F respectivamente (herramienta: re- fleja objeto en circunferencia y click derecho so- bre los puntos y opción: renombra).
Se trazan los segmentos AE y AF correspon- dientes a la secante y a la cosecante del ángulo α respectivamente y se les cambia su color para diferenciarlos (herramienta: segmento entre dos puntos y click derecho sobre los segmentos y la opción: propiedades de objeto).
Se muestran las coordenadas de los puntos E y F, las cuales se corresponderán con los valo- res de la secante y la cosecante de α respec- tivamente (click derecho sobre los puntos, la opción: propiedades de objeto, luego opción: básica, muestra rótulo y nombre y valor).
Figura 6.Modelo dinámico final con el uso del
GeoGebra
Fuente: Los autores (2018)
Se sugiere a los estudiantes desplazar el punto B por toda la circunferencia; esto se puede llevar a cabo manualmente o activando la animación auto- mática del modelo, lo cual tiene por finalidad que los aprendices observen como varían las longitudes de
los segmentos representativos de la secante y la cosecante y a su vez sus medidas y por lo tanto noten que éstas no tomarán valores del intervalo (-1,1) por lo que los recorridos de sus funciones ho- mónimas son el conjunto. Esto puede observarse más claramente activando el rastro de los puntos E y F.
El desplazamiento del punto B también permitirá mostrar que las funciones estudiadas son periódi- cas, debido a que las variaciones de las longitudes de los segmentos se repetirán cada vez que dicho punto complete el recorrido sobre la circunferen- cia y se notará que sus períodos son 2π. Además, este desplazamiento generará que los estudiantes observen que para ciertos valores del ángulo α los segmentos se hacen muy grandes, por lo que di- chos valores de α no pertenecen a los dominios de las funciones secante y cosecante.
Para mostrar que la función secante es par y la función cosecante es impar se sugiere mover el punto B hasta alcanzar algunos valores de α y de sus simétricos, -α, para que los alumnos observen que sec α = sec (-α) y -csc α = csc (-α).
También se puede mostrar con el modelo diná- mico la proporcionalidad inversa que existe entre las razones trigonométricas recíprocas, ya que con la variación del ángulo α se notará que al incremen- tarse la longitud de los segmentos representativos del coseno y el seno del ángulo α, disminuye la lon- gitud de los segmentos que representan a la secan- te y la cosecante y viceversa.
Se destaca la importancia de incorporar re- cursos didácticos novedosos en el proceso de enseñanza y aprendizaje, permitiendo a los do- centes apoyarse en las tecnologías, para facili- tar en sus estudiantes el aprendizaje significati- vo de las funciones trigonométricas.
La aplicación del modelo dinámico permite es- tablecer relaciones entre conceptos matemáti- cos que no parecían estar vinculados, es decir, las razones trigonométricas y la inversión en el plano.
Con este modelo dinámico es posible realizar interpretaciones geométricas de las razones tri- gonométricas de la secante y la cosecante de un ángulo y por lo tanto de sus funciones ho- mónimas.
Con el entorno dinámico que proporciona el
GeoGebra se facilita la comprensión de las ca- racterísticas de la secante y la cosecante de un ángulo y de sus funciones homónimas, además de poderse representar gráficamente para dife- rentes valores del ángulo α, de manera indivi- dual o combinando entre ellas, para ver seme- janza y diferencias.
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