Universidad del Zulia - Facultad de Humanidades y Educación
Encuentro Educacional
ISSN 1315-4079 ~ Depósito legal pp 199402ZU41
Vol. 25 (2) julio-diciembre 2018 169-185
La planificación en la formación inicial de docentes de matemática:
un estudio de casos
Yaneth Ríos García
Centro de Estudios Matemáticos y Físicos. Facultad de Humanidades y Educación.
Universidad del Zulia. Maracaibo-Venezuela
yanriosgarcia@gmail.com
Resumen
Se han observado deficiencias en cuanto a la planificación de las clases de matemática en los
docentes en formación. Tomando como fundamentos teóricos la Educación Matemática Realista
(Bressan; Zolkower y Gallego, 2004 y Freudenthal, 1983), las clases planificadas quedan
estructuradas en 4 fases: presentación de la actividad, desarrollo de la actividad, formulación de
ideas y la institucionalización (Fe y Alegría, 2012), además de considerarse algunos
organizadores del currículo como: la fenomenología, la modelación, las representaciones externas
y la resolución de problemas (Segovia y Rico, 2001). El propósito de este trabajo fue caracterizar
las planificaciones de las clases de matemática bajo este enfoque, realizadas por los docentes en
formación, cursantes de la asignatura Didáctica Especial, del segundo período de 2017. La
metodología utilizada fue cualitativa, de tipo etnográfico-estudio de casos. Los resultados
mostraron que los futuros docentes presentan debilidades en las 4 fases de la planificación; las
preguntas generadoras de la fase 1 no consideraron algunos indicadores y fueron de bajo nivel
cognitivo; las fases 2 y 3 fueron trabajadas superficialmente, y la institucionalización se
caracterizó por el esquema tradicional de presentación de la definición y ejemplificación sin
considerar la actividad generadora de la fase uno por lo que no se evidenció el proceso de
modelación.
Palabras clave: Formación de docentes; planificación de una clase; tarea matemática; fases de
una clase.
Planning in initial training of mathematics teacher: a case study
Abstract
Deficiencies in the planning of mathematics classes have been observed in training teachers.
Taking as theoretical foundations the Realistic Mathematical Education (Bressan; Zolkower and
Gallego, 2004 and Freudenthal, 1983) the planned classes are structured in 4 phases: presentation
of the activity, development of the activity, formulation of ideas and institutionalization (Fe y
Alegría, 2012), in addition to considering some organizers of the curriculum such as:
phenomenology, modeling, external representations and problem solving (Segovia and Rico,
2001). The purpose of this work was to characterize the planning of mathematics classes under
this approach, performed by teachers in training, students of the Special Didactic subject of the
second period of 2017. The methodology used was qualitative, ethnographic-case study type. The
results showed that future teachers have weaknesses in the 4 phases of planning; the questions
that generate phase 1 do not considered some indicators and were of a low cognitive level; phases
2 and 3 are superficially worked, and institutionalization is characterized by the traditional
scheme of presentation of the definition and exemplification without considering the generating
activity of phase one, so the modeling process was not evident.
Keywords: Teacher training; class planning; math homework; class phases.
Introducción
Cualquier plan de formación de profesores de matemática considera el planificar, ya sea de
una clase, una unidad didáctica o un curso, como una de las competencias más importantes a ser
adquirida por un docente. Igualmente los diferentes modelos asociados al conocimiento didáctico
o pedagógico del profesor de matemática (Ball; Thames y Phelps, 2008; Pino y Godino, 2015;
Pino; Assis y Castro, 2015; Aguilar et al., 2013 y Da Ponte, 2011) en sus diversas dimensiones:
conocimiento de la materia (común, especializado, y de horizonte), conocimiento pedagógico
(general y específico), conocimiento de los alumnos, conocimiento del currículo, entre otros,
implícitamente suponen la planificación como un conocimiento indispensable del quehacer
docente (Gómez, 2007).
Por tal razón, la planificación es la herramienta por excelencia que debería utilizar el docente
para concretar la clase de matemática (Rico et al., 2008). En ésta se consideran elementos
formales tales como los objetivos a ser logrados por los estudiantes, los contenidos a ser
aprendidos, la metodología empleada por el docente para que los estudiantes logren el
aprendizaje y la evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje. Indudablemente estos
elementos son importantes, pero a la hora de ejecutar la clase son tan generales, que los docentes
en formación manifiestan que estas planificaciones no responden a la realidad del aula.
Producto de la experiencia que tiene la investigadora de este trabajo desde el año 2008 con
pasantes docentes en el área de matemática e investigaciones realizadas (Ríos, 2008, 2010), se ha
observado que los docentes en formación presentan inquietudes con respecto al accionar
educativo, que se traducen en preguntas como: ¿qué contenidos debo trabajar con mis alumnos?,
¿cómo debo secuenciar estos contenidos?, ¿qué situaciones reales puedo trabajar para explicar
estos contenidos?, ¿cómo lograr que los estudiantes conecten los contextos con los contenidos
matemáticos?, ¿qué preguntas puedo hacer para lograr que los alumnos modelen los contenidos
matemáticos a aprender?, ¿qué tareas pueden desarrollar los estudiantes en la clase?, ¿cómo
selecciono y estructuro las clases para que el alumno alcance los objetivos, competencias o
indicadores planificados?, ¿cuáles son los posibles errores, dificultades y obstáculos que pueden
presentar los estudiantes?, ¿cómo debo trabajar con los estudiantes sus errores, dificultades y
obstáculos?, ¿cuáles son las representaciones externas asociados a los objetos matemáticos que
trabajaré en la clase?, ¿qué recursos puedo utilizar?, ¿cómo los puedo utilizar?, ¿cómo evaluar si
todos los estudiantes lograron los objetivos planteados?, entre tantas interrogantes que se
plantean.
Cuando se indaga con los informantes de las investigaciones de Ríos (2008) y se confronta
esta información con el pensum de la carrera (8 semestres), se observa que la Licenciatura en
Educación, mención Matemática y Física, presenta solo tres asignaturas (de las 43 del pensum)
que contemplan el desarrollo de competencias asociadas a la planificación. En el tercer semestre
cursan “Planificación Educativa”, en el cuarto semestre “Evaluación” y en sexto semestre
“Didáctica Especial”. En las dos primeras unidades curriculares se trabajan lineamientos
generales de la planificación correspondientes a la rama de la Pedagogía, y en la última
asignatura se aplica las dos primeras asignaturas en la planificación de algunas clases de
matemática. La investigadora de este trabajo es profesora de la asignatura Didáctica Especial, por
lo que ha podido evidenciar las inquietudes de los docentes en formación que se traducen
igualmente en las preguntas mencionadas en párrafos anteriores.
Por otro lado, la experiencia que tuvo la autora de este trabajo en un proyecto de formación de
docentes en el área de matemática llevado a cabo con Fe y Alegría (2012-2014) le permitió
considerar un esquema diferente en cuanto a las planificaciones, por lo que le pareció
conveniente implementarlo en la asignatura de Didáctica Especial. En este sentido, pensamos que
la secuencia de una clase, y por ende la planificación, debe considerar por parte del docente,
algunos organizadores del currículo (Segovia y Rico, 2001), y por parte del alumno, las
actividades matemáticas deben permitirle la modelación matemática.
Por tal motivo, considerando lo anteriormente descrito, el propósito de este trabajo fue
caracterizar las planificaciones de las clases de matemática bajo este enfoque, realizadas por los
docentes en formación, cursantes de la asignatura Didáctica Especial, del segundo período de
2017.
Fundamentación teórica
La fundamentación teórica de esta investigación la componen dos elementos: fases de una
clase de matemática y principios de la Matemática Realista.
Fases de una clase de matemática
Para efectos de esta investigación las fases que deben ser consideradas en la planificación son
las consideradas en un proyecto previo desarrollado con Fe y Alegría (2012) por la autora de este
artículo; las fases son:
a) Presentación de la actividad: el profesor introduce la tarea y se asegura de que los estudiantes
la comprendan y entiendan las preguntas generadoras y cuáles son las acciones a ejecutar para
darle solución a la situación problema.
La tarea matemática es una situación problema, la cual se considera el punto de partida de la
actividad matemática del alumno en aula. Está centrada en un fenómeno (Freudenthal, 1983) que
debe generar una secuencia de acciones por parte del docente y del alumno que permitan dar
cumplimiento de alguna(s) competencia(s), donde se pongan en práctica conceptos,
procedimientos, y representaciones asociadas a algún contenido matemático.
La tarea está compuesta de un planteamiento inicial de contexto y unas preguntas generadoras:
el planteamiento inicial gira en torno a un fenómeno que tiene como propósito motivar al
estudiante a través de las posibles aplicaciones del contenido matemático a desarrollar; en este
sentido el alumno tendrá que desarrollar procesos de pensamiento que le permitan conectar la
situación con sus conocimientos previos matemáticos para darle solución al problema.
Las preguntas generadoras tienen como propósito centrar la atención del alumno en los
aspectos matemáticos presentes en la situación problema planteada, lo cual permitirá el proceso
de modelación de algún concepto, procedimiento, o propiedad asociado a un objeto matemático.
b) Desarrollo de la actividad: en esta fase los protagonistas son los estudiantes, ellos resuelven la
actividad, el profesor sólo hace el seguimiento y aclara las dudas que se presenten mediante
preguntas orientadoras. En la planificación debe incluirse hipotéticas dificultades de los
estudiantes en la resolución de la tarea y estrategias de acción para superar los obstáculos que se
presenten, preguntas orientadoras que guíen a los estudiantes en sus rutas de aprendizaje.
c) Formulación de ideas: está orientada a que los alumnos socialicen las respuestas encontradas
a las preguntas planteadas en la tarea, mientras el profesor se dedica a recabar y organizar la
información para su posterior validación. En la planificación, se deben tener presente distintas
formas de resolución de la tarea, y distintas representaciones que puedan ayudar en la
comprensión del problema.
d) Institucionalización: supone la formalización, por parte del docente, de los conceptos,
procedimientos y representaciones del contenido matemático que han surgido de las respuestas de
los alumnos a la tarea. El profesor gestiona la comunicación matemática que se produce en el
aula, siendo capaz de identificar y sintetizar las ideas más importantes, así como formular
preguntas que inviten a explorar y producir explicaciones. En la planificación de esta fase el
profesor debe estar atento a distintos aspectos como: los conocimientos necesarios para nuestros
estudiantes, cómo hacer la construcción de ese conocimiento a partir de las ideas planteadas por
los estudiantes y en qué puntos del contenido se debe hacer énfasis durante la conclusión.
Principios de la Matemática Realista
Es importante precisar que la clase de matemática, al igual que la planificación, se apega a los
Principios de la Matemática Realista (Bressan; Zolkower y Gallego, 2004), donde el aprendizaje
de esta ciencia está considerado como una actividad social (principio de la actividad) pues la
interacción lleva a la reflexión (principio de la interacción) y al logro de niveles de comprensión
más complejos (principio de niveles), la enseñanza debe estar conectada a la realidad (principio
de la realidad) y esta realidad puede relacionarse con contenidos matemáticos y estos a la vez
relacionarse con otros contextos (principio de interconectividad), los alumnos deben reinventar
modelos, conceptos, operaciones y estrategias a partir de problemas contextualizados (principio
de la reinvención).
La clase de matemática está concebida para que los alumnos logren diferentes niveles de
matematización y comprensión (Bressan et al., 2016). En este sentido podemos observar que las
fases de la clase se acoplan a estos niveles de la siguiente forma: La matematización horizontal
se logra en las primeras dos fases, donde los alumnos interpretan la situación inicial (fase uno) y
apoyándose en conocimientos previos, sentido común y conocimiento informal, pueden describir
la matemática involucrada en la situación, descubriendo regularidades, relaciones y analogías
(fase dos); en estas dos fases los alumnos lograrían el nivel situacional de comprensión.
La matematización vertical se logra en las tres últimas fases; en la segunda fase los
estudiantes se apropian de representaciones, gráficos, esquemas, notaciones, conceptos y
procedimientos personales logrando el nivel referencial; en la tercera fase los alumnos podrán
generalizar lo utilizado en la fase anterior para aplicarlo en otros contextos logrando el nivel
general; y en la cuarta fase se comprenden los conceptos, procedimientos y representaciones
matemáticas logrando el nivel formal.
Metodología
La metodología aplicada en el estudio fue de tipo cualitativa pues lo que pretendimos fue
caracterizar las planificaciones de los estudiantes, comprender la secuencia instruccional
desarrollada por los futuros docentes, establecer la coherencia entre las diferentes fases, evaluar
cómo se desarrollan las diferentes fases de las planificaciones, entre algunas cosas. Tratamos de
comprender una parte del proceso educativo desde la visión de los futuros docentes en
matemática en el contexto de la una asignatura cuyo propósito es enseñarlos a planificar.
Considerando la clasificación que hacen Hernández; Fernández y Baptista (2014) de los
diseños de investigación cualitativa, este estudio se enmarcó en el diseño etnográfico pues nos
interesó describir una de las herramientas primordiales de los docentes en general, como lo es la
planificación; y dentro de este diseño trabajamos con el estudio de casos para profundizar en esta
caracterización.
Los informantes claves fueron estudiantes de la Licenciatura en Educación, mención
Matemática y Física de la Universidad del Zulia cursantes de la asignatura Didáctica Especial
(segundo período de 2017), ubicada en el sexto semestre de la carrera (consta de 8 semestres).
Para efectos de este estudio se escogieron las planificaciones de dos informantes (E1 y E2).
Los contenidos desarrollados por cada estudiante en fueron asignados por la investigadora; estas
planificaciones fueron presentadas por los estudiantes en una primera versión, la investigadora
realizó algunas observaciones y fue regresada a ellos para realizar las respectivas correcciones. El
estudio se realizó con la segunda versión de ambos trabajos.
Para el análisis de la información se consideraron como categorías de análisis las fases de la
clase, las cuales se caracterizaron en función de sus propiedades y sub-propiedades (ver cuadro
1). Aunque en el cuadro no se explicita, cada principio se encuentra en cada una de las fases de la
clase.
Cuadro 1. Operacionalización de las categorías de análisis
Categorías
Propiedades
Sub-propiedades
Presentación de la
actividad
Caracterización de
la tarea
Relación con las
competencias,
indicadores y
contenido
Relación de la tarea con las competencias e indicadores
declarados.
Relación de la tarea con los contenidos.
Partes de la tarea
Relación preguntas generadores e indicadores
Comprensión de la tarea y las preguntas generadoras
Fenomenología
Descripción del fenómeno.
Tipo de fenómeno (personal, científico).
Nivel de
complejidad
Logro del nivel situacional (comprensión).
Desarrollo de la
actividad
Dificultades
hipotéticas de
estudiantes y
posibles estrategias
de acción
Descripción de posibles errores y obstáculos de alumnos.
Descripción de las posibles estrategias de acción por
parte de los estudiantes.
Conexiones con conocimientos previos.
Logro de los niveles situacional, referencial y general.
Formulación de
ideas
Posibles soluciones
y representaciones
externas
Descripción de las posibles soluciones de los alumnos.
Descripción de las posibles representaciones externas
utilizadas por los alumnos.
Logro del nivel situacional, referencial y general.
Posibles modelos a utilizar en la solución.
Institucionalización
Procesos de
conceptualización
Definición los conceptos.
Establecimiento de propiedades.
Logro del nivel formal.
Uso de
representaciones
externas
Tipos de representaciones externas (verbal, escrita,
numérica, gráfica, simbólica).
Operaciones cognitivas asociadas a las transformaciones
entre representaciones.
Logro del nivel formal.
Modelación
Relación entre el problema y conceptos matemáticos
(matematización horizontal).
Construcción de los conceptos y procedimientos a partir
de la actividad generadora (matematización vertical)
Planteamiento de otros contextos donde se aplican estos
conceptos.
Logro del nivel formal.
Fuente: La autora (2018)
Resultados y discusión
Las planificaciones analizadas fueron realizadas para los niveles de primer año de educación
media, para niños cuyas edades están comprendidas en 12 y 13 años. E1 presentó los contenidos
de: interpretación de la fracción como parte todo reparto cociente y E2 trabajó los contenidos de:
múltiplos, divisores, descomposición de factores primos, números primos y compuestos
Presentación de la actividad. Caracterización de la tarea
Aunque la tarea se relaciona con la competencia e indicadores, se observó en ambos casos que
no se consideran algunos contenidos en las preguntas generadoras, donde además estas no son
preguntas de alto nivel cognitivo que permiten la reflexión por parte del alumno. Las preguntas
generadoras de ambos consideran vagamente los indicadores conceptuales y procedimentales.
Los indicadores conceptuales establecidos por E1 explicitan las nociones de parte todo y
reparto, no así los indicadores procedimentales como se puede observar en la ilustración 1.
Ilustración 1. Indicadores de E1
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
En la actividad propuesta por E1 (ver ilustración 2) se entiende que ambas situaciones se
asocian a la interpretación de reparto y la respuesta la identificamos con la interpretación de parte
todo. Se observa que las preguntas generadoras no inducen al alumno a reflexionar en la
diferenciación de ambas interpretaciones; en este sentido quizás la última pregunta fue pensada
INDICADORES DE APRENDIZAJE
CONCEPTUALES :
Define la fracciones como todo y como reparto
Identifique las fracciones como reparte
Interpreta el significado del denominador y numerador en parte todo y reparto
PROCEDIMENTAL
El estudiante escribirá al lenguaje temático diferentes situaciones donde se involucren las
fracciones
Utilización de las fracciones en distintos contexto
ACTITUDINALES
Exteriorizar la santificación al relacionar los temas aprendidos con sistemas de la vida real
Trabajar de forma activa en clase en pareja
Participa en forma activa en la clase
en estos términos, pero no queda claro. Por otro lado, la situación presentada no trabaja la noción
de cociente.
Ilustración 2. Situación generadora de E1
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
Los indicadores conceptuales establecen los cuatro conceptos que trabajó E2 en la clase:
divisor, múltiplo, número primo y compuesto; por otro lado, los indicadores procedimentales no
explicita procesos asociados a la determinación de múltiplos y divisores asociado a un número
entero (ver ilustración 3).
Ilustración 3. Indicadores de E2
Fuente: Extraído de la planificación de E2 (2017)
INDICADORES DE APRENDIZAJE:
CONCEPTUALES:
Definición de múltiplos y divisores.
Diferencia las propiedades de los múltiplos y divisores.
Distingue si un número es primo o compuesto.
PROCEDIMENTALES:
Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro número dado.
Aplica las estrategias para la descomposición de números en factores primos.
ACTITUDINALES:
Participación en forma activa en clases.
Respeto mutuo entre docente-alumno.
Trabajar en forma activa en clases.
Realiza la tarea asignada.
Situación 1
En una fiesta se reparte equitativamente una pizza entre 8 niños y si reparten también dos
barras de chocolate para cada uno de los niños. Ana se lleva su parte de la pizza a su casa y la
comparte equitativamente con sus dos hermanos y las dos barras de chocolates para
compartirlas también
a) Representa gráficamente
b) ¿Qué parte de la pizza se llevo Ana para su casa? y represéntalo gráficamente
c) ¿Qué parte de ese pedazo de esa pizza se comerá? Represéntalo gráficamente
d) ¿Que representa las pares de la fracción? Identifícalos en la fracción
e) ¿qué cantidad le tocara a cada uno de cada barra de chocolate por igual? Represéntalo
gráficamente
f) ¿Qué cantidad le tocara en total a cada niño de la barra de chocolate? represéntalo
gráficamente
g) En total cuantos pedazos se dividió las barras de chocolate en forma de fracción
h) Porque la representación graficas de la torta y de los chocolates no fue la misma
¿explique
En ambas actividades propuestas por E2 (ver ilustración 4) se observa que la noción de
múltiplo y divisor están implícitas en la solución de ambas situaciones, pues mediante divisiones
pueden resolverse; las preguntas no son de alto nivel cognitivo pues este tipo de actividades son
propicias para trabajarlas con niños de tercer grado de primaria (edades comprendidas entre 9 y
10 años), como bien lo señala E2 en su planificación. Por otro lado, las preguntas generadoras no
se relacionan con los conceptos de primo, compuesto y descomposición de factores primos.
Ilustración 4. Situación generadora de E2
Fuente: Extraído de la planificación de E2 (2017)
Los informantes solamente explicitan la tarea, pero no explican cómo han de cerciorarse que
esta se entiende, en caso de presentarse dificultades en la comprensión de las preguntas cómo lo
trabajarán o en caso de presentar deficiencia con respecto a los conocimientos previos cómo lo
subsanarán.
En cuanto a la fenomenología, E1 plantea una situación donde se hacen repartos de torta y de
chocolates y E2 plantea dos situaciones donde se reparte un conjunto de objetos en partes iguales.
Ambas situaciones son personales; estas son definidas por el informe Pisa (OCDE, 2003) como
aquellas que están relacionadas con la vida diaria del estudiante y lo afecta inmediatamente.
Desarrollo de la actividad
Los informantes en general aún y cuando explicitan la forma cómo los alumnos resolverán la
actividad (ya sea individualmente o en grupo o pareja), y se sugiere aclarar las dudas de los
estudiantes, no se explican las posibles dificultades que se pueden presentar ni las posibles
A continuación se te presentan las siguientes situaciones que debes resolver en 10 minutos.
Luego de ello, haremos una puesta en común sobre las respuestas encontradas.
SITUACION 1: ¿Cómo se pueden distribuir 240 franelas en 10 gavetas si en cada una de ellas
debe ser el mismo número de franelas?
SITUACION 2: Luisa desea repartir 8 bolígrafos entre varias personas y quiere darle el mismo
número de bolígrafos a cada una de ellas. ¿De cuantas formas puede hacerlo? Luis tiene 7
lápices y quiere hacer lo mismo que Luisa, repartir los lápices entre varias personas y dar a cada
una la misma cantidad. ¿De cuantas formas puede hacerlo?
estrategias de acción ni las conexiones que se deben establecer con los conocimientos previos,
como lo podemos observar en las ilustraciones 5 y 6.
Formulación de ideas
Aunque esta fase aparece en la planificación integrada con la fase 4 por ambos informantes,
como se observa en las ilustraciones 7 y 8, no se encuentra presente en el plan, pues no se
describen las posibles soluciones o representaciones externas utilizadas por los alumnos.
Ilustración 7. Formulación de las ideas de E1
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
Ilustración 8. Formulación de las ideas de E2
Fuente: Extraído de la planificación de E2 (2017)
Fase 3 y 4 formulación de ideas e institucionalidad
El docente con ayuda del alumno guiará a través de la técnica de preguntas a los alumnos para
responder de forma verbal y en pizarrón las situaciones planteadas de la actividad y en el caso que
estén incorrectas, la profesora seguirá con la técnica preguntas para que los alumnos se den cuenta
de las repuestas correctas
Luego la profesora le pedirá a un alumno que represente la grafica lo que hicieron en el cuaderno
FASE 3 Y 4: FORMULACION DE IDEAS E INSTITULIZACION
El docente guiará la discusión a través de la técnica de la pregunta. Los alumnos responderán de
forma verbal y en el pizarrón las situaciones planteadas.
El profesor explicara que cuando la división entre dos números es exacta, decimos que existe entre
ellas una relación de divisibilidad.
Ejemplo: 240 ÷ 10 = 24 entonces a es múltiplo de b y b es divisor de a.
Los múltiplos de un número son los que se obtienen al multiplicar dicho número por cualquier otro
número entero.
FASE 2: DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
TIEMPO: 10 MINUTOS
El alumno intentará resolver el problema de
manera grupal.
Ilustración 5. Desarrollo de la actividad de E1
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
Ilustración 6. Desarrollo de la actividad de E2
Fuente: Extraído de la planificación de E2 (2017)
Fase 2 Desarrollo de la actividad
En pareja el alumno responderá las
preguntas de las situaciones planteadas
Institucionalización
Con respecto a la conceptualización E1 trabaja con los contenidos asociados a las nociones de
parte todo, cociente y reparto de la fracción. Explica los significados del denominador y
numerador para parte todo y reparto (ver ilustración 9), explica en que consiste la noción de parte
todo y cociente (ver ilustración 10), no así la de reparto y no se establecen diferencias entre las
tres nociones. El nivel formal es logrado en la conceptualización de la noción parte todo y
cociente, no así la de reparto.
Ilustración 9. Significados del numerador y denominador de E1
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
Ilustración 10. Definición de cociente y parte todo trabajada de E1
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
E2 determina inicialmente el procedimiento para hallar los múltiplos y divisores de un número
natural, posteriormente define los números primos y compuestos (ver ilustración 11) y por último
establece el procedimiento para realizar la descomposición en factores primos de un número
entero. En todos los contenidos el docente establece la definición o procedimiento asociado a
cada concepto y luego ejemplifica cada uno. Por lo que se pudo observar el informante presenta
un esquema tradicional de la clase donde se presentan todas las definiciones formales y
posteriormente se ejemplifica cada uno.
El numerador: El número de arriba del símbolo a/b hace referencia a algunas de las
partes congruentes de la totalidad elegida, es decir numera algunas de las partes
denominadas de la totalidad. El numerador puede ser cero, pues en este caso no se
consideran algunas de las partes congruentes.
Denominador: el número de abajo de la expresión a/b indica, en término generales
denota o denomina, las partes congruentes (en referencia a su magnitud, no a su forma) en
que se divide la totalidad. En el caso de que b sea igual a 1, se interpreta que la unidad no se
ha dividido.
La fracción, bajo esta interpretación (parte todo), hace referencia a una relación entre un
número determinado de partes, y todas las partes congruentes en que ha sido dividida la
unidad.
El cociente en términos generales se entiende como el número que se obtiene al dividir
otros dos números.
Ilustración 11. Institucionalización de los conceptos de números primos y compuestos de E2
Fuente: Extraído de la planificación de E2 (2017)
Con respecto al uso de las representaciones externas, E1 utiliza las representaciones gráfica,
verbal y numérica para dar respuesta a las situaciones planteadas (ver ilustración 12). Utiliza la
noción de área de figuras geométricas (círculo, triángulo y rectángulo) para trabajar las nociones
de parte todo y reparto, no así la de cociente. En caso del reparto, se explica el proceso de la
repartición de forma verbal pero no gráfico. Utiliza la simbología algebraica para describir los
elementos de las fracciones. Trabaja simultáneamente las representaciones gráfica, verbal y
numérica para desarrollar las nociones de parte todo y reparto.
Ilustración 12. Algunas representaciones externas usadas por E1
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
Pizza completa trozo de pizza
1
8 1
3
las dos barras de chocolate
1
3 Para cada niño
Para un total 2
3 que le corresponde a cada niño
En este caso, donde las dos barras de chocolate que van
hacer repartido entre tres niños y como no se puede
dividir. Se hace es una repartición de cada unidad en
este caso de cada barra de chocolate y después se
sumaría las cantidades que le corresponde a cada niño y
así se lograría repartí de manera equitativa a cada niño
NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
Los números naturales son todos aquellos números naturales mayores que 1 que tiene como
divisores el mismo número y la unidad.
Son números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Para determinar si un número es primo o no, se divide entre todos los números primos menores que
él y si se llega, sin obtener cociente exacto, a una división inexacta en la que el cociente es igual o
menor que el divisor, el numero dado es primo. Si hay alguna división exacta, el número dado es
compuesto.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
Resolviendo la situación 2 se llega al análisis junto con los alumnos donde se logra resolver el
ejemplo diciendo que Luisa solo puede dar a cada persona 1, 2, 4 u 8 bolígrafos, y no puede dar 3
porque 3 no es divisor de 8. Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. Se puede escribir que 8= 1x8 = 2x4.
En el caso de Luis solo puede dar 7 lápices o 1 lápiz, porque los divisores del 7 son el 1 y el 7,
entonces se puede decir que: 7= 1x7. Los números como el siete, que solamente pueden escribirse
como el producto de 1 y él mismo, se llaman números primos.
E2 en general utiliza representaciones verbales y numéricas (ver ilustración 13). Al trabajar la
definición de múltiplo y divisor empieza con la representación verbal enunciando la definición en
cada caso y posteriormente presenta dos ejemplos; en el caso de la definición de divisor
complementa con una representación algebraica. Para el caso de los conceptos de primo y
compuesto después de presentar la definición de primo enumera los primeros 10 números primos
naturales y en el caso del número compuesto presenta todos los divisores del número 8. Lo
mismo ocurre con la descomposición de factores primos, presenta el algoritmo para determinar
los números primos que dividen a un número natural luego presenta un ejemplo, pero no escribe
el número como producto de las potencias de los números primos.
Ilustración 13. Representaciones externas usadas por E2
Fuente: Extraído de la planificación de E2
Con respecto a la modelación E1 desarrolla los conceptos de las nociones parte todo y reparto
a partir de la actividad planteada, no así la noción de cociente para la cual creó otra situación de
contexto como se observa en la ilustración 14. No ejemplifica en otros contextos los conceptos
trabajados.
El profesor explicara que cuando la división entre dos números es exacta, decimos que existe entre
ellas una relación de divisibilidad.
Ejemplo: 240 ÷ 10 = 24 entonces a es múltiplo de b y b es divisor de a.
Los múltiplos de un número son los que se obtienen al multiplicar dicho número por cualquier otro
número entero.
Ejemplo:
24 es múltiplo de 6 porque se puede obtener al multiplicar 6 por el 4.
30 es múltiplo de 15 porque se puede obtener al multiplicar 15 por el 2.
Los divisores de un numero son los números enteros obtenidos al dividir dicho número entre otro
número entero, que también será un divisor (la división debe ser exacta).
Ejemplo:
8 es divisor de 24, porque la división 24÷ 8 es exacta o porque 8 x 3 = 24
𝑎
𝑏= 𝑐 → a = b. c
Ilustración 14. Noción de cociente trabajada por E1 no relacionada a la situación generadora
Fuente: Extraído de la planificación de E1 (2017)
E2, de los cinco conceptos trabajados, solo dos son relacionados con las situaciones colocadas al
inicio de la clase. Ninguno de los conceptos y procedimientos es trabajado a partir de las
situaciones generadoras como se puede observar en la ilustración 15, y no se plantean otros
contextos donde pueden ser aplicados los conceptos trabajados.
Ilustración 15. Noción de la descomposición de factores primos trabajada por E2 no
asociada a la situación generadora
Fuente: Extraído de la planificación de E2 (2017)
Principios realistas
Ambos informantes se acoplan al principio de la interacción pues en la segunda fase establecen
que la actividad se desarrollará en grupo lo que permitirá la reflexión por parte de los alumnos;
por otro lado, también se manifiesta en sus planificaciones el principio de la realidad pues hacen
Si queremos repartir tres metros de cinta entre cuatro niñas, observamos que la
representación grafica de la situación es la misma, por lo que a cada niña le corresponden ¾ de
metro de cinta, con la diferencia que en esta situación podríamos dar la respuesta como 0,75
metros, es decir, 75 centímetros.
La respuesta de la primera situación no puede ser expresada en números decimales, sería
absurdo decir, 0,75 barras de chocolate.
DESCOMPOSICION DE NUMEROS EN FACTORES PRIMOS.
Descomponer un número en factores primos consiste en expresar como producto de números
primos dicho número. para ello debemos adoptar las siguientes reglas:
Se divide el número tantas veces como sea posible por el menor número primo que lo
divide.
A continuación se divide entre el divisor primo que le sigue y así sucesivamente hasta
obtener un cociente igual a 1.
El resultado de todos los divisores obtenidos son los factores primos del número dado, los
cuales serán expresados en forma de productos de potencia.
Fíjate como se descompone el número 360 en factores primos;
360
2
180
2
90
2
45
3
15
3
5
5
1
el intento de relacionar los contenidos con situaciones reales. No se encuentran evidencias del
principio de la actividad, de los niveles pues el nivel de complejidad de los problemas es
elemental, tampoco de la interconectividad ni de la reinvención.
Conclusiones
Al caracterizar las planificaciones de los docentes en formación se observaron debilidades en
todas las fases de la clase. En cuanto a la situación generadora presentada por ambos se
relacionan a las competencias y los indicadores fijados por los informantes, pero las preguntas
generadoras no consideran algunos contenidos e indicadores y por otro lado son de bajo nivel
cognitivo. Ambas situaciones problemáticas son personales.
El desarrollo de la actividad (fase 2) en ambas planificaciones solo explicita la forma de
trabajo de los estudiantes, pero no se explican las posibles dificultades que pueden presentar los
alumnos, ni las estrategias de acción ni las conexiones con los conocimientos previos. La fase 3
no es desarrollada por los informantes.
La institucionalización de ambos informantes se caracteriza por: una conceptualización
descontextualizada donde los docentes en formación no consideran la situación generadora ni las
posibles respuestas aportadas por los estudiantes y se mantiene el esquema tradicional de la
presentación de la definición y luego la ejemplificación; uso de varias representaciones externas
donde uno de los informantes utiliza con frecuencia las operaciones cognitivas entre ellas y el
otro informante los usa con menor frecuencia; el proceso de modelación no es logrado por los
informantes debido a que solo uno de ellos relaciona en algunos momentos la conceptualización a
la situación generadora y ninguno de los dos informantes aplica en otros contextos los contenidos
desarrollados.
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