Divulgaciones
Matemáticas
Universidad
del Zulia
Vol. 22 - 2021 - Nº 1
ISSN 1315-2068
Depósito legal: pp 199302ZU392
Maracaibo - Venezuela
Departamento de Matemática
Facultad
Experimental
de Ciencias
Divulgaciones Matemáticas
Revista Matemática de la Universidad del Zulia
Facultad Experimental de Ciencias
Departamento de Matemática
Revista arbitrada, publicada de forma digital, de libre acceso, indizada en Latindex, Word-
cat, Mir
@
bel, Mathematical Reviews, MathSci online/CD-ROM, Zentralblatt für Mathematik y
Revencyt. Se publica un volumen anual compuesto por dos números, que aparecen en junio y
diciembre.
Comité Eitorial
Dr. Vinicio Ríos (LUZ) Dr. Wilson Pacheco (LUZ)
Dr. Deivi Luzardo (LUZ)
Editor Jefe:
Dr. Tobías Rosas Soto (
trosas@demat-fecluz.org
)
Editores Asociados:
Dr. Vinicio Ríos, Dr. Wilson Pacheco
Editores Eméritos:
Dr. Alirio J. Peña P., MSc. Ángel V. Oneto R., Dr. José H. Nieto S., Dr.
Genaro González, Dr. Daniel Núñez.
Editore Fundadores:
Dr. Alirio J. Peña P., MSc. Ángel V. Oneto R.
Portada diseñada por Tobías Rosas Soto, basada en un diseño de Javier Adolfo Ortiz.
Dirección Postal:
Revista Divulgaciones Matemáticas
Departamento de Matemática
Facultad Experimental de Ciencias
La Universidad del Zulia - Apartado Postal 526
Maracaibo, Estado Zulia
Venezuela
Correo electrónico:
divulgaciones@demat-fecluz.org
URL:
divmat.demat-fecluz.org
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Depósito Legal pp 199302ZU392
Compuesta con L
A
T
EX y
AMS
-L
A
T
EX en el Departamento de Matemática de la Facultad Experi-
mental de ciencias, Universidad del Zulia.
c
1993 La Universidad del Zulia.
Universidad del Zulia
Maracaibo, Venezuela
DIVULGACIONES
MATEM
´
ATICAS
Vol. 22 2021 No. 1
Presentación
El Comité Editorial de
Divulgaciones Matemáticas
se complace en presentar el
Vol. 22
,
No. 1
,
2022
. Los artículos contenidos en el presente volumen fueron recibidos entre el segundo
semestre del año
2020
y durante el primer semestre del año
2021
, los mismos fueron evaluados
y aceptados para su publicación, antes de la edición del presente volumen.
Es importante notar que, a pesar de la poca demanda de artículos por parte de autores y la
complicada situación mundial con respecto a la pandemia de COVID-19 que se está viviendo,
en particular, en nuestro país Venezuela, la revista logró recibir trece (13) trabajos de los cuales
seis (6) no aprobaron la etapa de evaluación por los árbitros respectivos. De manera que en este
número se publican cinco (5) artículos en la sección de Artículos de Investigación, dos (2) artículo
en la sección de Artículos de Divulgación e Históricos y un manuscrito con la solución de dos
(2) problemas presentados en la sección de Problemas y Soluciones, presentando ésta tres nuevos
problemas para resolver propuesto en la Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe
2020, organizada por Panamá y realizada de manera virtual.
El trabajo editorial relacionado con este número es el resultado de mucho esfuerzo del Comité
Editorial y del Editor Jefe de la revista, miembros del Departamento de Matemática de la Fa-
cultad Experimental de Ciencias de la Universidad del Zulia. Los Editores queremos expresar
nuestro agradecimiento a todos aquellos que hicieron posible este volumen: a los autores de los
trabajos que se presentan, que dieron su voto de conanza a la revista; a los árbitros que eva-
luaron los artículos, cuya labor desinteresada permitió satisfacer los estándares de calidad de la
revista y mejorar sensiblemente la forma de los trabajos; al equipo editorial de
Divulgaciones
Matemáticas
; y en especial al Prof. José Heber Nieto por su aporte para la sección de
Pro-
blemas y Soluciones
. A todos, mil gracias.
Como ya se había informado, la revista está ahora en el portal de
Revistas Cientícas
y Humanísticas de la Universidad del Zulia (ReviCyHLUZ)
cuyo sitio web ocial es:
produccioncientificaluz.org
. Ahora los artículos están identicados con el membrete del
Sistema de Servicios Bibliotecarios y de Información de LUZ (SERBILUZ)
. Por
tanto, la revista tiene dos páginas web de uso ocial:
divmat.demat-fecluz.org
y
produccioncientificaluz.org
,
donde serán publicados los artículos y se podrán descargar de forma gratuita. Sin embargo, el
traspaso de los archivos a la plataforma de SERBILUZ se ha visto obstaculizado por proble-
mas en la misma plataforma, por lo cual se sugiere a los autores visitar la dirección principal:
divmat.demat-fecluz.org
. Todo esto con la nalidad de darle más expansión y reconocimiento
a la revista.
Por último, el Comité Editorial de
Divulgaciones Matemáticas
pide disculpas a los autores
de los artículos aquí publicados por el leve retraso en la publicación de este número y por los
inconvenientes que esto pudo haberles causados, les agradecemos su espera. Además, invitamos
a la comunidad matemática venezolana e internacional a seguir dándonos su voto de conanza
sometiendo sus trabajos en la revista para evaluación y posible publicación.
1
Dr. Tobías Rosas Soto.
1
Editor en Jefe de
Divulgaciones Matemáticas
y editor del presente número
Presentation
The Editorial Board of
Divulgaciones Matemáticas
is pleased to present the
Vol. 22
,
No.
1
,
2022
. The articles contained in this volume are those received during the second semester
of the year
2020
and during the rst semester of the year
2021
, wich ones were evaluated and
accepted for publication, before the edition of this volume.
It is important to note, that despite the low demand for articles by authors and the compli-
cated global situation regarding the COVID-19 pandemic that is being experienced, in particular,
in our country Venezuela, the journal could receive thirteen 13 works of which six (6) did not
approve the evaluation stage by the respective arbitrators. So, in this number are published ve
(5) articles in the Research Articles section, two (2) articles in the Expository and Historical Ar-
ticles section and a manuscript with the solution of two (2) problems presented in the Problems
and Solutions section, presenting this three new problems to solve proposed in the Mathematical
Olympiad of Central America and the Caribbean 2020, organized by Panama and held virtually.
The editorial work related to this issue is the result of the eorts of Editorial Board and
the Chief Editor, members of the Department of Mathematics of the Experimental Faculty of
Sciences from the University of Zulia. The Editors want to express their gratitude to all of those
who made this volume possible: to the authors of the presented works, who gave their vote of
condence to the journal; to the referees, who evaluated the articles with seless work, guar-
anteeing the quality standards of the journal and signicantly improving the way of working;
to the editorial team of
Divulgaciones Matemáticas
; and especially to Professor José Heber
Nieto, for his contribution to the
Problems and Solutions
section. To all of them, thanks a lot.
The journal is now in the portal of
Revistas Cientícas y Humanísticas de la Univer-
sidad del Zulia (ReviCyHLUZ)
wich ocial webpage is:
produccioncientificaluz.org
.
Now the articles are identify with the letterhead of
Sistema de Servicios Bibliotecarios y
de Información de LUZ (SERBILUZ)
. Furthermore, the journal have two ocial webpages:
divmat.demat-fecluz.org
and
produccioncientificaluz.org
,
where will be published the articles y it will may download in a free way. However, the transfer
of the les to the SERBILUZ platform has been hampered by problems in the same platform, for
which the authors are suggested to visit the main address:
divmat.demat-fecluz.org
. All these
with the purpose to give more expantion and recognition to the journal.
Finally, the Editorial Board of
Divulgaciones Matemáticas
ask for apologize to the au-
thors of the articles published here for the slight delay in the publication of this issue and for the
inconvenience that this may have caused them, we thank them for wait. Furthermore, we invite
the Venezuelan and international mathematical community to continue giving their support by
submitting their articles to our journal for evaluation and possible publication.
2
Dr. Tobías Rosas Soto.
2
Chief Editor of
Divulgaciones Matemáticas
and editor of the present volume
DIVULGACIONES MATEMÁTICAS
Vol. 22, No. 1, 2021
Contenido
(Contents)
:
Artículos de Investigación
(Research papers)
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional dierential masks for images.
Máscaras diferenciales fraccionarias de Caputo y Caputo-Fabrizio para la mejora de
imágenes.
Gustavo MBoro, Leandro Lau, Ana Morales
121
A note on the Banach contraction principle in b-metric spaces.
Una nota sobre el principio de contracción de Banach en b-espacios métricos.
Mohamed Akkouchi
2230
The graph of a base power
b
, associated to a positive.
El grafo potencia de base
b
, asociado a un entero positivo.
Daniel Brito, Oscar Castro, Lope Marín
3139
Inuence of physical exercise on the strengthening of immunity. Mathe-
matical model.
Inuencia del ejercicio físico en el fortalecimiento de la inmunidad. Modelo matemá-
tico.
Annia Ruiz- Daniela Rodríguez - Sandy Sánchez - Yuri Alcántara - Adolfo Fernández
- Isabel Martén - Antonio Ruiz
4051
A note on some forms of continuity.
Una nota sobre algunas formas de continuidad.
Zanyar Ameen
5263
Artículos de Divulgación e Históricos
(Expository and Historical papers)
Un breve recorrido histórico por el álgebra lineal y algunas de sus aplica-
ciones a la economía.
A short tour along the history of linear algebra and some of its applications to eco-
nomics.
Ana Martín, Concepción Paralera, Ángel Tenorio
6489
A proof of a version of Hensel's lemma.
Una prueba de una versión del lema de Hensel.
Dinamérico Pombo
9095
Problemas y Soluciones
(Problems and Solutions)
José H. Nieto S.
(Editor) 9698
7
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional
differential masks for images enhancement
M´ascaras diferenciales fraccionarias de Caputo y Caputo-Fabrizio para la mejora
de im´agenes
Gustavo Asumu MBoro Nchama (asumu@matcom.uh.cu)
Universidad Nacional de Guinea Ecuatorial (UNGE)
Malabo, Guinea Ecuatorial, Calle Hassan II
Leandro Daniel Lau Alfonso (leandro@icimaf.cu)
Instituto de Cibern´etica Matem´atica y F´ısica, ICIMAF
Calle 15, No. 551, entre C y D, Vedado, Habana 4, CP–10400, Cuba
Ana Luisa Morales Galloso (pedrosoaugusto584@gmail.com)
Facultad de Ciencias Medicas, Miguel Enr´ıquez
Ram´on Pinto y Ensenada Luyano, La Habana
Abstract
Image enhancement is one of the most important tasks in the field of image processing.
With the help of computer and programming languages many mathematical methods have
been implemented to improve the visual quality of an image. One of the most effective meth-
ods for this purpose is the histogram equalization. The construction of fractional differential
masks for images enhancement has also been proposed. In this paper, we propose a new
way of construction of fractional differential mask based on the Caputo and Caputo-Fabrizio
derivatives. The effectiveness of the proposed methods have been compared with the his-
togram equalization method and the multiplication of each pixel of an image by a constant.
The experiments results have shown superiority of the proposed methods, with better visual
quality and higher gray-level co-occurrence matrix values in four directions.
Key words and phrases: Contrast image enhancement, fractional calculus, fractional
differential mask.
Resumen
La mejora de im´agenes es una de las tareas m´as importantes en el campo del proce-
samiento de im´agenes. Con la ayuda de lenguajes inform´aticos y de programaci´on, se han
implementado muchos m´etodos matem´aticos para mejorar la calidad visual de una imagen.
Uno de los m´etodos m´as eficaces para este prop´osito es la ecualizaci´on del histograma. Tam-
bi´en se ha propuesto la construcci´on de m´ascaras diferenciales fraccionarias para la mejora
de im´agenes. En este art´ıculo, se propone una nueva forma de construcci´on de m´ascara di-
ferencial fraccional basada en las derivadas de Caputo y Caputo-Fabrizio. La eficacia de los
m´etodos propuestos se ha comparado con el m´etodo de ecualizaci´on del histograma y la
Received 9/12/2020. Revised 12/01/2021. Accepted 11/04/2021.
MSC (2010): Primary 34Axx; Secondary 65Lxx.
Corresponding author: Gustavo Asumu MBoro Nchama
2 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
multiplicaci´on de cada p´ıxel de una imagen por una constante. Los resultados de los expe-
rimentos han demostrado la superioridad de los m´etodos propuestos, con una mejor calidad
visual y valores de matriz de co-ocurrencia de nivel de gris m´as altos en cuatro direcciones.
Palabras y frases clave: Mejora de la imagen de contraste, c´alculo fraccional, M´ascara
diferencial fraccionaria.
1 Introduction
Digital image processing is a set of techniques applied to digital images with the aim of improving
their quality using a computer. For years, these type of techniques have been investigated and
used in applications for different tasks such as image enhancement, image restoration and image
edge detection, among others. For the image enhancement, various methods have been proposed:
Histogram Equalization (HE) is one of the best used methods for image enhancement. It is
provides better quality of images without loss of any information [12]. The multiplication of
each pixel of an image by a constant is also one of the effective methods to make image clearer.
Recently, many authors have proposed the construction of masks, for image enhancement, based
on fractional derivatives [38-47]. A fractional derivative is an integral operator which generalizes
the ordinary derivative, such that if the fractional derivative is represented by Dαthen, when
α=n, it coincides with the usual differential operator Dn[5]. Such kind of operators are defined
by the help of spaces as:
Definition 1.1. A function f: [a, b]→Ris said to be absolutely continuous on [a, b], denoted
by f∈AC[a, b], if given > 0 there exists some σ > 0 such that
n
X
k=1
|f(yk)−f(xk)|< .
whenever {[xk, yk] : k= 1,· · · , n}is a finite collection of mutually disjoint subintervals of [a, b]
with n
X
k
(yk−xk)< σ.
Definition 1.2. Let n∈Nand k= 1,2,· · · , n −1, the space ACn[a, b] is defined by
ACn[a, b] := {f: [a, b]→R:f(k)(t)∈C[a, b], f (n−1)(t)∈AC[a, b]}.
There are many definitions of fractional derivatives [42-4]. One of the most popular was
defined by Gronwald and Letnikov:
Definition 1.3. Let a, b ∈Rwith a<b,α > 0, f∈Cn[a, b]. The Gronwald-Letnikov (GL)
fractional derivative of order α, is given by
GLDα
atf(t) = lim
h→0+
1
hα
[x−a
h]
X
k=0
(−1)kα
kf(t−kh).(1)
where x−a
hdenotes the integer part of x−a
h.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 3
One of the inconveniences of Gronwald-Letnikov derivative is that the class of functions for
which this derivative is defined is very narrow. To overcome this inconvenience, Riemann and
Liouville proposed the following definition [17]:
Definition 1.4. Let a, b ∈Rwith a < b,α > 0, f∈ACn[a, b]. The Riemann-Liouville (RL)
fractional derivative of order α, is defined by
RLDα
atf(t) = 1
Γ(n−α)
dn
dtn
t
Z
a
(t−s)n−(α+1)f(s)ds.
Even though the RL approach overcomes the drawbacks related the GL definition and it has
been applied successfully in many areas of engineering, unfortunately, it leads to initial conditions
containing the limit values of the RL fractional derivative at the lower terminal t=a, for example
lim
t→a{RLDα−1
at f(t)}=b1,lim
t→a{RLDα−2
at f(t)}=b2, . . . , lim
t→a{RLDα−n
at f(t)}=bn.
In spite of the fact that initial value problems with such initial conditions can be successfully
solved mathematically, their solutions are practically useless, because there is no known physical
interpretation for such types of initial conditions. An alternative solution to this conflict was
proposed by M. Caputo [17]:
Definition 1.5. Let a, b ∈Rwith a<b,α > 0, f∈ACn[a, b]. The Caputo fractional derivative
of order α, is defined by
CDα
atf(t) = 1
Γ(n−α)
t
Z
a
(t−s)n−(α+1)f(n)(s)ds. (2)
For 0 < α ≤1 and a= 0, the numerical approximation of (2) takes the form
CDα
0xu(x) = 1
Γ(1 −α)Zx
0
(x−ξ)−αu0(ξ)dξ ≈1
Γ(1 −α)
N−1
X
k=0
(k+1)x
N
Z
kx
N
(x−ξ)−αu0(ξk)dξ. (3)
To describe material heterogeneity and structures with different scales which cannot be well
described by classical local theories or by fractional models with singular kernel, Caputo and
Fabrizio introduced a new fractional approach [7]:
Definition 1.6. Let a, b ∈Rwith a<b, 0 < α < 1, f∈AC1[a, b]. The Caputo-Fabrizio
fractional derivative of order α, is defined by
CF Dα
axu(x) = M(α)
1−αZx
a
e−α
1−α(x−s)u0(s)ds,
where M(α) is a function such that M(0) = M(1) = 1.
In [24], Losada and Nieto, suggested the following particular case
CF Dα
axu(x) = 1
1−αZx
a
e−α
1−α(x−s)u0(s)ds (4)
=1
1−αu(x)−e−α
1−αxu(a)−α
(1 −α)2Zx
a
e−α
1−α(x−τ)u(τ)dτ.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
4 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
Taking a= 0, formula (4) can be approximated as
CF Dα
0xu(x) = 1
1−αZx
0
e−α
1−α(x−ξ)u0(ξ)dξ ≈1
1−α
N−1
X
k=0
(k+1)x
N
Z
kx
N
e−α
1−α(x−ξ)u0(ξk)dξ. (5)
Fractional derivatives provide interesting possibilities for scientific fields such as anomalous diffu-
sion [40-23], circuit theory [3-43], image processing [33-26] and many others [1-29]. The purpose
of this paper is to improve the visual quality of dark images by using Fractional Differential
Masks in Caputo (FDMC) and Caputo-Fabrizio (FDMCF) senses. The remainder of this paper
is organized as follows: in section 2, we construct a fractional differential mask in the Caputo
sense, next, fractional differential mask in Caputo-Fabrizio sense is given in section 3. Section 4
presents the experimental results of the proposed methods. A conclusion is considered in section
5.
2 Prewitt fractional filter in the Caputo sense
The goal of this section is to costruct a fractional differential mask based on the Caputo derivative
definition. For this purpose, we first discretize numerically the Caputo derivative based on the
forward finite difference scheme in the interval [0, x] (analogously [0, y]). Let’s take a partition
of Nnodes of the interval [0, x], with step ∆x=x
N. Thus, there are N+ 1 nodes. The N+ 1
causal pixels can be given by
u0=u(0)
u1=u(x
N)
.
.
.
uk=u(kx
N)
.
.
.
uN=u(x),
For α∈(0,1), by approximating, we obtain
Z(k+1)x
N
kx
N
(x−ξ)−αu0(ξk)dξ ≈ukx+x
N−ukx
N
∆xZkx+x
N
kx
N
(x−ξ)−αdξ
=ukx+x
N−ukx
N
−(1 −α)(∆x)α(N−k−1)1−α−(N−k)1−α.(6)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 5
Then, taking (6) into (3), we have
CDα
0xu(x)≈1
(∆x)αΓ(2 −α)
N−1
X
k=0 u(k+ 1)x
N−ukx
N(N−k−1)1−α−(N−k)1−α
=1
(∆x)αΓ(2 −α)
11−αuN+21−α−2·11−αuN−1
+2·21−α−31−α−11−αuN−2
+(N−j−1)1−α+ (N−j+ 1)1−α
−2(N−j)1−αuj+· · · +(N−2)1−α
−2(N−1)1−α+N1−αu1
+(N−1)1−α−N1−αu0
.(7)
The anterior approximate difference of fractional partial differential on xand ycoordinates are
expressed as
CDα
0xu(x, y)≈1
(∆x)αΓ(2 −α)
11−αu(x, y) + 21−α−2·11−αu(x−1, y)
+2·21−α−31−α−11−αu(x−2, y)
+· · · +(N−1)1−α−N1−αu(x−n, y)
,(8)
and
CDα
0yu(x, y)≈1
(∆x)αΓ(2 −α)
11−αu(x, y) + 21−α−2·11−αu(x, y −1)
+2·21−α−31−α−11−αu(x, y −2)
+· · · +(N−1)1−α−N1−αu(x, y −n)
.(9)
As in a digital 2-Dgray image u(x, y), the shortest distance on xand ycoordinates is one pixel,
then we put ∆x= ∆y= 1, and from (7), we obtain N+ 1 coefficients ci(i= 0, . . . , N), which
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
6 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
depend on the fractional order α:
c0=11−α
Γ(2 −α),
c1=21−α−2·11−α
Γ(2 −α),
c2=2·21−α−31−α−11−α
Γ(2 −α),
.
.
.
cj=(N−j−1)1−α+ (N−j+ 1)1−α−2(N−j)1−α
Γ(2 −α),
.
.
.
cN=(N−1)1−α−N1−α
Γ(2 −α).
3 Prewitt fractional filter in the Caputo-Fabrizio sense
Following the idea as in the previous section, we obtain
(k+1)x
N
Z
kx
N
e−α
1−α(x−ξ)u0(ξk)dξ ≈ukx+x
N−ukx
N
∆x
kx+x
N
Z
kx
N
e−α
1−α(x−ξ)dξ,
=1−α
α·ukx+x
N−ukx
N
∆x·e−α(N−k−1)∆x
1−α−e−α(N−k)∆x
1−α.(10)
Inserting (10) into (5), we have
CF Dα
0xu(x)≈1
α
N−1
X
k=0
u(k+1)x
N−ukx
N
x
N
e−α
1−α[N−(k+1)] x
N−e−α
1−α[N−k]x
N
=1
α·∆x
1−e−α
1−α∆xuN+2e−α·∆x
1−α−e−2α·∆x
1−α−1uN−1+
2e−2α·∆x
1−α−e−3α·∆x
1−α−e−α·∆x
1−αuN−2+· · · +
2e−α·(N−j)·∆x
1−α−e−α·(N−j−1)·∆x
1−α−e−α·(N−j+1)·∆x
1−αuj
+· · · +2e−α·(N−1)·∆x
1−α−e−α·(N−2)·∆x
1−α−e−α·N·∆x
1−αu1
+2e−α·N·∆x
1−α−e−α·(N−1)·∆x
1−α−e−α·(N+1)·∆x
1−αu0
.(11)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 7
From (11), we obtain N+ 1 nonzero coefficients ci(i= 0, . . . , N ), given by
c0=1
α∆x1−e−α
1−α∆x,
c1=1
α∆x2e−α
1−α∆x−e−2α
1−α∆x−1,
c2=1
α∆x2e−2α
1−α∆x−e−3α
1−α∆x−e−α
1−α∆x,
.
.
.
cj=1
α∆x2e−α
1−α(N−j)∆x−e−α
1−α(N−j−1)∆x−e−α
1−α(N−j+1)∆x,
.
.
.
cN−1=1
α∆x2e−α
1−α(N−1)∆x−e−α
1−α(N−2)∆x−e−α
1−αN∆x,
cN=1
α∆x2e−α
1−αN∆x−e−α
1−α(N−1)∆x−e−α
1−α(N+1)∆x.
Taking ∆x= ∆y= 1, as in the previous section, we obtain the followings two expressions:
CF Dα
0yu(x, y)≈1
α
1−e−α
1−αu(x, y) + 2e−α
1−α−e−2α
1−α−1u(x−1, y)
+2e−2α
1−α−e−3α
1−α−e−α
1−αu(x−2, y) + · · ·
+2e−α
1−αN−e−α
1−α(N−1) −e−α
1−α(N+1)u(x−n, y)
,(12)
and
CF Dα
0yu(x, y)≈1
α
1−e−α
1−αu(x, y) + 2e−α
1−α−e−2α
1−α−1u(x, y −1)
+2e−2α
1−α−e−3α
1−α−e−α
1−αu(x, y −2) + · · ·
+2e−α
1−αN−e−α
1−α(N−1) −e−α
1−α(N+1)u(x, y −n)
.(13)
The next images show the results of applying the proposed FDMCF, with different values of
differential order α, on the following images: goldhill image, drak bedroom and dark room.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
8 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
(a) Original image (b) α= 0.0071
(c) α= 0.0072 (d) α= 0.0073
(e) α= 0.0074 (f) α= 0.0075
Figure 1: Result of applying the proposed FDMCF on goldhill image with different values of
differential order α.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 9
(a) Original image (b) α= 0.003
(c) α= 0.004 (d) α= 0.005
(e) α= 0.006 (f) α= 0.007
Figure 2: Result of applying the proposed FDMCF on a dark bedroom image with different
values of differential order α.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
10 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
(a) Original image (b) α= 0.003
(c) α= 0.004 (d) α= 0.005
(e) α= 0.006 (f) α= 0.007
Figure 3: Result of applying the proposed FDMCF on a dark room image with different values
of differential order α.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 11
The next tables show the results of contrast in terms of the Gray-Level Co-occurrence Matrix
(GLCM) in 4 directions, on the following images: goldhill image, drak bedroom and dark room.
Angle
004509001350
Original image 0.2743 0.5685 0.4336 0.5542
HE 0.5018 0.9403 0.6727 0.9352
M MPIT 0.4642 0.8428 0.6060 0.8476
e FDMC for α= 0.0155 7.4922 11.7211 8.8573 11.5499
t FDMC for α= 0.0165 13.0910 18.5857 12.7200 18.6007
h FDMC for α= 0.0170 15.1278 20.5889 13.4156 20.7000
o FDMCF for α= 0.0071 9.0089 12.3465 8.7710 12.4288
d FDMCF for α= 0.0072 9.5492 12.8873 9.0874 13.0488
FDMCF for α= 0.0073 9.9501 13.2338 9.2318 13.4732
Table 1: Gold-hill image.
Angle
004509001350
Original image 0.0007 0.0888 0.0885 0.0888
HE 0.2229 0.3526 0.2241 0.3632
M MPITH 0.1345 0.2625 0.1488 0.2638
e FDMC for α= 0.013 0.7667 1.4983 1.0776 1.5015
t FDMC for α= 0.014 0.7653 1.4477 1.0253 1.4494
h FDMC for α= 0.015 0.7172 1.4236 1.0371 1.4240
o FDMCF for α= 0.005 0.6574 1.0510 0.6768 1.0653
d FDMCF for α= 0.006 0.6459 0.9865 0.6296 0.9923
FDMCF for α= 0.007 0.5014 0.7176 0.4438 0.7180
Table 2: Dark bedroom.
Angle
004509001350
Original image 0.4711 0.6691 0.2139 0.6694
HE 0.6178 0.8568 0.5153 0.8977
M MPITH 0.4221 0.7419 0.4225 0.7560
e FDMC for α= 0.013 3.5218 5.4161 3.4127 5.4255
t FDMC for α= 0.014 3.6872 5.8437 3.7464 5.8422
h FDMC for α= 0.015 3.8128 6.0092 3.8800 6.0260
o FDMCF for α= 0.005 2.4504 3.9630 2.6457 3.9593
d FDMCF for α= 0.006 2.5697 4.2178 2.8633 4.1469
FDMCF for α= 0.007 2.7114 4.0842 2.6762 4.0415
Table 3: Dark room.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
12 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
The following images show the comparison of contrast enhancement capability between the
methods: MPIT; MPITH; HE; FDMC; and FDMCF applied to the Goldhill image.
(a) Original image (b) MPIT
(c) MPITH (d) HE
(e) FDMC with α= 0.0155 (f) FDMCF with α= 0.0072
Figure 4: Comparison of contrast enhancement capability between methods.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 13
The next images show the comparison of contrast enhancement capability between the meth-
ods: MPIT; MPITH; HE; FDMC; and FDMCF applied to the Dark Bedroom image.
(a) Original image (b) MPIT
(c) MPITH (d) HE
(e) FDMC with α= 0.014 (f) FDMCF with α= 0.006
Figure 5: Comparison of contrast enhancement capability between methods.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
14 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
The next images show the comparison of contrast enhancement capability between the meth-
ods: MPIT; MPITH; HE; FDMC; and FDMCF applied to the Dark room image.
(a) Original image (b) MPIT
(c) MPITH (d) HE
(e) FDMC with α= 0.013 (f) FDMCF with α= 0.005
Figure 6: Comparison of contrast enhancement capability between methods.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 15
(a) Dark bedroom image
(b) Dark room image (c) Gold-hill image
Figure 7: Original images used in the experimental result.
4 Experimental results
The aim of this section is to demonstrate that fractional differential masks based on Caputo
(FDMC) and Caputo-Fabrizio (FDMCF) definitions have better capability in texture-enhancing
than the traditional approaches for texture-rich image. To this purpose, we analyze the texture-
enhancing capability of the proposed masks and discuss the relationship between fractional power
parameter αand texture-enhancing details by using Gray-Level Co-occurrence Matrix (GLCM).
Finally, we discuss the capability of texture enhancement of the proposed masks by making
comparison with Histogram Equalization (HE), Multiplication of each Pixel of an Image by Two
(MPIT) and Multiplication of each Pixel of an Image by Three (MPITH) methods. Three images
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
16 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
used in the experimental results are shown in Figures 7. First is dark bedroom image, second
is a dark room image, the third one is the gold-hill image. To obtain the fractional differential
on the eight symmetric directions and make the fractional differential masks have anti-rotation
capability, eight fractional differential masks which are respectively on the directions of 00, 450,
900, 1350, 1800, 2250, 2700and 3150are implemented in Fig. 8. Considering
sum =c0+c1+c2+· · · +cn
8
and taking into account the eight neighboring pixels of a given one, we propose the fractional
differential mask, given by Table 4.
Cn0 0 Cn00Cn
0...0.
.
. 0 ...0
.
.
.0C1C1C10.
.
.
Cn· · · C1sum C1· · · Cn
.
.
. 0 C1C1C10.
.
.
0...0.
.
. 0 ...0
Cn0 0 Cn00Cn
Table 4: Fractional differential mask.
For the implementation of the FDMCF method, we have taken only the following three
coefficients:
c0=1
α1−e−α
1−α,
c1=1
α2e−α
1−α−e−2α
1−α−1,
c2=1
α2e−2α
1−α−e−3α
1−α−e−α
1−α,
while for the FDMC method, we considered the coefficients:
c0=11−α
Γ(2 −α), c1=21−α−2·11−α
Γ(2 −α), c2=2·21−α−31−α−11−α
Γ(2 −α),
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Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 17
Mask in the direction of 3150Mask in the direction of 450
Mask in the direction of 900Mask in the direction of 2700
Mask in the direction of 1800Mask in the direction of 00
Mask in the direction of 1350Mask in the direction of 2250
Figure 8: Different mask
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
18 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
Images a) of the Figures 1, 2 and 3 are the original images while images b), c), d) and f) of
Figures 1, 2 and 3 are the results of applying the FDMCF method on the original images with
different values of differential order. Images a), b), c), d) and f) of the Figures 4, 5 and 6 are the
original image, enhancing result of a) by MPIT, enhancing result of a) by MPITH, enhancing
result of a) by HE, enhancing result of a) by FDMC and enhancing result of a) by FDMCF,
respectively. On theses figures, we can see that images obtained by the proposed methods look
better than those obtained by other methods. For the comparison purpose, we use the contrast of
Gray-Level Co-occurrence Matrix (GLCM) in four directions. Tables 1, 2 and 3 are the contrasts
of GLCM in four directions. From these tables we can conclude that the proposed methods
outperform HE, MPIT and MPITH methods. Based on the results shown in Figures 4, 5 and
6 we can see that the proposed methods are more effectives than the HE, MPIT and MPITH
methods, since they enhance better the visual appearance of an image and make it clearer.
5 Conclusion
In this paper, we proposed construction of fractional differential masks using Caputo and Caputo-
Fabrizio fractional derivatives. Experiments results showed that filtered images by the proposed
methods have better visual appearance. Moreover, the proposed techniques have demonstrated
a good performance with higher GLCM values.
References
[1] Ajou, A.; Oqielat, M. N.; Al-Zhour, Z.; Kumar, S. and Momani, S.; Solitary solutions for
time-fractional nonlinear dispersive PDEs in the sense of conformable fractional derivative,
Chaos (2019), 29 (2019), 093102.
[2] Al-Zhour, Z.; Barfeie, M.; Soleymani, F. and Tohidi, E.; A computational method to price
with transaction costs under the nonlinear Black-Scholes model, Chaos, Solitons & Fractals,
127 (2019), 291–301.
[3] Andrade, A. M. F.; Lima, E. G. and Dartora, C. A.; An introduction to fractional calculus
and its Applications in Electric Circuits, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, 40 (2018),
e3314.
[4] Atangana, A. and Baleanu, D.; New fractional derivatives with nonlocal and non-singular
kernel: Theory and application to heat transfer model, arXiv preprint, arXiv:1602.03408
(2016).
[5] Baleanu, D.; Diethelm, K.; Escalas, E.; and Trujillo, J. J.; Fractional Calculus: Models and
numerical methods, Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos, 3(2012).
[6] Baleanu, D.; Jajarmi, A.; Sajjadi, S. S. and Mozyrska, D.; A new fractional model and op-
timal control of a tumor-immune surveillance with non-singular derivative operator, Chaos,
29 (2019), 083127.
[7] Caputo, M. and Fabrizio, M.; A new Definition of Fractional Derivative without Singular
Kernel, Progr. Fract. Differ. Appl., 1(2005), 73–85.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 19
[8] Concezzi, M. and Spigler, R.; Identifying the Fractional Orders in Anomalous Diffusion
Models from Real Data, Fractal Fract., 2(1) (2014), 14.
[9] El-Ajou, A.; Al-Zhour, Z.; Oqielat, M.; Momani, S. and Hayat, T.; Series Solutions of
Nonlinear Conformable Fractional KdV-Burgers Equation with Some Applications, The Eu-
ropean Physical Journal Plus, 134 (2019), 402.
[10] El-Ajou, A.; Oqielat, M.; Al-Zhour, Z. and Momani, S.; Analytical Numerical Solutions of
the Fractional Multi-Pantograph System: Two Attractive Methods and Comparisons, Results
in Physics, 14 (2019), 102500.
[11] El-Ajou, A.; Oqielat, M.; Al-Zhour, Z.; Kumar, S. and Momani, S.; Solitary solutions for
time-fractional nonlinear dispersive PDEs in the sense of conformable fractional derivative,
Chaos, 29 (2019), 093102.
[12] Garg, P. and Jain, T.; A comparative study on histogram equalization and cumulative his-
togram equalization. International Journal of technology and research, 3(9) (2017), 41–43.
[13] Goufo, E. F. D. and Mugisha, S. B.; Similarities in a fifth-order evolution equation with and
with no singular kernel, Chaos, Solitons & Fractals, 130 (2020), 10946.
[14] Jajarmi, A.; Arshad, S. and Baleanu, D.; A new fractional modelling and control strategy
for the outbreak of dengue fever, Physica A., 535 (2019), 122524.
[15] Jajarmi, A.; Baleanu, D.; Sajjadi, S. S. and Asad, J. H.; A new feature of the fractional
Euler-Lagrange equations for a coupled oscillator using a nonsingular operator approach,
Frontiers in Physics, 7(2019), 00196.
[16] Jajarmi, A.; Ghanbari, B. and Baleanu, Dumitru. A new and efficient numerical method for
the fractional modelling and optimal control of diabetes and tuberculosis co-existence, Chaos,
29 (2019), 093111.
[17] Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M. and Trujillo, J. J.; Theory and Applications of Fractional
Differential Equations, North Holland Mathematics Studies, 204 (2006).
[18] Kumar, S.; A new fractional modeling arising in engineering sciences and its analytical
approximate solution, Alexandria Engineering Journal, 52 (2013), 813–819.
[19] Kumar, S.; Kumar, A.; Abbas, S.; Al Qurashi, M. and Baleanu, D.; A modified analytical
approach with existence and uniqueness for fractional Cauchy reaction-diffusion equations,
Advances in Difference Equations, 2020(1) (2020), 1–18.
[20] Kumar, S.; Kumar, A. and Nisar, K. S.; Numerical solutions of nonlinear fractional model
arising in the appearance of the strip patterns in two dimensional systems, Advances in
Difference Equations, 413 (2019).
[21] Kumar, R.; Kumar, S.; Singh, J. and Al-Zhour, Z. A comparative study for fractional chem-
ical kinetics and carbon dioxide CO2absorbed into phenyl glycidyl ether problems, Mathe-
matics, 5(4) (2020), 3201–3222.
[22] Kumar, S.; Nisar, K. S.; Kumar, R.; Cattani, C. and Samet, B.; A new Rabotnov fractional-
exponential function based fractional derivative for diffusion equation under external force,
Mathematical Methods in Applied Science, 43 (2020), 4460–4471.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
20 Gustavo MBoro - Leandro Lau - Ana Morales
[23] Liang, X.; Gao, F.; Zhou, C. B.; Wang, Z. and Yang, X. J.; An anomalous diffusion model
based on a new general fractional operator with the Mittag-Leffler function of Wiman type,
Advances in Difference Equations, 18(1) (2018), 25.
[24] Losada, J. and Nieto, J.; Properties of a New Fractional Derivative without Singular Kernel,
Progr. Fract. Differ. Appl., 1(2015), 87–92.
[25] Mboro Nchama, G. A.; Alfonso, L. L.; Le´on Mec´ıas, A. M. and Rodr´ıguez Richard, M.; Con-
struction of Caputo-Fabrizio fractional differential mask for image enhancement, Progress
in Fractional Differentiation and Application (2020).
[26] Mboro Nchama, G. A.; Le´on Mec´ıas, A. M. and Rodr´ıguez Ricard, M.; Perona-Malik model
with diffusion coefficient depending on fractional gradient via Caputo-Fabrizio derivative,
Abstract and Applied Analysis (2020), 2020 (2020), 15 pages.
[27] Mboro-Nchama, G. A.; Mec´ıas, A. L. and Ricard, M. R.; The Caputo-Fabrizio fractional
integral to generate some new inequalities, Information Sciences Letters, 8(2019), 73–80.
[28] Mboro-Nchama, G. A.; Mec´ıas, A. L. and Ricard, M. R.; Properties of the Caputo-Fabrizio
fractional derivative, Applied Mathematics & Information Sciences, 14 (2020), 1–10.
[29] Mboro Nchama, G. A.; New fractional integral inequalities via Caputo-Fabrizio operator and
an open problem concerning an integral inequality, New trends in Mathematical Sciences
(2020), 8(2) (2020), 9–21.
[30] Mboro Nchama, G. A.; On open problems concerning Riemann-Liouville fractional integral
inequality, Mediterranean Journal of Modeling and Simulation, 11 (2019), 001–008.
[31] Mboro-Nchama, G. A.; Properties of Caputo-Fabrizio fractional operators, New Trends in
Mathematical Sciences, 8(2020), 1–25.
[32] Morales-Delgado, V. F.; G´omez-Aguilar, J. F. and Taneco-Hern´andez, M. A.; Analytical
solutions of electrical circuits described by fractional conformable derivatives in Liouville-
Caputo sense, International Journal of Electronics and Communications, 85 (2018), 108–
117.
[33] Nandal, A.; Gamboa-Rosales, H.; Dhaka, A.; Celaya-Padilla, J. M.; Galvan-Tejada, J. I.;
Galvan-Tejada, C. E.; Martinez-Ruiz, F. J. and Guzman-Valdivia, C.; Image edge detec-
tion using fractional calculus with feature and contrast enhancement. Circuits, Systems, and
Signal Processing, 37(9) (2018), 3946–3972.
[34] Odham, K. B. and Spanier, J.; The Fractional Calculus, Academic Press (1984), New York.
[35] Oqielat, M.; El-Ajou, A.; Al-Zhour, Z.; Alkhasawneh, R. and Alrabaiah, H.; Series solutions
for nonlinear time-fractional Schrdinger equations: Comparisons between conformable and
Caputo derivatives, Alexandria Engineering Journal (2020).
[36] Polubny, I.; Fractional Differential Equations, Academic Press (1999), New York.
[37] Pu, Y.; Application of fractional differential approach to digital image processing. Journal of
Sichuan University, 39(3) (2007), 124–132.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for image enhancement 21
[38] Pu, Y.; Wang, W.; Zhou, J. et al. Fractional differential approach to detecting texture features
of digital image and its fractional differential filter implementation, Sci. China Ser. F, Inf.
Sci.; 38(12) (2008), 2252–2272.
[39] Qing-li, C.; H. Guo, H. and Xiu-qiong, Z.; A Fractional Differential Approach to Low Con-
trast Image Enhancement, International Journal of Knowledge and Language Processing
(2012), 3(2) (2012), 20–27.
[40] Ram´ırez, C.; Astorga, V.; Nu˜nez, H.; Jaques, A. and Simpson, R.; Anomalous diffusion
based on fractional calculus approach applied to drying analysis of apple slices: The effects of
relative humidity and temperature, Food Process Engineering (2017), 40 (5) (2017), e12549.
[41] Rchid, M.; Ammi, S. and Jamiai, I.; Finite difference and Legendre spectral method for a
time-fractional diffusion-convection equation for image restoration, Discrete and Continuous
Dynamical Systems Series, 11 (2018), 103–117.
[42] Sabatier, J.; Agrawal, O. P. and Machado, J. A. T.; Advanced in Fractional Calculus: The-
oretical Developments and Applications in Physics and Engineering, Springer (2007).
[43] Sikora, R.; Fractional derivatives in electrical circuit theory critical remarks, Archives of
Electrical Engineering, 66 (2017), 155–163.
[44] Surya Prasath, V. B.; Image denoising by anisotropic diffusion with inter-scale information
fusion, Pattern Recognition and Image Analysis, 27 (2017), 748–753.
[45] Yirenkyi, P. A.; Appati, J. K. and Dontwi, I. K.; A new construction of a fractional derivative
mask for image edge analysis based on Riemann-Liouville fractional derivative. Advances in
Difference Equations (2016), DOI 10.1186/s13662-016-0946-8, pp. 1-21.
[46] Yu, J.; Zhai, R.; Zhou, S. and Tan, L.; Image Denoising Based on Adaptive Fractional
Order with Improved PM Model, Mathematical Problems in Engineering (2018), Article ID
9620754.
[47] Zhang, Y.; Pu, Y. and Zhou, J.; Construction of Fractional differential Masks Based on
Riemann-Liouville Definition. Journal of Computational Information Systems, 6(2010),
3191–3198.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 1–21
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
A note on the Banach contraction principle in
b-metric spaces
Una nota sobre el principio de contracci´on de Banach en b-espacios m´etricos
Mohamed Akkouchi (akkm555@yahoo.fr)
Department of Mathematics
Faculty of Sciences-Semlalia, University Cadi Ayyad
Av. Prince My. Abdellah, BP: 2390, Marrakesh;
(40.000-Marrakech), Morocco (Maroc).
Abstract
Let (X, d;s) be a complete b-metric space with parameter s≥1. Let Ta contractive
map on X, that is a selfmap Tof Xsatisfying
d(T x, T y)≤λd(x, y),∀x, y ∈X, (Bλ)
with some λ∈[0,1). In 1989, Bakhtin established an alogous to the Banach contraction
principle in the context of complete b-metric spaces. Precisely, he proved that if λ∈[0,1
s).
Then Thas a unique fixed point. The aim of this note is to give a simple proof of the Banach
contraction principle in Xfor all λ∈[0,1). So, in particular, we provide some complements
to Bakhtin’s result. We establish a fundamental contraction inequality for Tand use it to
prove convergence of Picard sequences. For such sequences, we give an evaluation of the or-
der of convergence and a posteriori error estimate. We estimate the diameter of the T-orbits.
As applications, we deduce two stopping rules indicating the sufficient number of iterations
of the Picard process which allows a satisfactory approximation for the fixed point of T.
Key words and phrases: Banach fixed point principle; b-metric space; stopping rules.
Resumen
Sea (X, d;s) un espacio b-m´etrico completo con el par´ametro s≥1. Sea Tun mapa
contractivo en X, que es un automapa Tde Xsatisfactorio
d(T x, T y)≤λd(x, y),∀x, y ∈X, (Bλ)
con algo de λ∈[0,1). En 1989, Bakhtin estableci´o un principio an´alogo al principio de con-
tracci´on de Banach en el contexto de espacios b-m´etricos completos. Precisamente, demostr´o
que si λ∈[0,1
s), entonces Ttiene un punto fijo ´unico. El objetivo de esta nota es dar una
prueba simple del principio de contracci´on de Banach en Xpara todos los λ∈[0,1). Enton-
ces, en particular, brindamos algunos complementos al resultado de Bakhtin. Establecemos
una desigualdad de contracci´on fundamental para Ty la usamos para probar la convergencia
de las secuencias de Picard. Para tales secuencias, damos una evaluaci´on del orden de con-
vergencia y una estimaci´on del error a posteriori. Estimamos el di´ametro de las ´orbitas T.
Received 31/01/2021. Revised 23/02/2021. Accepted 25/05/2021.
MSC (2010): Primary 47H10; Secondary 54H25.
Corresponding author: Mohamed Akkouchi
A note on the Banach contraction principle in b-metric spaces 23
Como aplicaciones, deducimos dos reglas de parada que indican el n´umero suficiente de itera-
ciones del proceso Picard que permite una aproximaci´on satisfactoria para el punto fijo de T.
Palabras y frases clave: Principio de punto fijo de Banach; b-espacio m´etrico; detener
las reglas.
1 Introduction
An important generalization of metric spaces is given by the concept of b-metric spaces. We recall
(see [2, 6, 7]) the following definition.
Definition 1.1. Let Xbe a non-empty set and let d:X×X→[0,+∞)be a function. Then d
is said to be a b-metric on the set X, if the following conditions are satisfied:
(i) d(x, y)≥0and d(x, y)=0if and only if x=y.
(ii) d(x, y) = d(y, x).
(iii) there exists a real number s≥1such that:
d(x, y)≤s[d(x, u) + d(u, y)] for all x, y, u ∈X.
The triplet (X, d;s)is said to be a b-metric space with parameter s. The inequality (iii) is also
called the s-triangle inequality.
Throughout this paper, (X, d;s) will designate a b-metric space with parameter s≥1. As in
the metric case, we have a topological setting. For the sequel, we denote the set of nonnegative
integers by N0. As usual, Ndesignates the set of positive integers. A sequence {xn}(n∈N0)
of elements of a set Xwill be also denoted by (xn)n∈N0and its range set will be denoted by
{xn:n∈N0}.
Definition 1.2. Let (X, d;s)be a b-metric space, {xn}be a sequence in Xand x∈X. Then,
the following are defined as follows:
(i) The sequence {xn}is said to be a Cauchy sequence, if for any > 0there exists N∈N
such that, for all n≥Nand all p∈N, we have d(xn, xn+p)< .
(ii) The sequence {xn}is said to be convergent to x, if for any > 0there exists N∈Nsuch
that, for all n≥N, we have d(xn, x)< . In this case, we write:
lim
n→∞ xn=xor xn→xas n→ ∞.
(iii) (X, d;s)is said to be complete b-metric space if every Cauchy sequence in Xconverges to
some x∈X.
We observe that every converging sequence in a b-metric space is Cauchy sequence but, in
general, the converse is not true. It is easy to see that the limit of a converging sequence (in a
b-metric space) is unique.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
24 Mohamed Akkouchi
Definition 1.3. Let (X, d;s)be a b-metric space and {xn}be a sequence in X. Let Abe a non
empty subset of Xand δ(A) := sup{d(x, y) : (x, y)∈A×A}. Then Ais said to be bounded if
δ(A)is finite.
We observe that every Cauchy sequence in a b-metric space is bounded but, in general, the
converse is not true.
Definition 1.4. Let Xbe a non empty set and let Tbe a selfmapping of X. Then, for every
x∈X, the set OT(x) := {x, T x, T 2x, T 3x, . . . }is called the orbit of Tat x.
Now, we define the concepts of T-orbitally completeness.
Definition 1.5. Let (X, d;s)be a b-metric space and Tbe a selfmapping on X. Then Xis
said to be T-orbitally complete if, for any x∈X, every Cauchy sequence of the orbit OT(x) :=
{x, T x, T 2x, . . .}is convergent in X.
In the case of metric spaces, the concept of orbitally completness was first introduced in 1974
by ´
Ciri´c in [4].
Fixed point theory in b-metric spaces started with the extension of the Banach contraction
principle. Let Tbe a selfmapping of X, we say that Tis contraction on X, if Tsatisfies the
following inequality:
d(T x, T y)≤λd(x, y),∀x, y ∈X, (Bλ)
with some λ∈[0,1).
In 1989, Bakhtin established in [2] the following result, which may be considered as the
analogous of Banach contraction principle for b-metric spaces.
Theorem 1.1 ([2]).Let (X, d;s)be a complete b-metric space with parameter sand f:X→X
a mapping such that, for some λ > 0,
d(f(x), f(y)) ≤λ d(x, y),for all x, y ∈X. (1.1)
If 0<λ<1/s, then fhas a unique fixed point zand, for every x∈X, the sequence fn(x)n∈N
converges to zas n→ ∞. Furthermore, the following evaluation of the order of convergence
holds
d(xn, z)≤sd(x0, x1)
1−λs ·λn,for all n∈N.(1.2)
The articles [6] and [7] published in 1993 and 1998 by S. Czerwik, respectively, and the article
[3] published by V. Berinde in 1993 have initiated investigation of fixed points in b-metric spaces.
During the last two decades, a very intensive research work was conducted in b-metric spaces
and in their generalizations. The survey [5] of S. Cobza¸s contains a large view on the evolution
and recent developpements of the theory of b-metric spaces and fixed point theory therein. The
survey [8] of E. Karapinar contains a short survey on some recent fixed point results obtained in
the context of b-metric spaces. The reader is invited to consult the articles listed in the references
of this work and the references therein.
In 2007, R. S. Palais (see [9]) provided a simple proof of the Banach contraction principle in
complete metric spaces and established a stopping rule. The aim of this paper is to give a simple
proof of the Banach contraction principle in Xfor all λ∈[0,1). The result obtained here is a
variant of the Banach contraction in a complete b-metric space (See Theorem 2.1). This note is
motivated by the article [9] of R. S. Palais concerning contractions in complete metric spaces.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
A note on the Banach contraction principle in b-metric spaces 25
This note extends the results of [9] to the case of b-metric spaces and may be considered as a
continuation to [9].
To prove convergence of Picard sequences, we start by proving a fundamental contraction
inequality for any given contraction Ton any complete b-metric space (X, d, s). Thus we show
that for all values of λ∈[0,1), and for every point x∈X, the Picard sequence (Tn(x))n
converges to a unique fixed point zof T. So, by this we provide complements to Bakhtin’s result
(see Theorem (1.1)) by investigating the remaining case, where the parameter λ∈[1
s,1) (s > 1).
For each Picard sequence, we give an evaluation of the order of its convergence and an a
posteriori error estimate. Also, we estimate the diameter of the T-orbits. As applications, we
deduce two stopping rules precizing the sufficient number of iterations of the Picard process which
allows a satisfactory approximation for the fixed point of T.
This paper is organized as follows: In section two, we establish a variant of the Banach
contraction principle, where we have stated all our remarks and observations (see Theorem 2.1).
Section three contains two stopping rules for contractive selfmappings in complete b-metric spaces.
In particular, our results extend those obtained by R. S. Palais ([9]) for the Banach contractions
in complete metric spaces.
2 A version of the Banach contraction principle
Let (X, d;s) be a b-metric space with parameter s≥1. We need to introduce the following
notation. Let
B2:= {(λ, s, p)∈[0,1) ×[1,+∞)×(0,+∞) : s2λp<1}.
We observe that if (λ, s, p)∈B2, then sλp<1. For all (λ, s, p)∈B2, we set
C(λ, s, p) := s(1 + s)
2(1 −s2λp).
Before stating our version of the Banach contraction principle in the setting of b-metric spaces,
we need the following lemma.
Lemma 2.1. Let (X, d;s)be a complete b-metric space with parameter s≥1and T:X→Xa
mapping such that, for some λ∈[0,1),
d(T(x), T (y)) ≤λ d(x, y),for all x, y ∈X. (2.1)
Let p2be the smallest positive integer satisfying: s2λp2<1. Then for all x, y ∈X, we have the
following inequality:
d(x, y)≤C(λ, s, p2) [d(x, T p2(x)) + d(y, T p2(y))] .(2.2)
Proof. By using the s-triangle inequality, we have
d(x, y)≤sd(x, T p2(x)) + s2d(Tp2(x), T p2(y)) + s2d(Tp2(y), y).
Therefore, we get
d(x, y)≤sd(x, T p2(x)) + s2d(Tp2(y), y) + s2λp2d(x, y).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
26 Mohamed Akkouchi
By a similar manner, we get
d(y, x)≤sd(y, T p2(y)) + s2d(Tp2(x), x) + s2λp2d(y, x).
By adding left members and right members of the inequalities above, we obtain
2d(x, y)≤s(1 + s)[d(x, T p2(x)) + d(y, T p2(y))] + 2s2λp2d(x, y),
from which, we deduce that
d(x, y)≤s(1 + s)
2(1 −s2λp2)[d(x, T p2(x)) + d(y, T p2(y))],
which is the desired inequality.
The following result provides some complements to Theorem 1.1.
Theorem 2.1. Let (X, d;s)be a b-metric space with parameter s≥1and T:X→Xa mapping
such that
d(T(x), T (y)) ≤λ d(x, y),for all x, y ∈X, (2.3)
for some λ∈[0,1). Suppose that Xis T-orbitally complete. Then
(P1) Thas a unique fixed point zin X.
(P2) For every x∈X, the Picard sequence (xn)n≥0defined by
x0:= xand xn:= Tn(x),for all integer n≥1,
converges to zas n→ ∞.
(P3) If 0≤λ < 1
sthen the following evaluation of the order of convergence holds
d(Tn(x), z)≤s d(x, T x)
1−λs ·λn,for all n≥0.(2.4)
(P4) If s > 1and 1
s≤λ < 1, let p2is the smallest positive integer satisfying: s2λp2<1. Then:
(i) The following evaluation of the order of convergence holds
d(Tn(x), z)≤s C(λ, s, p2)d(x, T p2(x)) λn,for all n≥0,(2.5)
where the constant C(λ, s, p2)is given by
C(λ, s, p2) := s(1 + s)
2(1 −s2λp2).
(ii) The following a posteriori error estimate holds:
d(xn, z)≤sλ
1−s λp2·d(xn−1, T p2−1xn),for all n≥1.(2.6)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
A note on the Banach contraction principle in b-metric spaces 27
(iii) The orbit OT(x)is bounded and we have the following estimate for its diameter:
δ(OT(x)) ≤2C(λ, s, p2)d(x, T p2(x)).(2.7)
(P5) The rate of convergence of Picard iteration is given by
d(xn, z)≤λ d(xn−1, z),for all integer n≥1.(2.8)
Proof. (1) The case where 0 ≤λ < 1
swas studied in Theorem 1.1 of Bakhtin. In this case, the
properties (P1), (P2) and (P3) are given by Bakhtin’s theorem. So, we are led to consider
only the case where s > 1 and 1
s≤λ < 1.
(2) For every x0∈X, we consider the sequence xn:= Tn(x0) (for all n∈N). Let nand mbe
arbitrary nonnegative integers. By setting x:= xnand y:= xn+min the inequality (2.2),
we get
d(xn, xn+m)≤C(λ, s, p2) [d(xn, T p2(xn)) + d(xn+m, T p2(xn+m))]
=C(λ, s, p2)d(Tnx, T n(Tp2x)) + d(Tn+mx, T n+m(Tp2x))
≤C(λ, s, p2)λnd(x, T p2x) + λn+md(x, T p2x)
=λn(1 + λm)C(λ, s, p2)d(x, T p2x),
from which, we infer that
d(xn, xn+m)≤2λnC(λ, s, p2)d(x, T p2x),(2.9)
for all integers nand m. From inequality (2.9), we deduce that the sequence (xn)nis a
cauchy sequence in X. Since the b-metric space Xis supposed to be T-orbitally complete,
this sequence converges to a point (say) z∈X.
For evey nonnegative integer n, we have
d(T(xn), T (z)) ≤λ d(xn, z).
The above inequality, implies that the subsequence (xn+1)nconverges to T z. By uniqueness
of the limit, we infer that z=T z. Thus, zis a fixed point of T.
It is clear, by the condition (2.1), that Thas a unique fixed point. We observe the following
facts concerning the integer p2:
(a) s λp2≤s2λp2<1.
(b) Since s≥1 and 1 ≤sλ, then we have p2≥2.
(3) Let x∈X. Next we show the estimate (2.5). Indeed, for all positive integer n, we have
d(Tnx, z)≤sd(Tnx, T n+p2x) + d(Tn+p2x, T p2z)
≤s λnd(x, T p2x) + sλp2d(Tnx, z),
from which we get the inequality (2.5).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
28 Mohamed Akkouchi
(4) Next, we prove the estimate (2.6). Let x∈Xand let (xn)n≥0be the Picard sequence
associated to x. Then for every positive integer n, we have
d(xn, z) = d(T xn−1, T z)≤λd(xn−1, z)
≤sλ d(xn−1, T p2−1xn) + d(Tp2−1xn, T p2−1z)
≤s λd(xn−1, T p2−1xn) + sλp2d(xn, z),
from which we get the inequality (2.6).
(5) Next, we prove the estimate (2.7). Let x∈Xand let (xn)n≥0be the Picard sequence
associated to x. Then, by virtue of the inequality (2.9), we deduce that
δ(OT(x)) = sup{d(xn, xn+m) : n, m ∈N0} ≤ 2C(λ, s, p2)d(x, T p2(x)).
which is the desired inequality.
(6) The property (P5) is clear.
We point out that a different proof of the parts (P1) and (P2) of Theorem 2.1 was given in
[1] by T. V. An and N. V. Dung. The proof of [1] used a metrization method.
3 Application: Stopping Rules
We point out that a stopping rule was established by R.S. Palais in [9] for contractions in com-
plete metric spaces. We give here two stopping rules in the setting of complete b-metric spaces
depending on two cases:
(i) where the parameter λ∈[0,1
s).
(ii) where λ∈[1
s,1) and s > 1.
Let (X, d;s) be a complete b-metric space with parameter s≥1 and T:X→Xa mapping such
that
d(T(x), T (y)) ≤λ d(x, y),for all x, y ∈X, (3.1)
for some λ∈[0,1).According to Theorem 2.1, we know that Thas a unique fixed point zin X
and that for all x∈Xthe Picard sequence (xn)n, with xn:= Tnx, converges to z.
3.1 A first stopping rule.
Suppose that λ∈[0,1
s). By virtue of Theorem 2.1, we have the following inequality
d(Tn(x), z)≤K(s, λ)d(x, T x)λn,for all n≥0.(3.2)
where K(s, λ) := s
1−λs .
An application of the last inequality is as follows. Suppose that we accept an error of order
ε, i.e., instead of the actual fixed point zof Twe are satisfied with a point wof Xsatisfying
d(z, w)< ε. Suppose also that we are starting our iteration at some point xin X. Then from
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
A note on the Banach contraction principle in b-metric spaces 29
the inequality (3.2) it is easy to find an integer Nso that w=TN(x) will give the satisfactory
answer. Indeed, since we desire that d(TN(x), p)< ε, it is sufficient to require that
K(s, λ)d(x, T x)λN< ε.
This is possible because limn→+∞K(s, λ)d(x, T x)λn= 0. Now the first displacement τ(x) =
d(x, T (x)) is a quantity that we can compute after the first iteration and we can then compute
how large Nhas to be by taking the log of the above inequality and solving for N(remembering
that ln(λ) is negative).
Under the assumptions above we have the first stopping rule.
Theorem 3.1 (First Stopping Rule).If τ(x) = d(x, T x)and
N > ln(ε)−ln(s) + ln(1 −sλ)−ln(τ(x))
ln(λ),(3.3)
then d(TN(x), z)< ε.
Another interpretation of (3.3) is the following: Suppose we take ε= 10−min our first
stopping rule inequality. We see that the growth of Nwith mis a constant plus m
|ln(λ)|, or in
other terms, to get one more decimal digit of precision we have to do (roughly) 1
|ln(λ)|more
iteration steps. In other words, if we need Niterative steps to get mdecimal digits of precision,
then we need another Nin order to arrive to 2mdecimal digits of precision.
3.2 A second stopping rule.
Suppose that s > 1 and λ∈[1
s,1). Let x∈Xand let (xn:= Tnx)nbe the corresponding Picard
sequence. Let p2be the smallest positive integer satisfying: s2λp2<1. By virtue of Theorem
2.1, we have the following inequality:
d(Tn(x), z)≤s C(λ, s, p2)d(x, T p2(x)) λn,for all n≥0,(3.4)
where the constant C(λ, s, p2) is given by
C(λ, s, p2) := s(1 + s)
2(1 −s2λp2).
Under the assumptions above, by using the inequality (3.4) and similar arguments to those
exposed in the first subsection, we are led to state our second stopping rule.
Theorem 3.2 (Second Stopping Rule).If σ(x) = d(x, T p2x)and
N > ln(ε)−ln(s)−ln(C(λ, s, p2)) −ln(σ(x))
ln(λ),(3.5)
then d(TN(x), z)< ε.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1(2021), pp. 22–30
30 Mohamed Akkouchi
References
[1] T. V. An and N. V. Dung. Remarks on Frink’s metrization technique and applications, arXiv
preprint, arXiv:1507.01724 (2015), 15 p.
[2] I. A. Bakhtin. The contraction mapping principle in quasimetric spaces, Funktionalnyi An-
alyz, Ulianovskii Gos. Ped. Inst. 30 (1989), 26–37 (Russian).
[3] V. Berinde. Generalized contractions in quasimetric spaces, Seminar on Fixed Point Theory,
1993, 3-9.
[4] Lj. B. ´
Ciri´c. On some maps with non-unique fixed points. Publ. Inst. Math. (Beograd), 13(31)
(1974), 52–58.
[5] S. Cobza¸s. B-metric spaces, fixed points and Lipschitz functions, arXiv:1802.02722v2
[math.FA], (2018), 35 pp.
[6] S. Czerwik. Contraction mapping in b-metric spaces. Acta Math. Inform. Univ. Ostrav., 1(1)
(1993), 5–11.
[7] S. Czerwik. Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces. Atti Semin. Mat.
Fis. Univ. Modena, 46 (1998), 263–276.
[8] E. Karapinar. A Short survey on the recent fixed point results on b-metric spaces, Construc-
tive Mathematical Analysis. 1(1), (2018), 15–44.
[9] R. S. Palais. A simple proof of the Banach contraction principle, J. Fixed Point Theory
Appl., 2, (2007), 221–223.
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Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
The graph of a base power b, associated to a
positive integer number
El grafo potencia de base b, asociado a un entero positivo
Daniel Brito (danieljosb@gmail.com)
Oscar Castro (oscarecastrop@gmail.com)
Lope Mar´ın (lmata73@gmail.com)
Department of Mathematics, University of Oriente,
Cuman´a, Bolivarian Republic of Venezuela.
Abstract
Many concepts of Number Theory were used in Graph Theory and several types of graphs
have been introduced. We introduced the graph of a base power b∈Z+− {1}, associated to
a positive integer number n∈Z+, denoted for GPb(n), with set of vertices V={x}n
x=1 and
with set of edges:
E={{x, y} ∈ 2V:∃r∈Z+∪ {0}, such that |y−x|=br},
and we study some of its properties, in special for case b= 2.
Key words and phrases: Hamiltonian Cycle; Hamilton-connectivity; Pancyclicity.
Resumen
Muchos conceptos de la Teor´ıa de N´umeros han sido utilizados en la Teor´ıa de Grafos y
distintos tipos de grafos se han introducido. Introducimos el grafo de una potencia de base
b∈Z+− {1}, asociada a un entero n∈Z+, denotado por GPb(n), con conjunto de v´ertices
V={x}n
x=1 y conjunto de lados
E={{x, y} ∈ 2V:∃r∈Z+∪ {0}, tal que |y−x|=br},
y estudiamos algunas de sus propiedades, en especial para el caso b= 2.
Palabras y frases clave: Ciclo Hamiltoniano; Hamilton-conectividad; Panciclicidad.
1 Introduction
Agraph Gconsist of a nonempty set V(G) of elements represented for points, called vertices
and a set E(G) of elements represented for lines segments with ends an unique pair of vertices,
this lines are called edges or sides and it is said that the pair of vertices are adjacent. A graph
Recibido 21/01/2021. Revisado 23/02/2021. Aceptado 30/05/2021.
MSC (2020): Primary 97N70, 05C45,; Secondary 05C38.
Autor de correspondencia: Oscar Castro
32 D. Brito - O. Castro - L. Mar´ın
without loops (there is no an edge with equal ends vertices) and without multiple edges (there
are no two or more edges with the same ends vertices) is called a simple graph. Two graph
are isomorphic if both graphs have same properties and different graphics representation. Let
x∈V(G), the degree of x, denoted for dG(x), is the number of times that xis end of edges in
G. Thus, δ(G) and ∆(G) denote, respectively, the minimun degree and maximun degree of G. A
graph Gis complete if every two distinct vertices in Gare adjacent. A complete graph with n
vertices is denoted by Kn. A path is a subgraph Pof a graph G(graph with subsets of V(G) and
E(G), respectively) formed by an alternating succession of adjacent vertices, furthermore, Phas
an initial vertex and final vertex, called extreme. A graph Gis called connected if there is a path
between any two distinct vertices in G. If there is no repetition of vertices in the path, it is said
to be an elemental path. Let Pbe the path between the vertices xand y, also denoted by xP y
or yP x indistinctly, but if we denoted xP +ywhen Pis traversed from xto ythen we denoted
xP −ywhen Pis traversed from yto x. A Hamiltonian path of a graph is an elemental path
containing all the vertices of the graph. A cycle in a graph is an elemental path whose extreme
vertices are the same. A Hamiltonian cycle, in a graph, is a cycle that visits each vertex of the
graph. A Hamiltonian graph is a graph that contain a Hamiltonian cycle. A Hamilton-connected
graph is a graph that contains a Hamiltonian path between each pair of vertices. A pancyclic
graph is a graph that contains cycles of all the lengths, among 3 and n. In this paper only we
consider simple graphs and we refer the reader to [3] for the definitions not given here.
The motivation of this paper is related with the use of the concepts of Number Theory and
Graph Theory, to obtain other types of graphs as in [1] and [6]. We define a graph associated
to a positive integer number n, denoted by G(n), as a graph with set of vertices V={xk}n
k=1,
such that xkis a succession in Cnand set of side E={{xi, xj} ∈ 2V/xiΦxj∨iΨj}, with Φ, Ψ
relations between xiand xjin Vand between i,jin Z+, respectively, and 2 Vthe power set of V
[5]. In particular, we introduce the graph of a base power b∈Z+− {1}, associated to a positive
integer number n∈Z+, denoted for GPb(n), with set of vertices V={x}n
x=1 and with set of
edges:
E={{x, y} ∈ 2V:∃r∈Z+∪ {0}, such that |y−x|=br},
and we characterized the degree for any vertex in GPb(n), the minimun degree and maximun
grade of GPb(n) in function of nand b, moreover, we study the Hamilton-connectivity and the
pancyclicity of GP2(n) and some other applications of the GPb(n) graph for case n= 2.
2 The graph of a power of a given base, associated to a
positive integer
Let dGPb(n)(x), δ(GPb(n)) and ∆(GPb(n)) be, respectively, the degree of xin GPb(n), the min-
imun degree and maximun degree of GPb(n).
Lemma 1. For all b∈Z+−{1}, for all n∈Z+and for all x∈V(GPb(n)), we have dGPb(n)(x) =
0, if n= 1 and for n > 1:
dGPb(n)(x) = (blog b(x−1)c+blog b(n−x)c+ 2,if 1< x < n
blog b(n−1)c+ 1,if x= 1,n.
Proof. Let b∈Z+−{1}and n∈Z+. If n= 1 then GPb(1) = K1, in consequence dGPb(1)(x) = 0,
for x∈V(GPb(1)). If n > 1, we have qn=blog b(n)c, with qn=max{i∈Z+∪ {0}/ b i≤n}
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
The graph of a base power b, associated... 33
and, moreover, we consider two cases for x∈V(GPb(n)), x= 1, n or x=h, l, indistinctly (see
Figure 1):
Figure 1: GPb(n),with qn=max{i∈Z+∪ {0}/ b i≤n}.
Case 1. If x= 1, then by definition of GPb(n), xis adjacent
2, b + 1, b2+ 1,··· , b r+ 1
| {z }
r+1
or if x=n, then by definition of GPb(n), xis adjacent to
n−1, n −b, n −b2,··· , n −br
| {z }
r+1
.
Thus, as br+ 1 ≤n, we have dGPb(n)(x) = r+ 1, if
r=(qn,if n>bqn
qn−1,if n=bqn.
But for each b, n ∈Z+− {1},
blog b(n−1)c=(qn,if n>bqn
qn−1,if n=bqn.(1)
Therefore, dGPb(n)(x) = blog b(n−1)c+ 1, for x= 1, n.
Case 2. If x=hor x=l, indistinctly, then 1 < x < n (see Figure 1) and by definition of
GPb(n), xis adjacent to
x−br,··· , x −b2, x −b, x −1
| {z }
r+1
and to
1 + x, b +x, b2+x, ··· , b s+x
| {z }
s+1
.
Thus, as 1 ≤x−brand bs+x≤n, we have dGPb(n)(x) = r+s+ 2, if
r=(qx,if x>bqx
qx−1,if x=bqx
and s=qn−x. But by equation 1, it follows that qx=max{i∈Z+∪ {0}/ b i≤x}, furthermore,
qn−x=max{i∈Z+∪{0}/ b i≤n−x}. Therefore, we obtain that dGPb(n)(x) = blog b(x−1)c+
blog b(n−x)c+ 2.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
34 D. Brito - O. Castro - L. Mar´ın
Theorem 1. For all b∈Z+− {1},for all n∈Z+and for all x∈V(GPb(n)), we have:
1. dGPb(n)(x) = dGPb(n)(n−x+ 1).
2. δ(GPb(n)) = dGPb(n)(1) = dGPb(n)(n).
3. ∆(GPc(n)) ≤ b2[log b(n−1
2) + 1]c, if n≥3.
Proof. (Numeral 1). Follows from Lemma 1.
(Numeral 2). Let b∈Z+−{1}. If n= 1 then GPb(1) = K1, in consequence dGPb(1)(x) = 0, for
x∈V(GPb(1)). Thus, δ(GPb(1)) = ∆(GPb(1)) = 0. Furthermore, if n= 2 then GPb(2) = K2,
therefore dGPb(2)(x) = 1, for all x∈V(K2), in consequence δ(GPb(2)) = ∆(GPb(2)) = 1. This is,
δ(GPb(1)) = dGPb(1)(1) = 0 and δ(GPb(2)) = dGPb(2)(1) = dGPb(2)(2) = 1, for all b∈Z+− {1}.
If n≥3, by the proof of Numeral 1, is sufficient that 1 < x ≤ bn+1
2cfor prove that dGPb(n)(1) =
dGPb(n)(n)≤dGPb(n)(x), for all x∈V(GPb(n)). We consider two cases for x∈V(GPb(n)), x= 2
or 3 ≤x≤ bn+1
2c:
Case 1. If x= 2, by Lemma 1 and the equation 1, we have dGPb(n)(2) = blog b(n−2)c+2 and
qn−1≤ blog b(n−2)c≤blog b(n−1)c ≤ qn. Therefore blog b(n−2)c+ 2 ≥ blog b(n−1)c+ 1 =
dGPb(n)(1) = dGPb(n)(n).
Case 2. If 3 ≤x≤ bn+1
2cand nis even, then 3 ≤x≤n
2=bn+1
2c, so that 3 ≤x≤n−x
and n−1≤(n−x)(x−1) (w, z ∈Zand 2 ≤w≤z⇒w+z≤wz), in consequence
log b(n−1) ≤log b(n−x) + log b(x−1).
If 3 ≤x≤ bn+1
2cand nis odd, then 3 ≤x≤n
2<bn+1
2c=n+1
2, in consequence we need to
prove, only that x=n+1
2implies log b(n−1) ≤log b(n−x) + log b(x−1). Indeed, if n= 2k+ 1,
with k∈Z+−{1}(3 ≤x≤n+1
2), then x=n+1
2=k+1 and as 2k≤k2,∀k∈Z+−{1}, similarity,
we obtain that n−1≤(n−x)(x−1). Therefore, log b(n−1) ≤log b(n−x) + log b(x−1).
Likewise, as bwc+bzc ≤ bw+zc ⇔ bw+zc+ 1 ≤ bwc+bzc+ 2,∀w, z ∈Rthen we have
blog b(n−1)c+1 ≤ blog b(x−1)c+blog b(n−x)c+2 . This is, dGPb(n)(1) = dGPb(n)(n)≤dGPb(n)(x),
if 3 ≤x≤ bn+1
2c(see Lemma 1).
(Numeral 3). If n= 3 we consider that ∆(K3) = 2 = b2[log b(3−1
2) + 1]c, for all b∈Z+−{1}.
If n= 4 then, by definition of GPb(n),
∆(GPb(4)) = 2log b4−1
2+ 1=(3,if b= 2
2,if b > 2.
If n≥5, we consider that the maximum of the function f(x) = log b(x−1)+log b(n−x)+2, in
the interval [2, n−1], is 2 log b(n−1
2)+2 for x=n+1
2, (f(x) is continuous and differentiable function
in ]2, n −1[ and [2, n −1], respectively), whereby f(x) reach the maximum valor (Weierstrass’s
Extreme Valor Theorem and Critical Value of f[4]. Furthermore, we consider the proof of
Numeral 1 and the Lemma 1. Thus, we have ∆(GPb(n)) ≤ b2[log b(n−1
2) + 1]c.
We consider other interesting properties. For all b∈Z+− {1}and for all n∈Z+,GPb(n)⊆
GPb(n+ 1) (GPb(n) is subgraph of GPb(n+ 1)). Furthermore, GPb(n) contain a Hamiltonian
path, denoted by HP , such that for n > 1, E(HP ) = {{x, x + 1}}n−1
x=1 . However, some graphs
of base power b, associated to a positive integer number n, no contain a Hamiltonian cycle, for
example GP3(9) contain a Hamiltonian path HP: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 and no contain a Hamiltonian
cycle (see Figure 2).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
The graph of a base power b, associated... 35
Figure 2: GP3(9).
Otherwise, if n=bs+br, with n≥3, b∈Z+−{1},s, r ∈Z+∪{0}and, without loss of gen-
erality, qn=r(see equation 1) then HC :n, HP −, b r+1,1, HP +, b r, n is a Hamiltonian cycle in
GPb(n). For example GP3(12) contain a Hamiltonian cycle HC : 12,11,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,
because n= 12 = 3 + 32(see Figure 3).
Figure 3: GP3(12).
In consequence, for any B=bin Z+, if A=r=s= 2 or if A=b+ 1, with r=b+ 2
and s=b+ 1, then GPB(ABA) is Hamiltonian. This is, the GPb(2b2) and GPb((b+ 1)bb+1) are
Hamiltonian. Thus, there exists an infinite subsuccession, in the ABA numbers sequence (have
the form aba,∀a∈Z+), associated to a Hamiltonian graph of a base power Bto a positive integer
number ABA. The ABA numbers, sequence A171607 in the OEIS (The On-Line Encyclopedia
of Integer Sequences) [7], is a generalization of the Cullen and Woodall numbers. The Cullen
numbers are given by the expression a2a+ 1, (sequence A002064 in the OEIS, [8]) and Woodall
numbers by a2a−1, ∀a∈Z+(sequence A003261, [9]).
Furthermore, for n∈Z+− {1}fixed, if b→ ∞ then GPb(n)→HP n−1, this is, if b > n
implies that the graph GPb(n) is the Hamiltonian path HP with length n−1 (Lemma 1 and the
proof of Numeral 1 in the Theorem 1). For example, for n = 4, see Figure 4.
Figure 4: b→∞⇒GPb(4) →HP 3.
Also, thanks to the Lemma 1, we can obtain the degree sequence of any GPb(n). A non-
decreasing sequence ql, q2, . . . , qnof non-negative integers is the degree sequence or graphic se-
quence, if only if there is a graph Gwith nvertices xl, x2, . . . , xn, such that the dG(xi) = qifor
i= 1,2, . . . , n [2].
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
36 D. Brito - O. Castro - L. Mar´ın
3 The graph GP2(n)
In this section, we studied the graphs of base power 2, associated to a positive integer number n,
when are pancyclic, Hamiltonian and Hamilton-connected.
Theorem 2. For all integer n≥3,GP2(n)is pancyclic.
Proof. For n= 3, GP2(3) = K3, which is pancyclic (see Figure 5, below).
Figure 5: GP2(n), with n= 1,2,3,5.
Let n≥4. By definition of GP2(n),there is a Hamiltonian path, HP in GP2(n), with initial
vertex 1 and final vertex n, its vertices set contain a consecutive positives integer succession.
Likewise, GP2(n) have sides {xi, xi+1}for i= 1,2,3, . . . , pkand {yj, yj+1}for j= 1,2,3, . . . , qk,
with xi= 2i−1, yj= 2j,pk=k
2−par(k), qk=k
2−1, for k= 4,5,6, . . . , n, and par(h) =
1+(−1)h
2(parity of h∈Z). Therefore, we consider in GP2(n) the n−3 cycles:
Ck:x1, x2,··· , xpk+1, yqk+1,··· , y2, y1, x1,
furthermore, we observe that V(Ck) = {xi}pk+1
i=1 ∪{yj}qk+1
j=1 ,|V(Ck)|=kand as K3=GP2(3) ⊆
GP2(n), for all integer n≥3, GP2(n) also contain the cycle C3: 1,3,2,1, thus, we obtain GP2(n)
is pancyclic.
We observe that for k=n, in the proof of Theorem 2, GP2(n) contains a Hamiltonian cycle,
therefore, for all n≥3, GP2(n) is a Hamiltonian graph. For example, GP2(4) and GP2(5) are
isomorphic, respectively, to the graphs in Figure 6.
Figure 6: The isomorphic of GP2(n), with n= 4,5.
We observe the cycles in GP2(4):
C3: 1,3,2,1 C4: 1,3,4,2,1.
And observe the cycles in GP2(5):
Theorem 3. For all n∈Z+− {4},GP2(n)is Hamilton-connected.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
The graph of a base power b, associated... 37
C3: 1,3,2,1 C4: 1,3,4,2,1 C5: 1,3,5,4,2,1.
Proof. For n= 1,2,3, follows from the definition of GP2(n), moreover, GP2(1), GP2(2) and
GP2(3) are isomorphic to the complete graph K1,K2and K3, respectively (see Figure 5,
further behind). Thus, for n > 4 we apply induction over n.
If n= 5, we consider the elemental paths in GP2(5) (observing Figure 6):
HP 4: 1,2,3,4,5 2P5: 2,1,3,4,5 3P5: 3,1,2,4,5 4P5: 4,3,2,1,5
1P4: 1,2,3,5,4 2P4: 2,1,3,5,4 3P4: 3,2,1,5,4
1P3: 1,2,4,5,3 2P3: 2,1,5,4,3
1P2: 1,3,5,4,2
Then, GP2(5) is Hamilton-connected.
If n= 6 (see Figure 7), we consider four cases, based in the construction of the Hamiltonian
paths in GP2(5):
Figure 7: GP2(6).
Case 1. The elemental paths in GP2(6), expanding the Hamiltonian paths in GP2(5) define
previously:
1P5: 1,2,3,4,6,5 2P5: 2,1,3,4,6,5 3P5: 3,1,2,4,6,5
1P4: 1,2,3,5,6,4 2P4: 2,1,3,5,6,4 3P4: 3,2,1,5,6,4
1P3: 1,2,4,6,5,3 2P3: 2,1,5,6,4,3
1P2: 1,3,5,6,4,2
Case 2. For the Hamiltonian paths HP 5, 2P6, 3P6, 4P6 and 5P6 in GP2(6), we extend the
Hamiltonian paths in GP2(5) to:
HP 5: 1,2,3,4,5,62P6: 2,1,3,4,5,63P6: 3,1,2,4,5,64P6: 4,3,2,1,5,6
Case 3. For the Hamiltonian path 4P5 in GP2(6) , we extend the Hamiltonian path 4P2 in
GP2(4) (see Figure 6), therefore 4P5 : 4,3,1,2,6,5.
Case 4. For the Hamiltonian path 5P6 in GP2(6) , we extend the Hamiltonian path 2P5 in
GP2(5) (see Figure 6), therefore 5P6 : 5,4,3,1,2,6.
Thus, GP2(6) is Hamilton-connected.
Successively, by construction, from the Hamiltonian paths in GP2(5), suppose that theorem
is true for 6 ≤n=h(inductive hypothesis: GP2(h) is Hamilton-connected), we will demonstrate
that GP2(h+ 1) is Hamilton-connected:
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
38 D. Brito - O. Castro - L. Mar´ın
If we consider n=h+ 1, all elemental paths in GP2(h+ 1), with length h, contain hvertices
of any elemental paths in GP2(h) and contain h−1 vertices of any elemental paths in GP2(h−1)
(GP2(h−1) ⊆GP2(h)⊆GP2(h+ 1)). Therefore, for x, y ∈V(GP2(h+ 1)) different, without
loss of generality, suppose x<y, we chosen the vw-elemental path in GP2(h) (or in GP2(h−1)),
and we consider four cases, for found the xy-elemental path, with length h, in GP2(h+ 1):
Case 1. If, simultaneously, v6=h−1, w6=hand x, y 6=h+ 1, then by construction, from
the Hamiltonian paths in GP2(5) until GP2(h), in GP2(h), we obtain the elemental paths with
length h−1 :
vP w :v, ··· , h −1, h, ··· , w
or
vP w :v, ··· , h, h −1,··· , w
which are expanded, respectively, to the elemental paths in GP2(h+ 1), with length h:
xP y :v, ··· , h −1,h + 1, h, ··· , w
or
xP y :v, ··· , h, h + 1, h −1,··· , w.
Case 2. Let v=x, if w=hthen y=h+ 1, so that, in GP2(h), we obtain the elemental
path, with length h−1 (inductive hypothesis):
vP w :v, ··· , w.
which is extended to, the path in GP2(h+ 1), with length h:
xP y :v, ··· , w, h + 1.
Case 3. If x=h−1 then y=h. Thus, we chosen the vw-Hamiltonian path in GP2(h−1)
(for 5 ≤h−1< h, we consider the inductive hypothesis), with v=h−1 and w=h+ 1 −2rfor
r > 1, and we obtain the elemental path, with length h:
xP y :v, ··· , w, h + 1,h.
Case 4. If x=hand y=h+ 1, we chosen the vw- Hamiltonian path in GP2(h), with v=h
and w=h+ 1 −2rfor r > 1 (inductive hypothesis), we obtain the elemental path, with length
h:
xP y :v, ··· , w, h + 1.
Finally, if n= 4, we observe in the Figure 6 above, that in GP2(4) does not exists a Hamil-
tonian path 2P3, in consequence GP2(n) is Hamilton-connected for all n∈Z+− {4}.
We observe that the graph GP2(n) has interesting properties obtained by construction, with-
out the need for many conditions.
Given Theorem 2 and Theorem 3, for any integer n≥16, GP2(n) are examples of an infinity
of Hamiltonian graphs, such that k
k+1 n≥n
2>∆(GP2(n)), with k∈Z+or n > 2∆(GP2(n)) ≥
dGP2(n)(x) + dGP2(n)(y) for any x, y ∈V(GP2(n)). In all cases, we consider Lemma 1, Theorem 1
and 4
√2(n−1) > n, for all integer n≥7 and 2n
2>(n−1)2, for all integer n≥16. In consequence,
the hypothesis of Seymour’s Conjecture, of Dirac’s Theorem and of Ore’s Theorem (see [3]) are
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 31–39
The graph of a base power b, associated... 39
no necessary for the graph GP2(n) with n≥16. Furthermore, by Lemma 1, Theorem 2 and the
inequalities shows above, we obtain that the sequence degree of GP2(n), for all integer n≥16, no
satisfies the hypothesis of Chv´atal’s Theorem [2]. In consequence, {GP2(n)}∞
n=16 is a succession
of Hamiltonian graphs whose degree sequence is majorized by a graphic sequence which is not
forcibly Hamiltonian. A sequence q1, q2, . . . , qkmajorizes a sequence d1, d2, . . . , dkif and only if
qi≥di, for all i≤k, with k∈Z+and a graphic sequence is forcibly Hamiltonian, if and only if
every graph with this degree sequence is Hamiltonian [2].
Finally, thanks to GP2(n), we show that any sequence of consecutive positive integers, {n}m
n=1,
is associated, simultaneously, to a nontrivial pancyclic (Hamiltonian) and Hamilton-connected
graph.
References
[1] Abawajy, J., Kelarev, A. and Chowdhury, M., Power Graphs: A Survey, Electronic Journal
of Graph Theory and Applications, 1(2)(2013), 125-147.
[2] Chv´atal, V., On Hamilton’s Ideal, Journal of Combinatorial Theory, 12(B)(1972), 163–168.
[3] Diestel, R., Graph Theory (2th ed.), Springer, New York, 2000.
[4] Leithold, L., El C´alculo (7th ed.), Oxford University Press, M´exico, 1998.
[5] Lipschutz, S., Teor´ıa de Conjuntos y Temas Afines, McGraw-Hill/Interamericana de M´exico
S. A. de C.V., M´exico, 1994.
[6] Mukherjee, H., Hamiltonicity of the Power Graph of Abelian Groups, in :https://arxiv.
org/pdf/1505.00584(2017), consulted 05/07/2017, 01:25 a.m.
[7] Munafo, R., Expressible as A*BAin a nontrivial way, in: https://oeis.org/
A171607(2009) consulted 20/11/2019, 02:14 a.m.
[8] Sloane, N., Cullen numbers: n∗2n+ 1, in :https://oeis.org/A002064(2012), consulted
20/11/2019, 00:14 a.m.
[9] Sloane, N., Woodall (or Riesel) numbers: n∗2n−1, in: https://oeis.org/A003261(2012),
consulted 20/11/2019, 01:05 a.m.
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Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
Influence of physical exercise on the
strengthening of immunity. Mathematical model.
Influencia del ejercicio f´ısico en el fortalecimiento de la inmunidad. Modelo
matem´atico.
Annia Ruiz S´anchez (anniaruiz@nauta.cu)
Daniela Sara Rodr´ıguez Salmon (daniela.rodriguezs@uo.edu.cu)
Sandy S´anchez Dom´ınguez (sandys@uo.edu.cu)
Mathematics Department, Faculty of Natural and Exact Sciences, University of Oriente
Cuba
Yuri Alc´antara Olivero (yalcantara@uo.edu.cu)
Department of Computer Science, Faculty of Natural and Exact Sciences, University of Oriente
Cuba
Adolfo Arsenio Fern´andez Garc´ıa (adolfof@uo.edu.cu)
Physics department, Faculty of Natural and Exact Sciences, University of Oriente
Cuba
Isabel Mart´en Powell (isamp@infomed.sld.cu)
University of Medical Sciences of Santiago de Cuba
Cuba
Antonio Iv´an Ruiz Chaveco (iruiz2005@yahoo.es)
University of the State of Amazonas
Brazil
Abstract
In the present work we analyze how physical exercises can influence the increase of a
person’s immunity; a study of the different types of pathogens is carried out, in particular
the characteristics of viruses, their manifestations and appearance are investigated; the char-
acteristics of the immune system as well as immunity, either innate or acquired, are studied.
The relationship between viruses and a person’s immune system is investigated, as well as
how the immune system can react to the presence of a virus.
The dynamics of the interaction of the virus vs the immune system is simulated by means
of a system of ordinary differential equations, the equilibrium points and the behavior of the
trajectories in a neighborhood of the equilibrium points are determined, additionally the
critical case of a zero and negative one eigenvalue, giving conclusions about the process in
the different cases.
Key words and phrases: Mathematical model, epidemic, physical exercises, immunity.
Recibido 08/04/2021. Revisado 30/04/2021. Aceptado 12/07/2021.
MSC (2010): Primary 34Dxx; Secondary 34Cxx.
Autor de correspondencia: Sandy S´anchez Dom´ınguez
Physical exercise and strengthening of immunity. Mathematical mode 41
Resumen
En el presente trabajo se analiza c´omo los ejercicios f´ısicos pueden influir en el aumento
de la inmunidad de una persona; se realiza un estudio de los diferentes tipos de pat´ogenos, en
particular se investigan las caracter´ısticas de los virus, sus manifestaciones y apariencia; se
estudian las caracter´ısticas del sistema inmunol´ogico as´ı como la inmunidad, ya sea innata o
adquirida. Se investiga la relaci´on entre los virus y el sistema inmunol´ogico de una persona,
as´ı como el sistema inmunol´ogico puede reaccionar ante la presencia de un virus.
La din´amica de la interacci´on del virus vs el sistema inmunol´ogico se simula mediante
un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, se determinan los puntos de equilibrio y el
comportamiento de las trayectorias en una vecindad de las posiciones de equilibrio, adicio-
nalmente se estudia el caso cr´ıtico de un autovalor cero y uno negativo, dando conclusiones
sobre el proceso en los diferentes casos.
Palabras y frases clave: Modelo matem´atico, epidemia, ejercicios f´ısicos, immunidad.
1 Introduction
The immune system is a set of elements that exist in the human body. These elements interact
with each other and are intended to defend the body from diseases, viruses, bacteria, microbes,
among others. The human immune system serves as a protection, shield or barrier that protects
us from undesirable beings, antigens, that try to invade our body. Therefore, it represents the
defense of the human body.
There are confessions of patients who, due to the doctor’s suggestions, permanently started to
perform physical exercises to strengthen their immune system, in the face of infectious diseases,
perceiving a low immunity; gradually obtaining a change in your organism. The fitness coach
stated that he was not the only case, as he had others with similar situations. This problem is
addressed further in specialized bibliographies (cf. [1, 2, 14]).
When the immune system does not function properly, it decreases its ability to defend our
body. Thus, we are more vulnerable to diseases such as tonsillitis or stomatitis, candidiasis, skin
infections, ear infections, herpes, colds and flu. To strengthen the immune system and avoid
problems with low immunity, special attention is needed with food. Some fruits help increase
immunity, such as apples, oranges and kiwis, which are citrus fruits. The intake of omega 3 is
also an ally for the immune system.
The immune system is made up of a complex of different cells that receive and emit different
signals directed at white blood cells, thus regulating the body’s defense mechanisms. The me-
diators of this interaction are proteins, peptides and other substances that for their activity are
called immunomodulators. Biological immunomodulators are made up of a group of molecules
with specific properties, many of them chemically and biologically very well characterized and
others to be discovered. (cf. [16, 18]).
In the human organism there are own cells and inappropriate cells, among the inappropriate
are pathogens; These inappropriate cells can cause changes in the body, which can turn into
diseases and even cause the death of the person; pathogens can include viruses, bacteria, fungi,
and parasites; these can be intracellular or extracellular.
Viruses are simple structures, they are considered mandatory intracellular parasites, because
they depend on cells to multiply. Outside the intracellular environment, viruses are inert. How-
ever, once inside the cell, the replication capacity of viruses is surprising: a single virus is capable
of multiplying, in a few hours, thousands of new viruses. Viruses are capable of infecting living
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
42 A. Ruiz- D. Rodr´ıguez - S. S´anchez - Y. Alc´antara - A. Fern´andez - I. Mart´en - A. I. Ruiz
beings from all domains. In this way, represent the greatest biological diversity on the planet,
being more diverse than bacteria, plants, fungi and animals combined (cf. [17]).
When the human body is attacked by a virus, a reaction from the immune system to the person
quickly occurs to prevent this aggression; there are occasions when this reaction is sufficient to
free the organism from any infection, but in many cases this is not enough and it is necessary to
supply medication and other artificial substances capable of adding immunity such as interferons,
among others.
Immunity can be innate or acquired, acquired immunity is adaptive and is made up of lym-
phocytes; On the other hand, innate immunity is made up of cells and molecules with the great
function of defending the body from any aggressor, these have the ability to kill, this is an
instantaneous process, this being the first defense of the body.
Interferons are glycoproteins that have several biological actions, including complex antiviral,
immunomodulatory and antiproliferative effects. Its production and endogenous release occurs
in response to viruses and other inducers, with the exception of bacterial exotoxins, polyanions,
some low molecular weight compounds and microorganisms with intracellular growth (cf. [22]).
There are many diseases that are transmitted from person to person directly, and different
forms of contagion are used for this purpose, often through speech or breathing or in some other
way; but in many other cases this transmission can be carried out by means of a vector being the
mosquito the most common. It is said that the cases of maximum risk are adults of the third age
and especially those who suffer from some chronic disease; but practice has shown that in the face
of this disease, there is no one safe, and it can have a slow evolution that acts in a fulminating
way.
Today the most worrying situation is COVID-19, caused by the SARS-CoV-2 coronavirus, a
respiratory disease that has claimed so many lives, there are many ideas on how to combat this
disease; but the method that most researchers agree with is the method of isolating those infected
to avoid possible transmission to other people [19, 20]. In [21] this process of contagion of the
coronavirus is simulated by means of a generalization of the logistic method to characterize the
process when it grows and when it decreases; indicating the moment of change of concavity of
the curve.
One of the treatments that has already given results is interferon alpha-2b, in addition to
others already tested in the treatment of other diseases such as AIDS, hepatitis, among others.
Interferon alpha-2b, was developed by the Cuban Genetic Engineering and Biotechnology Center
and has already been used in different parts of the world with highly reliable results (cf. [5]).
In [3] different real-life problems are dealt with using autonomous differential equations and
systems of equations, where examples are developed and other problems and exercises are pre-
sented for the reader to develop. The authors of [4] indicate a set of articles that form a collection
of several problems that model different processes, using in their study the qualitative and ana-
lytical theory of differential equations for both autonomous and non-autonomous cases, in both
books the authors address the problem of epidemic development.
In [17], the probabilistic model is used to simulate population growth, which are applied to
the development of epidemics. There are multiple works devoted to the study of the causes and
the conditions under which an epidemic may develop, among which we can indicate (cf. [12]).
The problem of epidemic modeling has always been of great interest to researchers, such
as [6–11, 13] and [15]. In this work we will apply the generalized logistic model, where the
case of the growth and decrease of the infected are applied in the same equation; to model the
development of epidemics, a model that allows forecasts of future behavior.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
Physical exercise and strengthening of immunity. Mathematical mode 43
2 Model formulation
The human body works like a prefect machine, producing enzymes, hormones and substances
that will be used, according to the needs; but there are occasions that this is not enough due to
the causes of those needs, for example in the case of the appearance of a virus situation in which
in general artificial supplies are necessary to achieve an effective coping with the situation.
In order to formulate the model using a system of differential equations, the following variables
will be introduced:
x1is the total concentration of the healthy cells at the moment t
x2is the total virus concentration at the time t.
In addition, ¯x1and ¯x2the values of the allowable concentrations of the healthy cells and the
virus respectively.
In this way the model will be given by the following system of differential equations.
(x0
1=x1f(x1, x2)
x0
2=x2g(x1, x2)(1)
The main objective of this work is to determine the equilibrium positions and to study the trajec-
tories of the system in the vicinity of the equilibrium positions. Suppose that the and functions
can be expressed by the following development, which is in correspondence with the relationship
between the virus and the home immune system, because between them there is a coping rela-
tionship, fighting for survival.
f(x1, x2) = a1−a2x2−a3x1+f1(x1, x2)
g(x1, x2) = −b1+b2x1+b3x2+g1(x1, x2)
Remark 1. Here are considering that the initial encounter is favorable to viruses, otherwise there
would be no viral process. The signs of the coefficients of the previous development correspond to
the characteristics of the problem addressed.
The functions f1(x1, x2)and g1(x1, x2)from a physiological point of view represent external
influences, in particular the effect of physical exercise, these disturbances from a mathematical
point of view are infinitesimal of order superior in a neighborhood of the origin (0,0), that is to
say in its development only terms of superior degree appear.
Therefore, the system (1) takes the form:
(x0
1=a1x1−a2x1x2−a3x2
1+x1f1(x1, x2)
x0
2=−b1x2+b2x1x2+b3x2
2+x2g2(x1, x2)(2)
If the functions f1(x1, x2) and g1(x1, x2) are identically null, then system (2) takes the form,
(x0
1=a1x1−a2x1x2−a3x2
1
x0
2=−b1x2+b2x1x2+b3x2
2
(3)
The equilibrium positions of the system (3) are the points, P1(0,0), P20,b1
b3,P3a1
a3
,0and
P4a2b1−a1b3
a2b2−a3b3
,a1b2−a3b1
a2b2−a3b3.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
44 A. Ruiz- D. Rodr´ıguez - S. S´anchez - Y. Alc´antara - A. Fern´andez - I. Mart´en - A. I. Ruiz
Analysis at point P1
To the point P1, if you have that the characteristic equation of the matrix of the linear part of
the system has the form, λ2+ (b1−a1)λ−a1b1= 0. Here there is a positive eigenvalue, and
therefore the equilibrium position P1is unstable.
Example 1. Be the system
(x0
1= 2x1−x1x2−3x2
1
x0
2=−x2+ 2x1x2+ 2x2
2
5 10 15 20
t
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x1
Figure 1: Graph of y1(t) in the Example 1
5 10 15 20
t
0.01
0.02
0.03
0.04
x2
Figure 2: Graph of y2(t) in the Example 1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
x1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
x2
Figure 3: Graph of y1(t) vs y2(t) in the Example 1
Here we see that in spite of the origin of coordinates both the solution in x1(t) how in x2(t)
remain in tune, but this position of equilibrium is unstable as it changes in the graph of x1(t)
against x2(t). This is in correspondence with the results obtained from the theoretical point of
view.
It is not important to study the point P2because it is made explicit here that the concentra-
tions of healthy cells would disappear, and therefore the person will die.
Analysis at point P3
To the point P3it is necessary to make a change of variables to analyze the behavior of trajectories
in a neighborhood at that point. The transformation of coordinates,
x1=y1+a1
a3
x2=y2
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
Physical exercise and strengthening of immunity. Mathematical mode 45
Reduces the system (3) in the next system,
y0
1=−a1y1−a1a2
a3
y2−a2y1y2−a3y2
1
y0
2=a1b2−a3b1
a3
y2+b2y1y2+b3y2
2
(4)
The characteristic equation of the matrix of the linear part of the system (4) has the form,
λ2+a3(a1+b1)−a1b2
a3
λ+a1a3b1−a2
1b2
a3
= 0
Theorem 1. The equilibrium position P3it is asymptotically stable if and only if a1b2< a3b1is
fulfilled.
Proof. Like a3(a1+b1)−a1b2
a3
=a1b2−a3b1
a3
−a1and a1a3b1−a2
1b2
a3
=−a1(a1b2−a3b1
a3
) then,
the eigenvalues associated with the system (4) are λ1=a1b2−a3b1
a3
and λ2=−a1, therefore if
the condition a1b2< a3b1therefore if the condition, λ1and λ2are negative and the system (4)
is asymptotically stable.
Remark 2. It follows that if the condition of Theorem 1 are satisfied, the virus will disappear,
with no consequences for the patient whenever the point coordinates correspond to the optimal
concentration values, otherwise it will be necessary to take the necessary prophylactic measures
to prevent the patient from falling into a coma.
Example 2. Given the following system that satisfies the conditions of Theorem 1
(y0
1=−0.3y1−0.12 y2−0.2y1y2−0.5y2
1
y0
2=−0.64 y2+ 0.1y1y2+ 0.1y2
2
Where a1b2=a3b1,λ1= 0 so the system (4) constitutes a critical case, then the matrix of
the linear part of the system (4) to have a zero eigenvalue and a negative one, in this case the
second method of Liapunov will be applied once this system is reduced to the quasi-normal form.
By means of a non-degenerate transformation z=Sy, the system (4) can be transformed into
the system,
(y0
1=Y1(y1, y2)
y0
2=λ2y2+Y2(y1, y2)(5)
when Sis the matrix
−a2
a3
1
0 1
,
Y1(y1, y2) = a3b3−a2b2
a3
y2
1+b2y1y2and
Y2(y1, y2) = a2(a3b3−a2b2)
a2
3
y2
1+a2(a3+b2)
a3
y1y2−a3y2
2
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
46 A. Ruiz- D. Rodr´ıguez - S. S´anchez - Y. Alc´antara - A. Fern´andez - I. Mart´en - A. I. Ruiz
2 4 6 8 10 t
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
y1
Figure 4: Graph of y1(t) in the Example 2
2 4 6 8 10 t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y2
Figure 5: Graph of y2(t) in the Example 2
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 y1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
y2
Figure 6: Graph of y1(t) vs y2(t) in the Example 2
Theorem 2. The exchange of variables,
(y1=z1+h1(z1) + h0(z1, z2)
y2=z2+h2(z1)(6)
transforms the system (5) into almost normal form,
(z0
1=Z1(z1)
z0
2=λ2z2+Z2(z1, z2)(7)
Where h0and Z2cancel each other out z2= 0.
Proof. Deriving the transformation (6) along the trajectories of the systems (5) and (7) the
system of equations is obtained,
p2λ2h0+Z1(z1) = Y1−dh1
dz1
Z1−∂h0
∂z1
Z1−∂h0
∂z2
Z2
λ2h2+Z2=Y2−dh2
dz1
Z1
(8)
To determine the series that intervene in the systems and the transformation, we will separate
the coefficients of the powers of degree p= (p1, p2) in the following two cases:
Case I): Doing in the system (9) z2= 0, is to say for the vector p= (p1,0) results the system,
Z1(z1) = Y1(z1+h1, h2)−dh1
dz1
Z1
λ2h2=Y2(z1+h1, h2)−dh2
dz1
Z1
(9)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
Physical exercise and strengthening of immunity. Mathematical mode 47
The system (9) allows determining the series coefficients, Z1,h1and h2, where for being the
resonant case h1= 0, and the remaining series are determined in a unique way.
Z1(z1) = a3b3−a2b2
a3
z2
1−a2b2(a3b3−a2b2)
a1a2
3
z3
1+. . .
h2(z1) = −a2(a3b3−a2b2)
a1a2
3
z2
1+2a2
2(a3+b2)(a3b3−a2b2)2
a1a2
3
z3
1+. . .
Case II): For the case when z26= 0 of the system (8) it follows that,
p2λ2h0=Y1(z1+h1, z2+h2)−∂h0
∂z1
Z1−∂h0
∂z2
Z2
Z2=Y2(z1+h1, h2+z2)
(10)
Because the series from system (7) are known expressions, the system (10) allows you to calculate
the series h0and Z2.
Z2(z1, z2) = a2(a3b3−a2b2)
a2
3
z2
1+a2(a3+b2)
a3
z1z2−a3z2
2+. . .
h0(z1, z2) = −b2
a2
1
z1z2+. . .
This proves the existence of variable exchange.
Theorem 3. When a3b3< a2b2, the solution of the system (7) is stable, otherwise it is inestable.
Proof. Consider the Lyapunov function defined positive,
V(z1, z2) = 1
2(z2
1+z2
2)
The derivative along the trajectories of the system (7) has the following expression,
dV
dt (z1, z2) = a3b3−a2b2
a3
z3
1−a1z2
2+R(z1, z2).
Therefore, taking into account that the point P3is in the first quadrant, dv(z1, z2)
dt is negative
definite, because in function Rwe only have terms of a degree greater than 2 concerning z1and
higher than the second with respect to z2, therefore the system (3) is asymptotically stable.
Remark 3. In this case, the total concentration of healthy cells converges to the optimal concen-
tration, however, the total concentration of the virus converges to an acceptable concentration;
otherwise, the patient would enter a state of crisis at any time, in which case measures would
have to be taken to avoid worse consequences. For the convergence of total concentrations to per-
missible values, the action of external agents is feasible, where the influence of physical exercise
is included.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
48 A. Ruiz- D. Rodr´ıguez - S. S´anchez - Y. Alc´antara - A. Fern´andez - I. Mart´en - A. I. Ruiz
Example 3. Given the following system that verifies the conditions of the theorem 3
(z0
1=−z1−z2−z1z2−2z2
1
z0
2= 2z1z2+z2
2
is obtained:
20 40 60 80 100
t
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.02
z1
Figure 7: Graph of z1(t) in the Example 3
20 40 60 80 100
t
0.02
0.04
0.06
0.08
z2
Figure 8: Graph of z2(t) in the Example 3
-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 y1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
y2
Figure 9: Graph of z1(t) vs z2(t) in the Example 3
As it is perceived in this system, the conditions of the theorems are fulfilled, and the conver-
gence of the total concentrations to the optical concentrations is graphically demonstrated, this
allows to see the reality of the theory developed in this paper.
Analysis at point P4
For biological interest, let’s assume the next conditions of existence a2b1> a1b3,a1b2> a3b1and
a2b2> a3b3, which guarantees that P4is in the first quadrant. The transformation of coordinates,
x1=u1+a2b1−a1b3
a2b2−a3b3
x2=u2+a1b2−a3b1
a2b2−a3b3
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
Physical exercise and strengthening of immunity. Mathematical mode 49
Reduces the system (3) in the next system,
u0
1=−a3(a2b1−a1b3)
a2b2−a3b3
u1−a2(a2b1−a1b3)
a2b2−a3b3
u2−a2u1u2−a3u2
1
u0
2=b2(a1b2−a3b1)
a2b2−a3b3
u1−b3(a3b1−a1b2)
a2b2−a3b3
u2+b2u1u2+b3u2
2
(11)
Whose characteristic equation of the matrix of the linear part of the system (11) has the form,
λ2+a3b1(a2+b3)−a1b3(a3+b2)
a2b2−a3b3
λ+(a1b2−a3b1)(a2b1−a1b3)
a2b2−a3b3
= 0 (12)
Theorem 4. The equilibrium position P4it is asymptotically stable if and only if the condition
a3b1(a2+b3)> a1b3(a3+b2)is fulfilled.
Proof. The proof of this theorem is obtained from the conditions of Hurwitz’s theorem, by the
conditions of existence (a1b2−a3b1)>0, (a2b1−a1b3)>0 and (a2b2−a3b3)>0, therefore
(a1b2−a3b1)(a2b1−a1b3)
a2b2−a3b3
>0, so if a3b1(a2+b3)> a1b3(a3+b2) is fulfilled the coefficients of
the characteristic equation are positive and the eigenvalues have negative real part.
Example 4. Given the following system that verifies the conditions of the theorem 4
u0
1=−0.0149754u1−2.99507u2−2u1u2−0.01u2
1
u0
2= 0.985025u1+ 0.00492512u2+ 0u1u2+ 0.01u2
2
is obtained:
2 4 6 8 10
t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
u1
Figure 10: Graph of u1(t) in the Example 3
2 4 6 8
t
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
u2
Figure 11: Graph of u2(t) in the Example 3
Remark 4. It follows that if condition of Theorem 4 are fulfilled, the concentration values
of the virus and the cells will remain in the vicinity of the point P4, and if the coordinates of
that point are close to the optimal values of the concentrations, there will be no consequences for
the patient, so the concentrations of viruses and cells would be close to the values allowed for
the human body, so no there will be consequences, otherwise the necessary prophylactic measures
must be taken to avoid a fatal outcome.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
50 A. Ruiz- D. Rodr´ıguez - S. S´anchez - Y. Alc´antara - A. Fern´andez - I. Mart´en - A. I. Ruiz
Acknowledgments
The authors appreciate the technical support and invaluable feedback provided by Luis Eugenio
Vald´es Garc´ıa, Digna de la Caridad Bandera Jim´enez, Adriana Rodr´ıguez Vald´es, Manuel de
Jes´us Salvador ´
Alvarez and Hilda Morandeira Padr´on. We also thank to Universidad de Oriente,
Direcci´on de DATYS-Santiago de Cuba, Direcci´on Provincial de Salud P´ublica and managers of
the provincial government of Santiago de Cuba.
References
[1] Alak, K., Pilat, Kruger K. Current Vol. Kanowledge and new chailengesin exercise immunol-
ogy, Deutsche Zeitschriftfur Sportmedizin, 70(10) (2019), 250–260.
[2] Boch. W, Immunsistem und Sport - E ine wechselhafte Bziehung, Deutsche Zeitschriftfur
Sportmedizin, 70(10) (2019), 217–218.
[3] Ruiz Chaveco, A. I. et al., Modelagem matem´atica de problemas diversos, Curitiba: Appris,
Brazil, 2018.
[4] Ruiz Chaveco, A. I. et al., Applications of Differential Equations in Mathematical Modeling,
Curitiba: CRV, Brazil, 2016.
[5] Del Sol G. Y, The interferon that treats covid-19,https://www.granma.cu, 2020.
[6] Earn D. J., Rohani P., Bolker B. M., and Grenfell B. T., A simple model for complex
dynamical transitions in epidemics, Science, 287 (2000), 667–670.
[7] Esteva L. and Vargas C., Analysis of a dengue disease transmission model, Math. Biosci.,
150 (1998), 131–151.
[8] Greenhalgh. D and Das. R, Some threshold and stability results for epidemic models with a
density dependent death rate, Theoret. Population Biol., 42 (1992), 130–151.
[9] Gripenberg. G, On a nonlinear integral equation modelling an epidemic in an age-structured
population, J. Reine Angew. Math., 341 (1983), 147–158.
[10] Halloran. M. E, Watelet. L and Struchiner. C. J, Epidemiological e[U+FB00]ects of vaccines
with complex direct effects in an age-structured population, Math. Biosci., 121 (1994), 193–
225.
[11] Halloran. M. E, Cochi. S. L, Lieu. T. A, Wharton. M, and Fehrs. L, Theoretical epidemiologic
and morbidity effects of routine varicella immunization of preschool children in the United
States, Am. J. Epidemiol., 140 (1994), 81–104.
[12] Hamer. W. H, Epidemic disease in England, Lancet, 1(1906), 733–739.
[13] Hethcote. H. W, A thousand and one epidemic models, in Frontiers in Theoretical Biology,
Lecture Notes in Biomath. 100, Springer - Verlag, Berlin, 1994.
[14] Inkabi. S.E, Richter. P and Attakora. K, Exercise immunology: involved componentes and
varieties in diferente types of physical exercise, Scientect Journal of Life Sciennces, 1(1)
(2017), 31–35.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
Physical exercise and strengthening of immunity. Mathematical mode 51
[15] Hethcote. H. W, Qualitative analysis of communicable disease models, Math. Biosci., 28
(1976), 335–356.
[16] Janeway. C.A, Jr., et al., Immunobiology, Garland Science, 2005.
[17] Maitland. H. B and Maitland. M. C, Cultivation of vaccinia virus without tissue culture,
Lancet., 212 (1928), 596–597. Doi: 10.1016/S0140-6736(00)84169-0
[18] Mayer. G, Immunology Chapter Two: Complement. Microbiology and Immunology, On Line
Textbook. USC School of Medicine, 2006.
[19] Montero. C. A, Covid 19 with science in China, On http://www.cubadebate.cu, 2020.
[20] Rodney. C. B. Mathematical Modeling, S˜ao Paulo, Brazil, 2004.
[21] Ruiz. A, et al., Coronavirus, A Challenge For Sciences, Mathematical Modeling, IOSR Jour-
nal of Mathematics (IOSR-JM), 16(3) (2020), 28–34. Doi:10.9790/5728-1603012834
[22] Sen. G, Viruses and interferons, Annu. Rev. Microbiol. 55 (2001), 294–300.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 40–51
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
A note on some forms of continuity
Una nota sobre algunas formas de continuidad
Zanyar A. Ameen (zanyar@uod.ac)
Deptartment of Mathematics, College of Science, University of Duhok
Duhok, Kurdistan Region, IRAQ.
Abstract
New connections and characterizations of some classes of continuous functions are ob-
tained. In particular, we characterize quasicontinuity and almost quasicontinuity in terms
of weak types of open sets.
Key words and phrases: quasicontinuous; almost quasicontinuous; semicontinuous;
precontinuous; α-continuous; b-continuous; β-continuous; somewhat continuous; somewhat
nearly continuous.
Resumen
Se obtienen nuevas conexiones y caracterizaciones de algunas clases de funciones conti-
nuas. En particular, caracterizamos la cuasi continuidad y casi cuasicontinuidad en t´erminos
de tipos d´ebiles de conjuntos abiertos.
Palabras y frases clave: cuasicontinuo; casi cuasicontinuo; semicontinuo; precontinuo;
α-continuous; b-continuo; β-continuo; algo continuo; algo casi continuo.
1 Introduction
The role of continuity of functions is essential in developing theory in all branches of (pure)
mathematics, especially in topology and analysis, for decades. Then various generalizations of
continuity have been introduced. In 1932, Kempisty [13] defined the notion of quasicontinuity
which has been of interest to many analysts and topologists, and there is a rich literature on these
functions, see the survey article [18]. In 1958, Ptak [26] introduced nearly continuous functions
to generalize the BanachSchauder Theorem. Levine [14] defined the concept of semicontinuity, in
1963, in terms of semiopen sets. Ten years later, Neubrunnova [19] showed that quasicontinuity
and semicontinuity are similar. A big part of this work is motivated by that result. Gentry
[12] has given a weaker class of quasicontinuity called somewhat continuity while studying the
invariance of Baire spaces under mappings. Then α-continuity was given by Njastad [20], which
implies both nearly continuity and quasicontinuity. Mashhour et al. [16] have introduced the
class of precontinuous functions which is equivalent to the class of nearly continuous functions.
Abd-El-Monsef [1] studied β-continuous functions by using the notion of β-openness of sets.
In 1990, Borsik [10] introduced an equivalent notion to β-continuity under the name of almost
Received 18/01/2021. Revised 15/03/2021. Accepted 14/07/2021.
MSC (2010): Primary 54C08; 54C10.
Corresponding author: Zanyar Ameen
A note on some forms of continuity 53
quasicontinuous functions. Almost quasicontinuity is weaker than both nearly continuity and
quasicontinuity. In 1987, Piotrowski [23] defined a weak version of somewhat continuity called
somewhat nearly continuity to generalize problems in separate versus joint continuity and in
the Closed Graph Theorem. In 2009, Ameen [5] defined a subclass of quasicontinuous functions
called sc-continuous. He showed that quasicontinuity and sc-continuity are identical on T1-
spaces. All such classes of functions mentioned earlier are weaker than the class of continuous
functions except sc-continuity which is incomparable. Due to the importance of these classes of
continuous functions, we present some more connections between these functions and give further
characterizations.
2 Preliminaries and Auxiliary Materials
Throughout this paper, the letters N,Qand R, respectively, stand for the set of natural, rational
and real numbers. The word ”space” mean an arbitrary topological space. For a subset Aof a
space (X, τ ), the closure and interior of Awith respect to Xrespectively are denoted by ClX(A)
and IntX(A) (or simply Cl(A) and Int(A)).
Definition 2.1. A subset Aof a space X is said to be
(1) regular open if A= Int(Cl(A)),
(2) preopen [16] if A⊆Int(Cl(A)),
(3) semiopen [14] if A⊆Cl(Int(A)),
(4) sc-open [5] if Ais semiopen and union of closed sets,
(5) α-open [20] if A⊆Int(Cl(Int(A))),
(6) γ-open [8] if A⊆Int(Cl(A)) ∪Cl(Int(A)),
(7) β-open [1] or semipreopen [7] if A⊆Cl(Int(Cl(A))),
(8) somewhat open (briefly sw-open) [23] if Int(A)6=∅or A=∅,
(9) somewhat nearly open (briefly swn-open) [23] (for more details, see [4]) if Int(Cl(A)) 6=∅or
A=∅. The class of somewhat nearly open sets (except ∅) were studied under the name of
somewhere dense sets in [2].
The complement of a regular open (resp. preopen, semiopen, sc-open, α-open, β-open, γ-
open, sw-open, swn-open) set is regular closed (resp. preclosed, semi-closed, sc-closed, α-closed,
β-closed, γ-closed, sw-closed, swn-closed).
The intersection of all preclosed (resp. semiclosed, α-closed, β-closed, γ-closed) sets in X
containing Ais called the preclosure (resp. semi-closure, α-closure, β-closure, γ-closure) of A,
and is denoted by Clp(A) (resp. Cls(A), Clα(A), Clβ(A), Clγ(A)).
The union of all preopen (resp. semiopen, α-open, β-open, γ-open) sets in Xcontained in A
is called the preinterior (resp. semi-interior, α-interior, β-interior, γ-interior) of A, and is denoted
by Intp(A) (resp. Ints(A), Intα(A), Intβ(A), Intγ(A)).
The family of all preopen (resp. semiopen, α-open, γ-open, β-open) subsets of Xis denoted
by P O(X) (resp. SO(X), αO(X), γO(X), βO(X)).
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54 Zanyar A. Ameen
Remark 2.1.It is well-known that for a space X,τ⊆αO(X)⊆P O(X)∪SO(X)⊆γO(X)⊆
βO(X).
Definition 2.2. Let Xbe a space and let A⊆X. A point x∈Xis said to be in the preclosure
(resp. semi-closure, α-closure, β-closure, γ-closure) of Aif U∩A6=φfor each preopen (resp.
semiopen, α-open, β-open, γ-open) set Ucontaining x.
Lemma 2.1. Let Abe a subset of a space X.
(i) Ais semiopen if and only if Cl(A) = Cl(Int(A)).
(ii) Ais β-open if and only if Cl(A) = Cl(Int(Cl(A))).
Proof. (i) If Ais semiopen, then A⊆Cl(Int(A)) and so Cl(A)⊆Cl(Int(A)). For other side of
inclusion, we always have Int(A)⊆A. Therefore Cl(Int(A)) ⊆Cl(A). Thus Cl(A) = Cl(Int(A)).
Conversely, assume that Cl(A) = Cl(Int(A)), but A⊆Cl(A) always, so A⊆Cl(Int(A)).
Hence Ais semiopen.
(ii) Theorem 2.4 in [7].
Lemma 2.2. Let Abe a nonempty subset of a space X.
(i) If Ais semiopen, then Int(A)6=∅.
(ii) If Ais β-open, then Int(Cl(A)) 6=∅.
Proof. (i) Suppose otherwise that if Ais a semiopen set such that Int(A) = ∅, by Lemma 2.1 (i),
Cl(A) = ∅which implies that A=∅. Contradiction!
(ii) Similar to (i).
At this place, perhaps a connection among the classes of open sets (defined above excluding
γ-open as we have only used in Theorem 4.3) is needed.
open set sc-open set regular closed set
α-open set semiopen set sw-open set
preopen set β-open set swn-open set
\
Diagram I
In general, none of these implications can be replaced by equivalence as shown below:
Example 2.1. Consider Rwith the usual topology. Let A=R\{ 1
n}n∈N. Obviously Ais α-open
but not open. If B= [0,1],Bis semiopen but not α-open. If C=Q,Cis preopen but not α-open.
Let D= [0,1]∪((1,2) ∩Q). Then Dis both β-open and sw-open but neither preopen nor semiopen
([8, Example 1]). If E= [0,1) ∩Q, then Eis swn-open but not sw-open. Let F=C ∪ [2,3],
where Cis the Cantor set. Then Fis swn-open but not β-open. Let G= (0,1] = S∞
n=1[1
n,1]. So
Gis sc-open but neither open nor regular closed.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
A note on some forms of continuity 55
Example 2.2. [5, Example 2.2.3] Consider X={a, b, c}with the topology τ={φ, X,{a},{b},
{a, b}}. The set {a}is semiopen but not sc-open.
Lemma 2.3. [7, Theorems 3.13, 3.14 & 3.22][8, Proposition 2.6] For a subset Aof a space X,
we have
(i) Cl(Int(A)) = Cl(Ints(A)) = Clα(Intα(A)) = Cl(Intα(A)) = Clα(Int(A)),
(ii) Cl(Int(Cl(A))) = Cl(Intp(A)) = Cl(Intγ(A)) = Cl(Intβ(A)),
(iii) Int(Cl(Int(A))) = Cls(Int(A)) = Clγ(Int(A)) = Clβ(Int(A)),
Lemma 2.4. Let A, B be subsets of X. If Ais open and Bis α-open (resp. preopen, semiopen,
β-open), then A∩Bis α-open (resp. preopen, semiopen, β-open) in X.
Proof. Proposition 2 in [20] (resp. Lemma 4.1 in [24], Lemma 1 in [21], Theorem 2.7 in [1]).
Lemma 2.5. Let A, B be subsets of a space X.
(i) If Ais semiopen and Bis preopen, then A∩Bis semiopen in B, [17, Lemma 1.1].
(ii) If Ais semiopen and Bis preopen, then A∩Bis preopen in A, [17, Lemma 2.1].
Lemma 2.6. Let Ybe a subspace of a space Xand let A⊂Y.
(i) If Yis semiopen in X, then Ais semiopen in Yif and only if Ais semiopen in X.
(ii) If Yis β-open in X, then Ais β-open in Yif and only if Ais β-open in X.
(iii) If Yis semiopen in X, then Ais swn-open in Yif and only if it is swn-open in X.
Proof. (i) [15, Theorem 2.4].
(ii) The fist direction is proved in [1, Theorem 2.7]. The converse is can be followed from [14,
Theorem 6] and from the fact that Ais β-open if and only if there exist a preopen open Usuch
that U⊆A⊆Cl(U).
(iii) [4, Theorem 3.14].
Lemma 2.7. [20, Proposition 1] Let Xbe a space. A subset Aof Xis α-open if and only if
A∩Bis semiopen for each semiopen subset Bof X.
In a similar way, we prove the following:
Lemma 2.8. Let Xbe a space. A subset Aof Xis preopen if and only if A∩Bis β-open for
each semiopen subset Bof X.
Proof. Given subsets A, B ⊆Xsuch that Ais preopen and Bis semiopen. Let x∈A∩Band
let Ube an open set containing x. Since x∈Int(Cl(A)), then U∩Int(Cl(A)) is also an open set
containing x. Set V=U∩Int(Cl(A)). But x∈Cl(Int(B)), so
U∩Int(Cl(A)) ∩Int(B) = V∩Int(B)6=∅.
This implies that
A∩B⊆Cl [Int(Cl(A)) ∩Int(B)] = Cl [Int [Cl(A)∩Int(B)]] ,
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56 Zanyar A. Ameen
and therefore,
A∩B⊆Cl [Int [Cl(A)∩Int(B)]] ⊆Cl(Int(Cl(A∩B))).
Hence A∩Bis β-open.
Conversely, assume that A∩Bis β-open for each semiopen set Bin X. We need to show that
A⊆Int(Cl(A)). Suppose contrary that there exists x∈Xsuch that x∈Aand x /∈Int(Cl(A)).
Then x∈Cl(Int(Ac)) and obviously Int(Ac)∪{x}is semiopen. By assumption, A∩(Int(Ac)∪{x})
is β-open. But A∩(Int(Ac)∪ {x}) = {x}. By Lemma 2.2 (ii) and [6, Lemma 2.1], {x}is
preopen. This implies x∈Int(Cl(A)), which contradicts our assumption. Therefore, if x∈A,
then x∈Int(Cl(A)) and so Ais preopen.
Lemma 2.9. [4, Proposition 3.16] Let Xbe a space. A subset Aof Xis β-open if and only if
A∩Uis swn-open for each open set Uin X.
Lemma 2.10. Let Xbe a space. A subset Aof Xis semiopen if and only if A∩Uis sw-open
for each open set Uin X.
Proof. Since each semiopen set is sw-open and the intersection of a semiopen set with an open
set is semiopen, by Lemma 2.4, so the first part follows.
Conversely, let x∈Aand assume that A∩Uis sw-open for each open set Uin X. That
is Int(A∩U)6=∅. But ∅ 6= Int(A∩U) = Int(A)∩Int(U) = Int(A)∩U, which implies that
x∈Cl(Int(A)) and so A⊆Cl(Int(A)). This proves that Ais semiopen.
Lemma 2.11. Let Xbe a space. A subset Aof Xis α-open if and only if A∩Uis sw-open for
each α-open set Uin X.
Proof. Since the intersection of two α-open sets is α-open and each α-open set is sw-open, so the
first part is proved.
Conversely, let x∈Aand assume that A∩Uis sw-open for each α-open set Uin X. That
is Int(A∩U)6=∅. But ∅ 6= Int(A∩U) = Int(A)∩Int(U)⊆Int(A)∩Int(Cl(U)) = Int(A)∩
Int(Cl(Int(U))), which implies that Int(A)∩Clβ(U)6=∅and therefore x∈Clβ(Int(A)∩U)⊆
Clβ(Int(A)). By Lemma 2.3 (iii), Clβ(Int(A)) = Int(Cl(Int(A))) and so A⊆Int(Cl(Int(A))).
This proves that Ais α-open.
Lemma 2.12. Let Xbe a space. The following are equivalent:
(i) each preopen subset of Xis α-open,
(ii) each β-open subset of Xis semiopen,
(iii) each preopen subset of Xis semiopen,
(iv) each dense subset of Xis semiopen,
(v) each dense subset of Xhas an interior dense,
(vi) each co-dense subset of Xis nowhere dense,
(vii) each swn-open subset of Xis sw-open,
(viii) each subset of Xhas a nowhere dense boundary.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
A note on some forms of continuity 57
Proof. (i) ⇒(ii): Let Abe a β-open set in X. Then A⊆Cl(Int(Cl(A))). By (i), Int(Cl(A)) ⊆
Int(Cl(Int(A))). Therefore, A⊆Cl(Int(Cl(A))) ⊆Cl[Int(Cl(Int(A)))] = Cl(Int(A)). Hence Ais
semiopen.
The implications “(ii) ⇒(iii)” and “(iii) ⇒(iv)” are clear as each dense is preopen and each
preopen is β-open.
(iv) ⇒(v): Let Dbe a dense subset of X. By Lemma 2.1 (i), X= Cl(D) = Cl(Int(D)).
Thus Int(D) is dense.
(v)⇔(vi): Let Abe co-dense. Then Int(A) = ∅ ⇐⇒ Cl(X\A) = X. By (v), Cl(Int(X\A)) =
X⇐⇒ Int(Cl(A)) = ∅. Hence Ais nowhere dense.
(vi) ⇔(vii): Let Abe an swn-open set in X. Suppose Ais not sw-open. That is, Ais
co-dense. By (vi), Int(Cl(A)) = ∅. Contradiction that assumption that Ais swn-open. The
other way is similar.
(v) ⇔(viii): Let Abe a subset of X. Then X= Cl(A)∪(X\Cl(A)) = Cl(A)∪Int(X\A)⊆
Cl[A∪Int(X\A)]. This implies that A∪Int(X\A) is dense in X. By the same, we can conclude
that Int(A)∪X\Ais also dense in X. By (v), both Int[A∪Int(X\A)] and Int[Int(A)∪X\A]
are (open) dense. Now,
Int[A∪Int(X\A)] \Int[Int(A)∪(X\A)] = Int[A∪Int(X\A)\Int(A)∪(X\A)]
= Int[Int(A)[Int(X\A)]
=X\∂(A),
where ∂(A) means the topological boundary of A. Since the intersection of two open dense is
dense, so X\∂(A) is open dense. Thus ∂(A) is nowhere dense.
(viii) ⇔(i): Let Abe preopen. That is A⊆Int(Cl(A)). By (viii), ∅= Int(Cl(∂(A))) =
Int(∂(A)) = Int(Cl(A))\Cl(Int(A)). It follows that A⊆Int(Cl(A)) ⊆Cl(Int(A)) and so Cl(A) =
Cl(Int(A)). Since A⊆Int[Cl(A)] = Int[Cl(Int(A))]. This proves that Ais α-open.
3 Relationships and properties
This section is devoted to some properties of the following classes of continuous functions and
their relationships.
Definition 3.1. A function ffrom a space Xto a space Yis called
(1) rc-continuous [11], if the inverse image of each open set in Yis regular closed in X,
(2) sc-continuous [5], if the inverse image of each open set in Yis sc-open in X,
(3) semicontinuous [14], if the inverse image of each open set in Yis semiopen in X,
(4) nearly continuous [26], or precontinuous [16], if the inverse image of each open set in Yis
preopen in X,
(5) α-continuous [20], if the inverse image of each open set in Yis α-open in X,
(6) β-continuous [1], if the inverse image of each open set in Yis β-open in X,
(7) somewhat continuous [12] (briefly sw-continuous), if the inverse image of each open set in Y
is sw-open in X,
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58 Zanyar A. Ameen
(8) somewhat nearly continuous [23, 4] (briefly swn-continuous), if the inverse image of each
open set in Yis swn-open in X,
(9) quasicontinuous [13], if for each x∈X, each open set Gcontaining f(x) and each open U
containing x, there exists a nonempty open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G,
(10) almost quasicontinuous [10], if for each x∈X, each open set Gcontaining f(x) and each
open Ucontaining x,f−1(G)∩Uis not nowhere dense.
Remark 3.1.(i) It is proved in [25] that almost quasicontinuity and β-continuity are equivalent
(see also [9, Theorem 1]). An easier proof can be followed from the definition of almost quasi-
continuity and Lemma 2.9.
(ii) The equivalence of semicontinuity and quasicontinuity is given in [19, Theorem 1.1].
(iii) somewhat nearly continuous functions coincide with surjective SD-continuous in [3].
The following diagram shows the relationship between above functions, which is an enlarge-
ment of the Diagram I given in [23]:
continuous sc-continuous rc-continuous
α-continuous quasicontinuous sw-continuous
nearly continuous almost quasicontinuous swn-continuous
\
Diagram II
In general, none of the implications is reversible. Examples 5.2-5.3 in [4] show that the
existence of swn-continuous functions that are not almost quasicontinuous or sw-continuous.
Counterexamples for other cases are available in the literature.
Theorem 3.1. Let X, Y be spaces such that Xis T1. A function f:X→Yis α-continuous if
and only if it is both sc-continuous and nearly continuous.
Proof. Proposition 2.2.10 in [5] and Theorem 3.2 in [22].
Theorem 3.2. [9, Proposition 1] Let X, Y be spaces. A function f:X→Yis almost quasicon-
tinuous if and only if f|Uis swn-continuous for each open subset Uof X.
Theorem 3.3. [4, Theorem 5.7] Let X, Y be spaces. A function f:X→Yis nearly continuous
if and only if f|Uis swn-continuous for each α-open subset Uof X.
Similar to the above results, we prove the following:
Theorem 3.4. Let X, Y be spaces. A function f:X→Yis quasicontinuous if and only if f|U
is sw-continuous for each open subset Uof X.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
A note on some forms of continuity 59
Proof. The first part follows from [17, Theorem 1.3], which implies that each quasicontinuous
restricted to an open set is again quasicontinuous and hence sw-continuous.
Conversely, suppose that f|Uis sw-continuous for each open subset Uof X. Let Hbe an
open in Y. Then f−1|U(H) = f−1(H)∩Uis sw-open in U. Since Uis an open subset of X,
clearly, f−1(H)∩Uis sw-open in Xand so, by Lemma 2.10, f−1(H) is semiopen in X. Thus f
is quasicontinuous.
Theorem 3.5. Let X, Y be spaces. A function f:X→Yis α-continuous if and only if f|Uis
sw-continuous for each α-open subset Uof X.
Proof. Similar steps given in the proof of the above theorem and Lemma 2.11.
Lemma 3.1. Let A, B be subsets of a space X. If Ais semiopen and Bis α-open, A∩Bis
α-open in A.
Proof. Given the sets A, B, then
A∩B⊆A∩Int(Cl(Int(B)))
⊆IntA[A∩Int(Cl(Int(B)))]
⊆IntA[Cl(Int(A)) ∩Int(Cl(Int(B)))]
⊆IntA[Cl[Int(A)∩Int(Cl(Int(B)))]]
⊆IntA(Cl(Int(A∩B)))
⊆IntA(Cl(IntA(A∩B))).
Since IntA(Cl(IntA(A∩B))) is an open set in A, so IntA(Cl(IntA(A∩B)))∩A= IntA(Cl(IntA(A∩
B)) ∩A), and hence A∩B⊆IntA(Cl(IntA(A∩B)) ∩A) = IntA(ClA(IntA(A∩B))). This shows
that A∩Bis α-open in A.
Theorem 3.6. Let X, Y be spaces. A function f:X→Yis α-continuous if and only if f|Uis
quasicontinuous for each semiopen subset U⊆X.
Proof. Assume that fis α-continuous. Let Hbe an open subset of Yand let Ube a semiopen
subset of X. By assumption f−1(H) is α-open in X. By Lemma 3.1, f−1(H)∩Uis α-open in U
and thus, by Diagram I, f−1(H)∩Uis a semiopen subset of U. Hence, f|Uis quasicontinuous.
Conversely, suppose that f|Uis quasicontinuous for each semiopen subset Uof X. Let Hbe
an open set in Y. Then f−1|U(H) = f−1(H)∩Uis semiopen in U. Since Uis semiopen in X,
by Lemma 2.6 (i), f−1(H)∩Uis semiopen in Xfor each semiopen Uand thus, by Lemma 2.7,
f−1(H) is α-open in X. Thus fis α-continuous.
Theorem 3.7. Let X, Y be spaces. A function f:X→Yis nearly continuous if and only if f|U
is almost quasicontinuous for each semiopen subset U⊆X.
Proof. Suppose that fis nearly continuous. Let Hbe an open subset of Yand let Ube a
semiopen subset of X. By hypothesis f−1(H) is preopen in X. By Lemma 2.5 (ii), f−1(H)∩U
is preopen in Uand thus, by Diagram I, f−1(H)∩Uis β-open in U. Therefore, f|Uis almost
quasicontinuous.
Conversely, suppose that f|Uis almost quasicontinuous for each semiopen subset Uof X.
Let Hbe an open set in Y. Then f−1|U(H) = f−1(H)∩Uis a β-open subset of U. Since U
is semiopen in Xand each semiopen is β-open, by Lemma 2.6 (ii), f−1(H)∩Uis β-open in
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
60 Zanyar A. Ameen
Xfor each semiopen Uand thus, by Lemma 2.8, f−1(H) is preopen in X. Thus fis nearly
continuous.
Theorem 3.8. For a function f:X→Y, the following are equivalent:
(i) each nearly continuous function is α-continuous,
(ii) each almost quasicontinuous function is quasicontinuous,
(iii) each nearly continuous function is quasicontinuous,
(iv) each swn-continuous function is sw-continuous.
Proof. Apply Lemma 2.12
4 Characterizations
Theorem 4.1. Let X, Y be spaces. For a function f:X→Y, the following are equivalent:
(1) fis quasicontinuous;
(2) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x,f−1(G)∩U
is sw-open;
(3) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each α-open Ucontaining x, there
exists a nonempty open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G;
(4) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each α-open Ucontaining x, there
exists a nonempty α-open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G;
(5) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x, there exists
a nonempty α-open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G;
(6) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x, there exists
a nonempty semiopen set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G.
Proof. (1)⇒(2): Let Gbe an open set containing f(x) and let Ube any open containing x. By
(1), there is a nonempty open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G. Therefore V⊆f−1(G)
and so V⊆Int(f−1(G)). Thus ∅ 6=V=V∩U⊆Int(f−1(G)) ∩U= Int(f−1(G)∩U), which
implies that f−1(G)∩Uis sw-open.
(2)⇒(3): Let Gbe an open set in Ycontaining f(x) and let Ube an α-open set in X
containing x. Since each α-open set is semiopen, by Lemma 2.2 (i), Int(U) is a nonempty open
set. By (2) Int(f−1(G)∩Int(U)) = Int(f−1(G)) ∩Int(U)6=∅. Set V= Int(f−1(G)) ∩Int(U).
Clearly, Vis a nonempty open set Uand
f(V)⊆f(Int(f−1(G)) ∩Int(U)) ⊆f(f−1(G)) ⊆G.
This proves (3).
The implications “(3)⇒(4)”, “(4)⇒(5)” and “(5)⇒(6)” are clear from the Diagram I.
(6)⇒(1): Let Gbe an open set containing f(x). By (6), for each open set Ucontaining x,
there is a nonempty semiopen set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G. Therefore V⊆f−1(G)
and so V⊆Ints(f−1(G)). Thus ∅ 6=V=V∩U⊆Ints(f−1(G)) ∩U, which implies that
Ints(f−1(G)) ∩U6=∅for each open Ucontaining x. Hence x∈Cl(Ints(f−1(G))). By Lemma
2.3 (i), x∈f−1(G)⊆Cl(Int(f−1(G))). As xwas taken arbitrarily, so fis quasicontinuous.
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A note on some forms of continuity 61
The proofs of the following theorems are quite similar to the proof of Theorem 4.1. But for
the sake of completeness, we provide them.
Theorem 4.2. Let X, Y be spaces. For a function f:X→Y, the following are equivalent:
(1) fis α-continuous;
(2) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each semiopen Ucontaining x, there
exist a nonempty open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G.
Proof. (1)⇒(2): Let Gbe an open set containing f(x) and let Ube a semiopen containing x. By
(1) and Lemma 2.3 (iii), x∈f−1(G)⊆Int(Cl(Int(f−1(G)))) = Cls(Int(f−1(G))). This implies
that Int(f−1(G)) ∩B6=∅for each semiopen Bcontaining xand so Int(f−1(G)) ∩U6=∅. If
W= Int(f−1(G)) ∩U, by Lemma 2.4, Wis a nonempty semiopen set. Set V= Int(W). By
Lemma 2.2 (i), Vis nonempty open and
f(V)⊆f(Int(f−1(G)) ∩U)⊆f(f−1(G)) ⊆G.
This completes the proof of (2).
(2)⇒(1): Let x∈Xand let Gbe an open set containing f(x). By (2), for each semiopen
set Ucontaining x, there is a nonempty open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G. Then
V⊆f−1(G) and so V⊆Int(f−1(G)). Thus ∅ 6=V=V∩U⊆Int(f−1(G)) ∩U, which implies
that Int(f−1(G)) ∩U6=∅for each semiopen Ucontaining x. Therefore x∈Cls(Int(f−1(G))).
By Lemma 2.3 (iii), x∈f−1(G)⊆Int(Cl(Int(f−1(G)))). Hence fis α-continuous.
Theorem 4.3. Let X, Y be topological spaces. For a function f:X→Y, the following are
equivalent:
(1) fis almost quasicontinuous;
(2) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x, there exist
a nonempty preopen set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G;
(3) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x, there exist
a nonempty γ-open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G;
(4) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x, there exist
a nonempty β-open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G.
Proof. (1)⇒(2): Let Gbe an open set containing f(x) and let Ube an open set containing x. By
(1) and Lemma 2.3 (ii), x∈f−1(G)⊆Cl(Int(Cl(f−1(G)))) = Cl(Intp(f−1(G))). This implies
that Intp(f−1(G)) ∩O6=∅for each open Ocontaining xand so Intp(f−1(G)) ∩U6=∅. Set
V= Intp(f−1(G)) ∩U. By Lemma 2.4, Vis a nonempty preopen set with V⊆Uand
f(V)⊆f(Intp(f−1(G)) ∩U)⊆f(f−1(G)) ⊆G.
This proves (2).
The implications “(2)⇒(3)” and “(3)⇒(4)” are follow from Remark 2.1.
(4)⇒(1): Let xbe any point in Xand let Gbe an open set containing f(x). By (4), for each
open set Ucontaining x, there is a nonempty β-open set Vwith V⊆Usuch that f(V)⊆G.
Then V⊆f−1(G) and so V⊆Intβ(f−1(G)). Thus ∅ 6=V=V∩U⊆Intβ(f−1(G)) ∩U, which
implies that Intβ(f−1(G))∩U6=∅for each open Ucontaining x. Therefore x∈Cl(Intβ(f−1(G))).
By Lemma 2.3 (ii), x∈f−1(G)⊆Cl(Intβ(f−1(G))) = Cl(Int(Cl(f−1(G)))). This prove that f
is almost quasicontinuous.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
62 Zanyar A. Ameen
Corollary 4.1. Let X, Y be topological spaces. For a function f:X→Y, the following are
equivalent:
(1) fis almost quasicontinuous;
(2) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x,f−1(G)∩U
is swn-open;
(3) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each α-open Ucontaining x, there
exists a nonempty open set Vwith V⊆Usuch that V⊆Cl(f−1(G));
(4) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each α-open Ucontaining x, there
exists a nonempty α-open set Vwith V⊆Usuch that V⊆Cl(f−1(G));
(5) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x, there exists
a nonempty α-open set Vwith V⊆Usuch that V⊆Cl(f−1(G));
(6) For each x∈X, each open set Gcontaining f(x)and each open Ucontaining x, there exists
a nonempty semiopen set Vwith V⊆Usuch that V⊆Cl(f−1(G)).
Proof. Follows from Theorem 4.1 and Lemma 2.9.
References
[1] Abd-El-Monsef, M. E., EL-Deeb, S. N. and Mahmoud, R. A. β-open and β-continuous
mappings, Bull. Fac. Sci. Assiut Univ, 12 (1983), 77–90.
[2] Al-Shami, T. Somewhere dense sets and ST1-spaces, Journal of Mathematics, Punjab Uni-
versity, 49(2) (2017), 101–111.
[3] Al-shami, T. and Noiri, T. More notions and mappings via somewhere dense sets, Afrika
Matematika, 30(7-8) (2019), 1011–1024.
[4] Ameen, Z. A. On somewhat near continuity and some applications, Submitted.
[5] Ameen, Z. A. A new class of semi-open sets in topological spaces, MSc, Dohuk University,
2009.
[6] Ameen, Z. A. On types of generalized closed sets, Journal of Taibah University for Science,
12(3) (2018), 290–293.
[7] Andrijevi´c, D. Semi-preopen sets, Matematiˇcki Vesnik, 38(93) (1986), 24–32.
[8] Andrijevi´c, D. On b-open sets, Matematiˇcki Vesnik, 48 (1996), 59–64.
[9] Bors´ık, J. On almost quasicontinuous functions, Mathematica Bohemica, 118(3) (1993),
241–248.
[10] Borsik, J. and Doboˇs, J. On decompositions of quasicontinuity, Real Analysis Exchange,
16(1) (1990), 292–305.
[11] Dontchev, J. and Noiri, T. Contra-semicontinuous functions, Math. Pannon., 10(2) (1999),
159–168.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
A note on some forms of continuity 63
[12] Gentry, K. R., and Hoyle, H. B. Somewhat continuous functions, Czechoslovak Mathematical
Journal, 21(1) (1971), 5–12.
[13] Kempisty, S. Sur les fonctions quasicontinues, Fundamenta Mathematicae, 19(1) (1932),
184–197.
[14] Levine, N. Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces, The American Mathe-
matical Monthly, 70(1) (1963), 36–41.
[15] Maheshwari, S. Some new separations axioms, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, Ser. I., 89 (1975),
395–402.
[16] Mashhour, A., Abd-El-Monsef, M. and El-Deep, S. On preconlinuous and weak precontinuous
mappings, Proc. Math. Phys. Soc. Egypt., 53 (1982), 47–53.
[17] Mashhour, A., Hasanian, S. and El-Deeb, I. A note on semi-continuity and precontinuity,
Indian J. pure Appl. Math., 13(10) (1982), 1119–1123.
[18] Neubrunn, T. Quasi-continuity, Real Analysis Exchange, 14(2) (1988), 259–306.
[19] Neubrunnov´a, A. On certain generalizations of the notion of continuity, Matematick`y
ˇcasopis, 23(4) (1973), 374–380.
[20] Njastad, O. On some classes of nearly open sets, Pacific journal of mathematics, 15(3)
(1965), 961–970.
[21] Noiri, T. On semi-continuous mappings, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe
di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, 54(2) (1973), 210–214.
[22] Noiri, T. On α-continuous functions,ˇ
Casopis pro pˇestov´an´ı matematiky, 109(2) (1984),
118–126.
[23] Piotrowski, Z. A survey of results concerning generalized continuity on topological spaces,
Acta Math. Univ. Comenian, 52(53) (1987), 91–110.
[24] Popa, V. and Noiri, T. Almost weakly continuous functions, Demonstratio Mathematica,
25(1-2) (1992), 241–252.
[25] Popa, V. and Noiri, T. On β-continuous functions, Real Analysis Exchange, 18(2) (1992),
544–548.
[26] Pt´ak, V. Completeness and the open mapping theorem, Bulletin de la Soci´et´e Math´ematique
de France, 86 (1958), 41–74.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 52–63
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal
y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa
A short tour along the history of linear algebra and some of its applications to
economics
Ana M. Mart´ın-Caraballo (ammarcar@upo.es)
Concepci´on Paralera-Morales (cparmor@upo.es)
´
Angel F. Tenorio (aftenvil@upo.es)
Depto. de Econom´ıa, M´etodos Cuantitativos e Historia Econ´omica
Universidad Pablo de Olavide
Sevilla - Espa˜na
Resumen
En el presente art´ıculo trataremos diversos t´opicos del ´algebra lineal (y m´as concreta-
mente del ´algebra matricial) tanto desde una perspectiva hist´orica en la que se mostrar´a
la evoluci´on de diversos conceptos como desde su aplicaci´on a la resoluci´on de problemas
econ´omicos. En relaci´on al recorrido hist´orico del ´algebra lineal, expondremos los inicios de
la misma y los principales hitos alcanzados en relaci´on al estudio de las matrices, aunque
no seremos exhaustivos por motivo de extensi´on. Con respecto al uso del ´algebra lineal para
resolver cuestiones econ´omicas, mostraremos algunas de las aplicaciones m´as habituales y
tradicionales a este respecto, haciendo especial ´enfasis en el an´alisis input-output y la teor´ıa
de juegos para la toma de decisiones.
Palabras y frases clave: ´algebra matricial; aplicaciones a la econom´ıa; an´alisis input-
ouput; teor´ıa de juegos; introducci´on hist´orica.
Abstract
This article deals with several topics in the field of Linear Algebra (and more concretely
Matrix Algebra), by considering both its application to solving economic problems and a
historic approach showing the evolution of such concepts. Regarding the historic tour of
Linear Algebra, we explain the first steps and the main milestones in the classical research
on matrices, although we are not being exhaustive due to reasons of length. With respect to
the use of Linear Algebra to solve economic questions, we show some of the most traditional
and usual applications, emphasizing Input-Output Analysis and Game Theory, the latter for
Decision Making, as its most characteristic examples.
Key words and phrases: matrix algebra; applications to economics; input-output
analysis; game theory; historic introduction.
Recibido 11/03/21. Revisado 26/03/21. Aceptado 13/06/21.
MSC (2010): Primary 15-03; Secondary 01A50; 01A55.
Autor de correspondencia: ´
Angel F. Tenorio
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 65
1 Introducci´on
Al adentrarnos en el ´ambito de la aplicaci´on de las matem´aticas a otras ciencias, podemos encon-
trarnos con situaciones cuya modelizaci´on consiste en la resoluci´on de ecuaciones e inecuaciones
de primer grado o lineales. Es entonces cuando el ´algebra lineal se convierte en una herramienta
que facilita y permite dar respuesta al problema matem´atico asociado a la situaci´on del mundo
real. La validez del ´algebra lineal para tratar estas cuestiones se basa en que los sistemas de
ecuaciones lineales son expresables matricialmente y, gracias a esta conversi´on, pueden aplicarse
posteriormente m´ultiples procedimientos. En consecuencia, el tratamiento y resoluci´on de sis-
temas lineales, matrices y determinantes (que se obtienen de ellos) se convierte en pieza clave
para la resoluci´on de problemas (por ejemplo, aquellos de tipo num´erico o relativos a ecuaciones
diferenciales) que modelizan situaciones del mundo real que nos rodea.
En el presente art´ıculo, mostraremos c´omo el inter´es y (nos atrever´ıamos a decir) la necesidad
de resolver problemas algebraicos basados en ecuaciones lineales aparece ya en los albores de
nuestra historia, pudi´endose encontrar m´ultiples ejemplos de su uso en los textos matem´aticos
m´as antiguos existentes. Como indican Kline [44] y Joseph [42], las tablillas cuneiformes de la
Antigua Babilonia (que datan del a˜no 3000 a.C.), los papiros Rhind y moscovita (entre el a˜no
2000 y el 1500 a.C.) o los Nueve Cap´ıtulos sobre el Arte de las Matem´aticas (hacia el s. X a.C.)
contienen m´ultiples ejemplos de resoluci´on de problemas pr´acticos de ´algebra lineal para resolver
cuestiones que interesaban en esta cultura, especialmente cuestiones con un fuerte componente
econ´omico.
A este respecto, Fedriani et al. [23] realizaron un estudio sobre c´omo los sistemas de nu-
meraci´on hab´ıan ido apareciendo a lo largo de la historia en base a las necesidades econ´omicas
existentes en cada civilizaci´on y c´omo dichas necesidades generaron diferencias significativas en
sus respectivos sistemas como pueden ser la aparici´on de diferentes conceptos num´ericos y de
distintos niveles de representaci´on num´erica entre otras.
Pero el ´algebra lineal no solo permite modelizar situaciones de ´ındole econ´omico, sino que
much´ısimas situaciones de otras ramas del conocimiento pueden ser modelizadas y tratadas me-
diante los objetos y resultados propios de este campo. Sin remontarnos al pasado y tocando
temas de mayor actualidad, como son las cuestiones relacionadas con la inform´atica, cualquier
lenguaje de programaci´on trata los datos como ‘arrays’ o, lo que es lo mismo, como tablas con un
determinado n´umero de filas y columnas; y que, por tanto, son modelizables matem´aticamente
por medio de vectores o matrices (seg´un tengan m´as de una fila y una columna). Del mismo
modo, cualquier matriz puede verse como una transformaci´on que permite codificar y decodificar
la informaci´on que se env´ıa por un canal de comunicaci´on. Estar´ıamos hablando de la teor´ıa de
c´odigos lineales, en la que incluso se podr´ıan detectar y corregir los errores que se cometen al
transmitir la informaci´on anterior por dicho canal por medio de unas matrices especiales llamadas
de Hadamard. La detecci´on y correcci´on de errores en la informaci´on transmitida es esencial para
la transmisi´on de im´agenes y documentos por Internet.
Un tercer ejemplo m´as geom´etrico (y con m´ultiples aplicaciones tanto al tratamiento de imagen
por ordenador como a la rob´otica) se basa en el hecho que todos los movimientos en el espacio
n-dimensional pueden representarse (y por tanto traducirse) como matrices cuadradas invertibles.
Ya que el ´algebra lineal es una disciplina matem´atica que abarca un considerable n´umero de
nociones y resultados, el presente art´ıculo va a centrarse en la parcela correspondiente al ´algebra
matricial. M´as concretamente, comenzaremos exponiendo c´omo se origina el concepto de matriz
y c´omo van apareciendo sus operaciones esenciales; para continuar, en una segunda etapa, con el
estudio de sus aplicaciones a diversos problemas de ´ındole econ´omica. Por tanto, nuestro objetivo
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
66 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
es doble: por un lado, recorrer la evoluci´on hist´orica del ´algebra matricial desde sus or´ıgenes; y por
el otro, explicar algunos de los t´opicos econ´omicos que pueden tratarse con el ´algebra matricial.
Finalizaremos el art´ıculo indicando algunas conclusiones sobre la aplicaci´on del ´algebra matricial
al estudio de problemas econ´omicos tanto desde un punto de vista investigador como docente.
2 Evoluci´on hist´orica
En esta secci´on expondremos c´omo fueron surgiendo las distintas nociones pertenecientes al
´algebra matricial en su correspondiente contexto hist´orico. M´as concretamente, primero veremos
su aparici´on en base al tratamiento matem´atico que se ven´ıa realizando en algunas de las culturas
cl´asicas antiguas (como por ejemplo la Antigua India o China) y, hecho esto, comentaremos
c´omo se trabajaron y formalizaron dichos conceptos en las denominadas matem´aticas modernas,
procurando mostrar que dicha formalizaci´on requiri´o de un trayecto que dur´o varios siglos hasta
su culminaci´on a finales del s. XIX.
2.1 Matem´aticas antiguas
El uso de las matrices (aunque sin usar esa terminolog´ıa que aparecer´a a mediados del s. XIX) en
diversas civilizaciones cl´asicas de la antigedad puede encontrarse en la resoluci´on y tratamiento de
algunos de los problemas cl´asicos que se expon´ıan en los documentos de esa ´epoca. No obstante,
debe tenerse en cuenta que en ninguno de ellos se hace un desarrollo matem´atico formal de las
nociones tratadas, sino que se expon´ıan procedimientos aplicados a un problema concreto como
gu´ıa para resolver problemas similares. Debe tenerse en cuenta que la primera aproximaci´on a
un cuerpo matem´atico cerrado con axiomas, definiciones y proposiciones no tendr´a lugar hasta
que Euclides elabore su Elementos hacia el a˜no 300 a.C., aunque no aparecen ni conceptos ni
resultados relativos al ´algebra lineal, sino geom´etricos o pertenecientes a la teor´ıa de n´umeros.
2.1.1 India
El matem´atico ´arabe Halayudha realiz´o un comentario en el siglo X en relaci´on a la obra de otro
matem´atico indio llamado Pingala, que vivi´o en la zona que actualmente conforma el estado de
Kerala. Aunque se ha situado a Pingala en el siglo VII a.C., la tradici´on hind´u afirmaba que ´el
era el hermano menor del gran gram´atico indio Panini que vivi´o en el s. V a.C., siendo este el
siglo en el que finalmente se le ubic´o.
Pingala fue qui´en formul´o la primera descripci´on conocida de un sistema de numeraci´on
binario, describiendo este sistema en base a la lista de m´etricas v´edicas y las s´ılabas cortas y largas.
En su obra tambi´en pueden encontrarse las ideas b´asicas del m¯atr¯a-meru (que posteriormente se
denominar´a sucesi´on de Fibonacci) y el meru-pr¯ast¯ara (el conocid´ısimo tri´angulo de Pascal o de
Tartaglia). Pero eso no es todo, ya que como puede verse en Joseph [42], dar´ıa una descripci´on
de c´omo formar una matriz.
Debe tenerse en cuenta que, para la Antigua India, el ´algebra consist´ıa en las actividades
aritm´eticas y computacionales, no en la detecci´on de patrones deductivos o procedimientos t´ecni-
cos. En relaci´on al ´algebra lineal, se dispon´ıan de reglas para resolver las ecuaciones lineales y
cuadr´aticas y los sistemas de las primeras. Solo se denominaba inc´ognita a la primera en la
ecuaci´on, recibiendo las restantes nombres de colores (negro, azul, amarillo, etc.) y us´andose
iniciales de palabras como s´ımbolos. Esto llevaba a disponer de una simbolog´ıa poco extensa
pero muy clarificadora. Aunque los problemas y sus resoluciones se expresaban usando un estilo
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 67
quasi-simb´olico e indicando los pasos que se iban realizando, hay que indicar que se carec´ıa de
cualquier tipo de justificaci´on sobre la validez de los m´etodos de resoluci´on empleados.
En el a˜no 628, Brahmagupta (598–665) escribi´o el Brahma-sphuta-siddhanta (que traducido
vendr´ıa a ser La ciencia perfeccionada de Brahma). El decimoctavo libro de esta obra estaba
dedicado al ´
Algebra y a la resoluci´on de ecuaciones indeterminadas. Posteriormente Bhaskara
(1114–1185) escribir´ıa un libro titulado Siddh¯anta Shiromani (que podr´ıa traducirse como Corona
oJoya de los Tratados) cuya segunda parte se denominaba Bijaganita (cuya traducci´on ser´ıa
Matem´aticas por medio de semillas oalgoritmos) y estaba centrado en la aplicaci´on de algoritmos
de resoluci´on para ecuaciones lineales y cuadr´aticas y de sus sistemas.
2.1.2 China
En esta civilizaci´on tampoco aparecer´ıa el nombre de matriz, pero s´ı su concepto tal y como
atestiguar´ıa la aparici´on de un cuadrado m´agico 3 ×3 hacia el a˜no 650 a.C.
La obra clave de las matem´aticas en la Antigua China es el Jiu Zhang Suan Shu (o los Nueve
Cap´ıtulos sobre el Arte de las Matem´aticas). Era un texto que recopilaba todo el conocimiento
matem´atico existente en China entre los siglos X y I a.C., aunque la primera versi´on conservada
del texto data del a˜no 179 d.C. Desafortunadamente, ni su autor´ıa ni su fecha de composici´on son
conocidas, existiendo teor´ıas que los sit´uan en la ´ultima dinast´ıa Chin o en la primera dinast´ıa
Han (s. I a.C.). El libro se estructuraba como sigue: tras plantearse el enunciado de un problema,
se enunciaba la soluci´on del mismo seguida de una explicaci´on sobre el m´etodo de resoluci´on
empleado. Dicho m´etodo podr´ıa ir desde una regla general hasta una secuencia de operaciones
sin justificaci´on alguna. En el a˜no 263 d.C., el matem´atico y fil´osofo Liu Hui (circa 220–circa 280)
realiz´o una serie de comentarios a las explicaciones que se recog´ıan en el libro y que tienen tanto
valor como la obra original comentada. En los 246 problemas que se recogen en los nueve cap´ıtulos
de los que se compone la obra, se recoge todo el conocimiento matem´atico chino de la ´epoca,
incluidos los relativos a la resoluci´on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Concretamente, el
cap´ıtulo octavo, titulado Fang Cheng (que puede traducirse como M´etodo de las Tablas), contiene
18 problemas de resoluci´on de sistemas de ecuaciones simult´aneas con dos o tres inc´ognitas e
incluye el primer texto en el que se hace uso de las matrices para resolver sistemas lineales.
El m´etodo mostrado para resolver sistemas de ecuaciones lineales es esencialmente el que
Gauss desarrollar´ıa mil quinientos a˜nos despu´es y que nosotros utilizamos actualmente. Usando
la notaci´on matricial del sistema A·x=b, se realizaban transformaciones por columnas para
obtener otro equivalente D·x=b, con Duna matriz triangular superior. Hay que destacar que
el uso de estas transformaciones obligaron a la introducci´on del concepto de n´umero negativo y
de la regla cheng-fu (m´as-menos) para operar con ellos.
El cap´ıtulo s´eptimo, titulado Ying Buzu (que vendr´ıa a significar demasiado y no suficiente),
consiste en 19 problemas cuya resoluci´on resulta ser un caso especial de la regla de Cramer para
dos ecuaciones con dos inc´ognitas. Es decir, la cultura china introdujo el concepto de determinante
en la historia y lo hizo unos dos mil a˜nos antes de su descubrimiento por el matem´atico japon´es
Seki Kowa (circa 1639–1708) en su obra Kai Fukudai no Hˆo (cuya traducci´on ser´ıa M´etodo
de resoluci´on de problemas disimulados) de 1683. No ser´ıa hasta diez a˜nos despu´es, en 1693,
que el matem´atico y fil´osofo alem´an Gottfried Willhelm Leibniz (1646–1716) llegara tambi´en a
definir el concepto de determinante en la matem´atica europea y se le atribuyese hist´oricamente
su descubrimiento.
Volviendo a las matem´aticas chinas y avanzando hasta la Edad Media, Zhu Shijie (circa 1260–
circa 1320) introdujo una serie de m´etodos algebraicos generales y perfeccion´o la simbolog´ıa
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
68 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
empleada, usando la exclusi´on sucesiva de inc´ognitas en su obra Siyuan Yujian (que significa
El espejo de jade para los cuatro elementos) fechada en 1303. En su obra, las inc´ognitas se
simbolizaban mediante los cuatro elementos de la cultura china: cielo, tierra, hombre y objeto.
Su m´etodo se basaba en el uso del tian yuan (o m´etodo de la inc´ognita celeste), que simplemente
consist´ıa en la Regla de Ruffini para resolver ecuaciones; regla que ser´ıa introducida por Horner
(1786–1837) en las matem´aticas europeas medio siglo despu´es de la obra antes referida.
2.2 Matem´aticas modernas
Durante los siglos XVIII y XIX, buena parte de los principales matem´aticos europeos tomaron
parte en el desarrollo y formalizaci´on de los determinantes y sus propiedades. En el contexto de
las matem´aticas modernas, se considera mayoritariamente que la teor´ıa de los determinantes se
origin´o con el matem´atico alem´an Gottfried Willhelm Leibniz (1646–1716), que utiliz´o los deter-
minantes (aunque llam´andolos resultantes) en 1693 [51] para resolver los sistemas de ecuaciones
lineales. Como se indic´o anteriormente, el matem´atico japon´es Seki Kowa hab´ıa introducido en
el wasan (nombre de las matem´aticas en Jap´on durante el periodo Tokugawa) gracias a su obra
de 1683, no solo m´etodos basados en tablas como en la matem´atica china que ya hemos comen-
tado, sino que tambi´en introdujo el concepto y los m´etodos generales de c´alculo de la noci´on de
‘determinante’. Concretamente, trabaj´o con determinantes de orden menor o igual que 5 y los
utiliz´o para la resoluci´on de ecuaciones, aunque no para sistemas de ecuaciones lineales.
Ser´ıa en 1748 cuando un matem´atico escoc´es, disc´ıpulo de Newton, llamado Colin Maclaurin
(1698–1746) publicar´ıa su libro Treatise of Algebra [55] y, en el cap´ıtulo XI, aparecer´ıa la resoluci´on
habitual de las ecuaciones lineales simult´aneas mediante el m´etodo de eliminaci´on de inc´ognitas.
En esta misma obra, pero en su cap´ıtulo XII, Maclaurin describir´ıa la soluci´on alternativa de
estos sistemas mediante determinantes y que consiste en la denominada Regla de Cramer, a
quien Maclaurin atribuy´o la regla que reproduc´ıa en su libro y de la que posiblemente se tendr´ıa
conocimiento desde 1730. Maclaurin solo prob´o en su obra la regla de Cramer para sistemas
lineales de orden 2 ×2 y 3 ×3, dejando indicado c´omo habr´ıa que proceder en orden 4 ×4.
Ser´ıa dos a˜nos despu´es, en 1750, cuando el propio Gabriel Cramer (1704–1752) publicar´ıa este
m´etodo de resoluci´on para sistemas lineales de orden n×nen el ap´endice de su tratado de
geometr´ıa titulado Introduction `a l’analyse des lignes courbes alg´ebriques [20], aunque sin incluir
prueba alguna del resultado. Con las obras de Maclaurin y Cramer, tiene lugar hist´oricamente
el pistoletazo de salida para la publicaci´on de trabajos sobre determinantes de manera regular y
continuada.
Como curiosidad hay que indicar que en la obra Artis magnae, sive de regulis algebraicis
(m´as conocida como Ars Magna [11]) del humanista italiano Gerolamo Cardano (1501-1576),
publicada en 1545, aparece una regla para la resoluci´on de sistemas lineales de dos ecuaciones con
dos inc´ognitas. Esta regla, que denomin´o ‘regula de modo’, coincide en lo esencial con los c´alculos
correspondientes a la regla de Cramer de la que hemos hablado anteriormente y que aparece
unos dos siglos despu´es. Sin embargo, Cardano no dar´ıa una definici´on formal de determinante
ni introducir´ıa un m´etodo de c´alculo u objeto que se pueda identificar con dicha noci´on.
En 1764 [3], el matem´atico franc´es ˆ
Etienne B´ezout (1730–1783) introducir´ıa m´etodos para el
c´alculo de determinantes al igual que har´ıa el matem´atico franc´es Alexandre-Th´eophile Vander-
monde (1735–1796) en su obra M´emoire sur l’´elimination, fechada en 1772 [79]. No obstante, el
famoso determinante que le debe su nombre solo aparecer´ıa expl´ıcitamente en M´emoire sur la
r´esolution des ´equations de 1771 [78]. Tambi´en en 1772, el matem´atico, astr´onomo y f´ısico franc´es
Pierre-Simon Laplace (1749–1827) generalizar´ıa los trabajos de B´ezout, Vandermonde y Cramer,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 69
llegando a afirmar que los m´etodos introducidos por Cramer y B´ezout eran impracticables. La
obra en cuesti´on en la que llevar´ıa a cabo esta tarea se denomin´o Recherches sur le calcul integral
et sur le systeme du monde [50], en la que (adem´as de estudiar las ´orbitas de los planetas inte-
riores) discuti´o la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de determinantes
(a los que tambi´en denomin´o resultantes tal y como hab´ıa hecho Leibniz previamente, pero des-
conocedor de su trabajo), aunque sin llegar a realizar los c´alculos. En esa misma obra, Laplace
tambi´en introdujo el desarrollo general por una fila o columna de un determinante por medio de
la suma ponderada alternada de menores del determinante de partida y que hoy denominamos
desarrollo de Laplace.
Un a˜no despu´es, en 1773 [49], el matem´atico y astr´onomo franc´es Joseph-Louis de Lagrange
(1736–1813) desarroll´o la teor´ıa de las matrices de orden 3 ×3, demostrando muchas de las pro-
piedades de estas matrices. Tambi´en en esta obra se interpret´o por primera vez un determinante
como el volumen de un tetraedro (concretamente el formado por el origen de coordenadas y otros
tres puntos). Hay que tener en cuenta que Lagrange realiz´o su estudio de manera independiente
y que nunca lleg´o a establecer relaci´on entre su investigaci´on y la de Laplace y el resto de los
matem´aticos franceses que fueron coet´aneos suyos y que trabajaron con determinantes y matrices.
Hemos de entrar en el siglo XIX para encontrarnos por primera vez con el t´ermino ‘deter-
minante’, que ser´ıa introducido por el matem´atico y f´ısico alem´an Johann Carl Friedrich Gauss
(1777–1855) en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicada en 1801 [30]. No obstante, el objeto
al que originalmente llam´o determinante no coincide con el que disfruta hoy d´ıa de ese nombre,
sino que se usaba para una expresi´on del discriminante de una forma cuadr´atica expresada en
relaci´on a un cierto m´odulo y lo denominaba de este modo porque ese objeto ‘determinaba’ las
propiedades de la forma cuadr´atica en cuesti´on. M´as a´un, Gauss tambi´en expres´o en esta obra los
coeficientes de sus formas cuadr´aticas mediante ‘arrays’ rectangulares (i.e. matrices) y describi´o
c´omo se multiplicaban matrices y se calculaba la inversa de una matriz en el contexto de los
‘arrays’ de coeficientes de formas cuadr´aticas.
Debe tenerse en cuenta que con el t´ermino ‘array’ que hemos empleado, queremos referirnos
a una distribuci´on en formato tabular de datos expresados en filas y columnas. Este t´ermino es
empleado como sin´onimo del t´ermino ‘matriz’ en Computaci´on e Inform´atica, pero eliminando
las connotaciones matem´aticas que el segundo t´ermino tiene en relaci´on a tener definida una
estructura algebraica (de espacio vectorial en general y de anillo en el caso de matrices cuadradas
de un determinado orden). Este era adem´as el sentido en el que usaba Gauss las matrices ya que
no lleg´o a tener conciencia de la noci´on de ´algebra matricial, puesto que para ´el, el producto de
matrices era simplemente un c´alculo para obtener la composici´on de formas cuadr´aticas.
Ya hemos indicado que Gauss emple´o el t´ermino determinante por primera vez en la matem´ati-
ca europea, pero refiri´endose a otro objeto matem´atico distinto al que hoy en d´ıa asociamos a
ese t´ermino. Para usar el t´ermino ‘determinante’ en su sentido actual habr´ıa que esperar a que el
matem´atico franc´es Augustin Louis Cauchy (1789–1857) leyera su Essai sur les fonctions sym´etri-
ques en la Acad´emie des Sciences del Institute de France y que publicar´ıa bajo el t´ıtulo M´emoire
sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs ´egales et de signes contraires par suite
des transpositions op´er´ees entre les variables qu’elles renferment en 1815 [12]. Esta obra conver-
tir´ıa a Cauchy en el autor m´as prol´ıfico de su ´epoca en relaci´on a la teor´ıa de determinantes y
ser´ıa la obra m´as completa de su tiempo. De hecho, en ella aparecen las demostraciones de todos
los resultados obtenidos hasta la fecha (ya que Cauchy no consideraba correctas algunas de las
pruebas ya existentes) y un considerable n´umero de resultados nuevos sobre menores y adjun-
tos, destacando el teorema de multiplicaci´on de determinantes. Este teorema permite expresar
el determinante de un producto como producto de determinantes y es com´unmente conocido co-
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
70 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
mo la f´ormula de Cauchy-Binet para dos matrices rectangulares de ´ordenes transpuestos. Como
curiosidad, indicar que el matem´atico y f´ısico franc´es Jacques-Philippe-Marie Binet (1786–1856)
lleg´o de manera independiente al mismo resultado en su M´emoire sur un systeme de formules
analytiques, et leur applications `a des considerations g´eom´etriques [4], que present´o a la Acad´emie
des Sciences en la misma sesi´on que Cauchy en 1812.
Posteriormente, saldr´ıa a la luz la obra Sur l’´equation `a l’aide de laquelle on d´etermine les
in´egalit´es s´eculaires des mouvements des plan`etes en 1829 [13], tambi´en escrita por Cauchy. En
ella se emplear´ıa por primera vez el t´ermino ‘tableau’ al referirse a la matriz de coeficientes
asociada a una forma cuadr´atica en nvariables. En esa obra, se calculaban los autovalores de
dicha matriz (cuadrada y definida) y aparec´ıan los primeros resultados sobre diagonalizaci´on de
matrices al expresar una forma cuadr´atica como suma de cuadrados. Tambi´en se inclu´ıa en esta
obra la noci´on de matrices similares, aunque sin dar nombre a dicha relaci´on de equivalencia y
demostrando el resultado principal para matrices similares en relaci´on a la diagonalizaci´on de
matrices y c´alculo de autovalores: dos matrices similares tienen la misma ecuaci´on caracter´ıstica,
los mismos autovalores con la misma multiplicidad y, por ende, una es diagonalizable si y solo
si lo es la otra. Otra propiedad b´asica de la diagonalizaci´on de matrices incluida en el trabajo
comentado era la de que toda matriz sim´etrica real es diagonalizable.
El siguiente autor del que hablaremos en relaci´on a los determinantes es el matem´atico alem´an
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), quien publicar´ıa tres trabajos sobre determinantes en el
Crelle’s Journal durante el a˜no 1841 [37, 38, 39]. En ellos, dio la primera formalizaci´on algor´ıtmi-
ca de la definici´on de determinante, admitiendo que los t´erminos de un determinante pudiesen
ser n´umeros o funciones. El trabajo de Jacobi fue esencial para la noci´on de determinante ya
que dotaron al concepto de tal relevancia que se hizo ampliamente conocido. Ese mismo a˜no, el
matem´atico ingl´es Arthur Cayley (1821–1895) publicar´ıa su art´ıculo sobre la geometr´ıa de la posi-
ci´on [14] y ´esta ser´ıa la primera aportaci´on de la matem´atica inglesa a la teor´ıa de determinantes.
La importancia de esta publicaci´on reside en que este trabajo introdujo la notaci´on empleada en
la actualidad para los determinantes: la estructura tabular o ‘array’ de datos delimitada por una
l´ınea vertical a cada lado del ‘array’.
N´otese que hemos hablado de la aparici´on del t´ermino ‘determinante’ pero no del t´ermino
‘matriz’, el cual aparecer´ıa casi cuatro d´ecadas despu´es de que Cauchy usase por primera vez
el t´ermino ‘determinante’. No obstante, antes de que se llegase a darle el nombre de ‘matriz’ al
objeto que hoy conocemos como tal, muchos matem´aticos europeos estuvieron trabajando con
este objeto de forma directa o indirecta (esto ´ultimo al resolver sistemas de ecuaciones linea-
les). Al hablar de la evoluci´on hist´orica del ‘determinante’ ya hemos comentado algunos de estos
casos, pero no podemos pasar por alto en este trabajo uno de los t´opicos principales al hablar de
matrices: la denominada eliminaci´on gaussiana.
Cuando expusimos en su momento la matem´atica china, ya hicimos referencia a c´omo se
dispuso de esta t´ecnica para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, pero no hemos
indicado c´omo apareci´o en la matem´atica europea y lo err´oneo de su nombre. Un magn´ıfico
estudio sobre esta cuesti´on se debe a Grcar [33, 34]. A este respecto, el matem´atico y f´ısico
ingl´es Isaac Newton (1642–1727), cuando estaba revisando entre 1669 y 1670 una versi´on de
un manual sobre ´algebra que el impresor John Collins quer´ıa editar, insert´o una anotaci´on al
margen indicando su preocupaci´on sobre la carencia en todos los manuales de la ´epoca de un
apartado explicando la resoluci´on de sistemas de ecuaciones y su inter´es en completar esa laguna
del conocimiento incluyendo un cap´ıtulo a la obra que se iba a editar. Sin embargo, al no llevarse
a cabo la edici´on de este manual, Newton opt´o por comenzar a escribir un manuscrito que revis´o
repetidas veces y que qued´o inconcluso, datando la ´ultima versi´on de 1684. Esta obra, que iba
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 71
a titularse Arithmeticae Universalis, no lleg´o a publicarse y Newton hizo entrega de sus notas
de clase sobre ´algebra a la Universidad de Cambridge, en la que hab´ıa impartido la c´atedra
lucasiana de matem´aticas hasta 1702 y que se basaron en los borradores de sus manuscritos. Su
sucesor en la c´atedra, William Whiston (1667–1752), edit´o las notas de Newton en lat´ın bajo el
t´ıtulo de su obra inconclusa en 1707 [62] tras dejar su vida acad´emica y en la que aparec´ıan sus
explicaciones sobre c´omo resolver los sistemas de ecuaciones tratando las ecuaciones dos a dos.
No solo se expon´ıa la regla correspondiente al m´etodo de eliminaci´on o reducci´on (al que ´el llam´o
de ‘exterminaci´on’) que es el que nos ocupa en relaci´on a la evoluci´on hist´orica de los conceptos
de ‘matriz’ y ‘determinante’ que estamos considerando en el presente trabajo, sino que tambi´en
inclu´ıa las reglas correspondientes a los m´etodos de igualaci´on y sustituci´on. Todos estos m´etodos
de resoluci´on de sistemas de ecuaciones estaban presentados para aplicar a sistemas de dos o m´as
ecuaciones sin que ´estas necesariamente tuvieran que ser lineales.
Aunque el trabajo de Newton es el primer texto de ´algebra en las matem´aticas europeas que
abord´o la explicitaci´on de unas reglas para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones, las m´ultiples
revisiones de Newton y su reticencia a que se publicasen sus notas (las primeras versiones de
su Arithmeticae Universalis aparecieron sin autor´ıa) llevaron a que se publicase previamente, en
1690, el Trait´e d’Algebre [70] del matem´atico franc´es Michel Rolle (1652–1719). En esta obra
aparecer´ıa la primera descripci´on de la eliminaci´on gaussiana bajo el nombre de m´etodo de susti-
tuci´on y formulado espec´ıficamente para sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, los textos
de ´algebra que surgieron con posterioridad a los de Newton y Rolle tomaron como referencia el
desarrollo hecho por Newton para la resoluci´on de sistemas. De estas obras, caben destacar dos:
el A Treatise of Algebra [71] del matem´atico ingl´es Thomas Simpson (1710–1761), que fue publi-
cada en 1745 y que introdujo la regla de adici´on y sustracci´on de ecuaciones (i.e. combinaciones
lineales de ecuaciones); y la del matem´atico franc´es Sylvestre Fran¸cois Lacroix (1765–1843) de
1804 [48], en la que por primera vez se usa el t´ermino ‘eliminaci´on’ para referirse a este m´etodo.
En vista de lo anterior, cabr´ıa preguntarse cu´al fue la aportaci´on de Gauss al respecto del
m´etodo de eliminaci´on que lleva su nombre y cuyos or´ıgenes en las matem´aticas modernas se
remontan a Newton y Rolle tal y como acabamos de exponer. Concretamente, la contribuci´on de
Gauss al m´etodo de eliminaci´on (que ´el denomin´o como ‘eliminationem vulgarem’ en su obra de
1809 [31]) consisti´o en su uso para la resoluci´on de las ecuaciones normales que llevan a soluciones
aproximadas por m´ınimos cuadrados de sistemas lineales de ecuaciones y en la introducci´on de
una notaci´on y un procedimiento algor´ıtmico para la eliminaci´on sim´etrica que permit´ıa una
sistematizaci´on, simplificaci´on y mayor velocidad en la realizaci´on de los c´alculos (como puede
verse en [32]), lo cual conllev´o a su uso extendido por parte de todos los calculistas profesionales
en el s. XIX y a la obtenci´on de diferentes variantes algor´ıtmicas del m´etodo de eliminaci´on para
la simplificaci´on y aumento de velocidad en los c´alculos. El m´as conocido de est´as variantes es el
denominado m´etodo de Gauss-Jordan que idearon de manera independiente el geodesista alem´an
Wilhelm Jordan (1842–1899) y el matem´atico luxemburgu´es Bernard-Isidore Clasen (1829–1902)
en 1888 ([41] y [17], respectivamente).
Hecho este inciso en relaci´on a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones (lineales), volvemos
a la cuesti´on que nos ocupaba en relaci´on al surgimiento y desarrollo de la noci´on de ‘matriz’,
ya que la aparici´on de la noci´on de matriz y del ´algebra de matrices permiti´o traducir toda la
notaci´on y procedimientos algor´ıtmicos para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones, simplificando
y automatizando a´un m´as los procedimientos y c´alculos involucrados.
Concretamente, hubo que esperar a 1850 [72] para que el matem´atico ingl´es James Joseph
Sylvester (1814–1897) acu˜nase finalmente el t´ermino ‘matriz’, que defini´o como una estructura
tabular rectangular de t´erminos de la que se puede obtener diversos determinantes como estruc-
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
72 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
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turas tabulares cuadradas almacenadas en su interior. Cayley comprender´ıa casi de inmediato la
relevancia y significado del concepto de matriz que hab´ıa introducido su amigo Sylvester, por lo
que trabaj´o en esta noci´on publicando el art´ıculo titulado Remarques sur la notations de fonctions
alg´ebriques en 1855 [15]. Esta nota introduc´ıa el concepto de inversa de una matriz y el de pro-
ducto de dos matrices, relacionando la estructura matricial con una forma cuadr´atica y bilineal.
Simult´aneamente, en 1853, el matem´atico y f´ısico irland´es William Rowan Hamilton (1805–1865)
escribi´o sus Lectures on Quaternions [35], en la que har´ıa uso del c´alculo matricial para estudiar
los cuaterniones y obtener para estos objetos varios resultados que ser´ıan formalizados para las
matrices por Cayley en su memoria de 1858 [16].
Esta memoria se titul´o Memoir on the theory of matrices y en ella no solo aparece la primera
definici´on abstracta de matriz (mostrando c´omo los ‘arrays’ que se hab´ıan estado utilizando
hasta ese momento en matem´aticas eran casos particulares de su concepto), sino que tambi´en
incluye el primer tratamiento formal de las operaciones con matrices y sus principales resultados.
As´ı, Cayley dio la definici´on algebraica de las siguientes operaciones: suma, resta y producto de
matrices, producto de matriz por escalar e inversi´on de matrices. En el caso de la inversa de una
matriz, la construy´o expl´ıcitamente en t´erminos de determinantes. M´as a´un, introdujo la notaci´on
matricial para escribir un sistema de ecuaciones lineales, representando las ecuaciones como filas
y las inc´ognitas como columnas. En la obra comentada, Cayley demostr´o que dada una matriz
de orden 2 ×2, dicha matriz anula a su polinomio caracter´ıstico. Aunque dej´o indicada tambi´en
la prueba para matrices 3 ×3, afirm´o que no dispon´ıa de los requisitos necesarios para demostrar
la propiedad considerando una matriz arbitraria de orden arbitrario n×n. Este resultado se
conoce como Teorema de Cayley-Hamilton porque, previamente al estudio de Cayley, Hamilton
[35] describi´o una demostraci´on de este resultado para orden 4 ×4. No obstante y como veremos
en breve, habr´ıa que esperar al matem´atico alem´an Ferdinand Georg Fr¨obenius (1849–1917) para
disponer del resultado general para matrices de orden n×n.
Aproximadamente una d´ecada m´as tarde, en 1870, el matem´atico franc´es Marie Ennemond
Camille Jordan (1838–1922) escribe su Trait´e des substitutions et des ´equations alg´ebriques [40],
en el que aparece descrita por primera vez la forma can´onica que lleva su nombre al trabajar con
las sustituciones lineales sobre un cuerpo finito de orden primo.
En 1878, Fr¨obenius escribe su obra ¨
Uber lineare substitutionen und bilineare formen [40], sin
tener conocimiento del trabajo llevado a cabo por Cayley y que hemos comentado anteriormente.
Esta obra se convertir´ıa en uno de los principales referentes sobre la teor´ıa de matrices. Aun-
que sin emplear el t´ermino ‘matriz’, Fr¨obenius trabaj´o con coeficientes de formas cuadr´aticas.
Tambi´en incluy´o demostraciones de resultados fundamentales sobre matrices can´onicas como re-
presentaciones de clases de equivalencia de matrices. A este respecto, mencion´o expl´ıcitamente
los trabajos previos de los matem´aticos alemanes Leopold Kr¨onecker (1823–1891) y Karl Theo-
dor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) publicados en 1874 [46] y 1868 [82] respectivamente, pero
indicando que eran casos particulares de los resultados que ´el hab´ıa obtenido. Pero esta obra de
Fr¨obenius no se limit´o solo a las cuestiones ya indicadas, sino que inclu´ıa la demostraci´on general
del Teorema de Cayley-Hamilton, que solo hab´ıa sido demostrada hasta orden 4×4. Adem´as, este
trabajo conten´ıa la primera definici´on formal del rango de una matriz (usada cuando trabajaba
con formas can´onicas) y de matriz ortogonal.
No es hasta 1896 que Fr¨obenius tuvo conocimiento de la obra de Cayley en [16] sobre la
teor´ıa de matrices y es entonces que Fr¨obenius comenz´o a emplear el t´ermino ‘matriz’. De este
modo, su art´ıculo de 1896 [26] inclu´ıa nuevamente una demostraci´on general del Teorema de
Cayley-Hamilton para matrices cuadradas de cualquier orden; atribuyendo el m´erito de dicha
demostraci´on al propio Cayley, que como ya indicamos antes no hab´ıa sido capaz de conseguirla.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 73
Fr¨obenius tambi´en fue primordial en el estudio de las matrices positivas, puesto que sus
art´ıculos de 1908 [27] y 1909 [28] sobre este tipo de matrices contienen los resultados esenciales
y fundamentales sobre ´estas, incluso a d´ıa de hoy. Es m´as, la teor´ıa sobre matrices positivas y
matrices no negativas recibe el nombre de Teor´ıa de Perron-Fr¨obenius ya que los dos art´ıculos
anteriores junto con el de 1912 [29] y el previo del matem´atico alem´an Oskar Perron (1880–
1975) publicado en 1907 [66], crean el cuerpo te´orico de los resultados relativos a estos dos
tipos de matrices, siendo el resultado principal el denominado Teorema de Perron-Fr¨obenius. La
demostraci´on para las matrices cuadradas reales de t´erminos positivos se debe a Perron [66] que
prob´o la existencia de un ´unico autovalor real positivo (llamado ra´ız de Perron) que es mayor
que el m´odulo de cualquier otro autovalor (incluidos los autovalores complejos) de la matriz y
la existencia de un autovector asociado a este autovalor con todas sus coordenadas positivas.
Posteriormente en 1912, Fr¨obenius [29] extender´ıa el resultado de manera no trivial a cierto
tipo de matrices no negativas: las matrices no negativas irreducibles, concepto que introdujo en
ese trabajo. Debe tenerse en cuenta que los cuatro art´ıculos indicados en el presente p´arrafo se
consideran igualmente claves para el origen y estudio de los m´etodos iterativos de las ecuaciones
lineales reales (v´ease Rheinboldt y Vandergraft [69]).
Otro concepto importante dentro del ´algebra lineal es el de nulidad de una matriz de orden
m×n, que hoy en d´ıa podemos identificar con la dimensi´on del n´ucleo o espacio nulo de dicha
matriz, pero que Sylvester introdujo y defini´o formalmente en 1884 [73] como un valor ktal
que todos los menores de orden n−k+ 1 de la matriz se anulaban. Este concepto surge al
estudiar propiedades invariantes en las matrices bajo ciertas transformaciones, esencialmente de
tipo lineal. Una de las propiedades demostrada en ese trabajo era la ley de nulidad de Sylvester,
seg´un la cual la nulidad de una matriz est´a acotada superiormente por la nulidad del producto
de esa matriz por cualquier otra por la que se pueda multiplicar y esta segunda nulidad est´a a
su vez acotada superiormente por la suma de las nulidades de las dos matrices multiplicadas.
Con el comienzo del siglo XX debemos volver a tratar la noci´on de determinante. Aunque
existe constancia de la existencia de una definici´on formal y rigurosa de la noci´on de determinante
por parte de Weierstrass y de Kr¨onecker desde mediados de la d´ecada de 1860 y de su uso
en sus respectivas lecciones, la comunidad matem´atica en general tendr´ıa que esperar a 1903
para que dichas definiciones aparecieran en sus obras p´ostumas. En el caso de Weierstrass, el
determinante se defin´ıa como funci´on homog´enea, lineal y normada tal y como aparecer´ıa en
su Zur Determinantentheorie [84]. Por su parte, la definici´on de Kr¨onecker ser´ıa publicada en
Vorlesungen ¨uber die Theorie der Determinanten [47], como parte de las lecciones que impart´ıa
sobre determinantes, los cuales evaluaba usando la funci´on delta de Kr¨onecker que el cre´o y que
resulta ser el primer tensor utilizado en las matem´aticas. Con las dos publicaciones mencionadas,
se da por lo general como completamente desarrollada la teor´ıa moderna de determinantes. Sin
embargo, la teor´ıa de matrices requerir´ıa de algo m´as de tiempo para disponer de una teor´ıa
completamente aceptada por la comunidad matem´atica (todo ello pese a que solemos definir los
determinantes a partir de las matrices). En cualquier caso, los trabajos de matem´aticos como
Cayley, Fr¨obenius, Weierstrass y Kr¨onecker fueron claves y esenciales para que los t´erminos
‘matriz’ y ‘determinante’ fuesen de uso y pr´actica com´un en el campo de las matem´aticas.
No queremos concluir el presente apartado sin hacer algunas indicaciones a las obras que
entendemos sustentar´ıan la teor´ıa de matrices en las matem´aticas actuales y la han convertido
en una de las herramientas esenciales para la inmensa totalidad de ramas de las matem´aticas. En
primer lugar, habr´ıa que tener en cuenta la obra Introduction to Higher Algebra del matem´atico
americano Maxime Bˆocher (1867–1918) fechada en 1907 [5]. Posteriormente, aparecer´ıan los tres
textos m´as influyentes sobre ´algebra matricial en la d´ecada de 1930, dos de ellos escritos por el
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74 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
matem´atico ingl´es Herbert Westren Turnbull (1885–1961) en 1928 [75] y 1932 [76] y el tercero
por el matem´atico neozeland´es Alexander Craig Aitken (1895–1967) en 1939 [1]. Estas obras
llevar´ıan al punto culmen de la teor´ıa de matrices: la publicaci´on de An Introduction to Linear
Algebra por el matem´atico ruso Leonid Mirsky (1918–1983) en 1955 [56]. Esta obra mostrar´ıa la
importancia de la teor´ıa de matrices dentro de las matem´aticas y la posicion´o como uno de los
t´opicos matem´aticos esenciales para estudiantes universitarios de matem´aticas.
2.3 Una visi´on de los “nombres” a lo largo del tiempo
En las Figuras 1 a 3 se pretende dar un r´apido y breve repaso visual a la evoluci´on hist´orica de
los conceptos citados en el apartado anterior. Adem´as, dicho gr´afico permite observar c´omo el
auge en el estudio de las matrices y determinantes tuvo lugar durante los siglos XVIII y XIX.
Figura 1: “Visi´on” de los “nombres” hasta 1400.
3 Algunos conceptos econ´omicos que utilizan matrices
En la presente secci´on, nos centraremos en posibles aplicaciones de las matrices en el ´ambito de
la modelizaci´on de problemas econ´omicos. Partiendo del hecho de que dichas aplicaciones pueden
ser m´ultiples y variadas, nuestro objetivo solo es mostrar su utilidad en este campo sin llegar
a ser exhaustivos. En este sentido y a modo de visi´on general previa, debe tenerse en cuenta,
como ya se coment´o en la introducci´on, que el ´algebra matricial y la teor´ıa de matrices pueden
utilizarse en la resoluci´on num´erica tanto de sistemas de ecuaciones lineales como de ecuaciones
diferenciales (ordinarias y en derivadas parciales). Adem´as, las matrices surgen de forma natural
y de manera directa o indirecta en m´ultiples campos de las ciencias experimentales, t´ecnicas y
sociales. En la presente secci´on expondremos c´omo la teor´ıa de matrices resulta una herramienta
de gran utilidad para estudiar fen´omenos econ´omicos.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 75
Figura 2: “Visi´on” de los “nombres” desde 1400 hasta 1800.
Figura 3: “Visi´on” de los “nombres” en 1800 y principios de 1900.
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76 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
3.1 An´alisis Input-Output
El economista ruso-americano Wassily Wassilyevich Leontief (1906–1999) introdujo y desarroll´o
los fundamentos del An´alisis Input-Output en tres art´ıculos claves que datan de 1936 [52], 1941
[53] y 1966 [54]. Llev´o a cabo el desarrollo de esta herramienta para el estudio de las interrelaciones
existentes entre los diferentes sectores econ´omicos (o actividades econ´omicas) en una econom´ıa
moderna y para ello se vali´o del algebra matricial para medir la estructura de la misma. Tal fue
la relevancia de la herramienta desarrollada y de su aplicaci´on a problemas econ´omicos que fue
galardonado con el Premio Nobel en Ciencias Econ´omicas en 1973.
Sin embargo y aunque Leontief es considerado como el padre del An´alisis Input-Output, ha
de tenerse en cuenta la existencia de otros autores anteriores que pueden considerarse como
precursores de los trabajos de Leontief, ya que ´estos hab´ıan expuesto parte de la infraestructura
t´ecnica que sustenta el An´alisis Input-Output. En este sentido, la estructura b´asica de las tablas
(matrices o ‘arrays’) input-output fue establecida por el economista franc´es Fran¸cois Quesnay
(1694–1774) en su Tableau Economique en 1758 [67] y 1766 [68]. En esta obra se representaba, por
primera vez, la relaci´on entre las compras y las ventas de las industrias de una econom´ıa concreta.
Dicha representaci´on gr´afica se llevaba a cabo mediante un ’array’ en el que se representaban los
valores num´ericos de las compras y ventas realizadas y que se considera el germen de las matrices
input-output (o matrices de transacciones) que son la herramienta b´asica de trabajo en el An´alisis
Input-Output.
No obstante, Quesnay solo mostrar´ıa la representaci´on mediante una tabla y no dar´ıa una
formulaci´on te´orica concisa. Precisamente esa fue la aportaci´on del tambi´en economista franc´es
L´eon Walras (1834–1930), uno de los pioneros en la matem´atica econ´omica y del desarrollo de
la teor´ıa del equilibrio general, en la que se engloba el An´alisis Input-Output. En 1874, Walras
[83] adapt´o la obra de Quesnay e introdujo en el modelo las compras de los consumidores finales,
adem´as de dar la primera representaci´on econ´omica de una tecnolog´ıa. Para ello, Walras us´o un
conjunto de coeficientes productivos para relacionar las cantidades necesarias del producto de cada
sector para obtener una unidad de un producto concreto a niveles de producci´on total de dicho
producto. Estos coeficientes coinciden, en lo esencial, con los coeficientes t´ecnicos (o tecnol´ogicos)
que se usan en la actualidad en la matriz de coeficientes t´ecnicos o matriz tecnol´ogica.
El valor a˜nadido que tuvo el trabajo de Leontief consisti´o en que su modelo simplificaba la
formulaci´on te´orica del modelo de Walras por medio de dos hip´otesis: considerar que el compor-
tamiento de la tecnolog´ıa y del mercado se mantiene constante en el tiempo. En base a estas
hip´otesis, los datos disponibles de un per´ıodo temporal anterior podr´ıan usarse para prever el
comportamiento futuro de la econom´ıa y del mercado. M´as concretamente, el comportamiento
futuro de la econom´ıa se reduc´ıa a un producto de la matriz t´ecnica de la econom´ıa y, por tanto,
simplemente consist´ıa en operaciones matriciales.
Los modelos input-output combinan las compras intermedias (entre sectores industriales) y
las finales (a consumidores finales y gobierno), adem´as de insertar las correspondientes ventas
intermedias y finales. Precisamente, el An´alisis Input-Output resulta ser uno de los modelos inter-
sectoriales m´as populares en la actualidad. En este sentido, las agencias nacionales de estad´ısti-
cas elaboran las tablas input-output de las econom´ıas nacionales y regionales en determinados
per´ıodos de a˜nos (actualmente cada lustro), usando un n´umero limitado de sectores en funci´on del
nivel de agregaci´on de los mismos. M´as a´un, la Organizaci´on de Naciones Unidas ha fomentado
el uso del An´alisis Input-Output como una herramienta ´util y esencial para la planificaci´on de la
econom´ıa de pa´ıses en v´ıa de desarrollo, auspiciando un sistema est´andar para las contabilidades
econ´omicas nacionales usando un modelo input-output (v´ease [63, 64, 65]).
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Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 77
Por todo lo anterior, el An´alisis Input-Output tiene una amplia aceptaci´on y uso en gran
n´umero de las ramas de las que consta la Econom´ıa. No obstante, su aceptaci´on general no tuvo
lugar hasta la d´ecada de 1950 con los adelantos en el software y equipos inform´aticos de modo
que se pudiera empezar a manejar el volumen de datos almacenados en las tablas input-output
y realizar de manera autom´atica y r´apida las operaciones con las mismas. A modo de ejemplo,
queremos indicar algunos de los distintos ´ambitos que emplean esta t´ecnica matricial: sistemas
de cuentas nacionales, elaboraci´on de tablas input-output, econom´ıa medioambiental, an´alisis
regional y multirregional, an´alisis input-output estoc´astico (donde los t´erminos de la matriz input-
output son variables estad´ısticas), equilibrio general aplicado, matrices de contabilidad social
(SAM), pol´ıtica econ´omica o an´alisis de la productividad, innovaci´on y empleo.
El modelo b´asico del An´alisis Input-Output se caracteriza por el estudio de los datos econ´omi-
cos de los sectores productivos existentes en una determinada regi´on geogr´afica. Cada sector en
la econom´ıa produce una serie de bienes a la vez que consume tanto sus productos como los
producidos por otros sectores. En consecuencia, cada sector productivo es considerado tanto pro-
ductor (y los bienes se denominan entonces ‘outputs’) como consumidor (denomin´andose ‘inputs’
los bienes). Estos flujos intersectoriales de compra y venta entre sectores productivos de una
econom´ıa se miden en unidades monetarias en un per´ıodo determinado de tiempo (que suele ser
de un a˜no). Estas mediciones pueden resumirse distribuyendo estos valores en una matriz, que
se denomina tabla de flujos intersectoriales o matriz input-output de la econom´ıa. Esta matriz
almacena toda esta informaci´on y resulta ser la herramienta esencial en el An´alisis Input-Output.
Con ella se puede generar toda la informaci´on necesaria de la econom´ıa, permitiendo prever el
comportamiento de la misma en el futuro.
La construcci´on de la matriz de flujos intersectoriales de una econom´ıa con nsectores pro-
ductivos se basa en situar las ventas del sector ial sector jen el t´ermino (i, j) de dicha matriz.
En consecuencia, la fila ide la matriz viene a representar la distribuci´on de las ventas realizadas
por el sector ia los sectores (incluido ´el mismo) de la econom´ıa bajo estudio. An´alogamente, si
llevamos una interpretaci´on por columnas de la matriz, la columna jrepresentar´a las compras
(consumo de producci´on) realizadas por el sector ja todos los sectores (incluido el consumo de
su propia producci´on) de la econom´ıa. A los datos relativos a los flujos de producci´on entre los
sectores productivos, podemos a˜nadir los datos relativos de consumo de la producci´on de cada
sector llevada a cabo por los consumidores finales (que vienen a ser los usuarios de los productos,
el gobierno e incluso las exportaciones). Estos datos requieren la inclusi´on de columnas adiciona-
les al modelo matricial que permitan registrar las ventas del sector en cuesti´on a cada uno de los
tres colectivos indicados. Debe tenerse en cuenta que solo se a˜naden columnas y no filas, ya que
los consumidores finales no son sectores productivos y por tanto no producen un producto final
que puedan vender y que sea consumido por otros sectores o alguno de los colectivos considera-
dos como consumidores finales. De este modo, pasamos de una matriz cuadrada que representa
las transacciones entre sectores productivos (la matriz de flujos intersectoriales) a una segunda
matriz rectangular en la que aparecen los consumidores finales de los productos realizados por los
sectores productivos, Los consumidores finales suelen representarse conjuntamente en una ´unica
columna, denominada de demanda final (aunque podr´ıa desagregarse la informaci´on en colum-
nas independientes llegado el caso). La matriz rectangular obtenida al considerar la columna de
demanda final se denomina matriz de transacciones.
Si definimos la matriz de flujos intersectoriales como Z= [Z1|. . . |Zn] por sus columnas Ziy
denotamos respectivamente por Yy por Xal vector de demanda final y al vector de producci´on
total de la econom´ıa, entonces los t´erminos XieYison respectivamente la producci´on total y
demanda final del sector i. En consecuencia, el modelo input-output puede expresarse haciendo
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
78 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
uso del ´
Algebra Lineal por medio de la siguiente ecuaci´on vectorial:
X=Z1+· · · +Zn+Y. (1)
Desafortunadamente, la matriz de transacciones se limita a describir el comportamiento ac-
tual de la econom´ıa como si de una foto fija se tratase. Para prever los posibles cambios en la
producci´on final de cada sector productivo (es decir, el vector X) en funci´on de los cambios que
tengan lugar sobre la demanda final (el vector Y), debemos considerar una matriz cuadrada Aen
la que intervengan todos estos datos. Esto se consigue relativizando la matriz de flujos intersecto-
riales y obteniendo la denominada matriz tecnol´ogica o de coeficientes t´ecnicos. En esta matriz,
el t´ermino (i, j) representa el valor del bien comprado al sector ipor el sector j, pero relativizado
por unidad monetaria respecto de la producci´on final del sector j. Por tanto, las columnas de la
matriz Ase obtienen con una simple reescala de las columnas de la matriz Z:
Aj=1
Xj
·Zj
Como consecuencia, la matriz Anos proporciona informaci´on sobre la estructura interna de la
econom´ıa y podemos usarla tanto para comparar distintos per´ıodos temporales de una econom´ıa
concreta como para comparar distintas econom´ıas entre s´ı. Haciendo uso de la matriz Ade
coeficientes t´ecnicos, el modelo input-output puede representarse mediante la siguiente ecuaci´on
matricial (o equivalentemente sistema de ecuaciones lineales):
A·X+Y=X
reflejando las relaciones existentes entre el vector Xde producci´on total y el vector Yde demanda
final:
Y= (A−Id)·XyX= (A−Id)−1·Y,
donde Id es la matriz identidad de orden ny la potencia −1 representa la inversa matricial.
Desde un punto de vista puramente econ´omico, las matrices tecnol´ogicas Apara las cuales existe
la inversa (A−Id)−1son de gran inter´es y reciben el nombre de matrices productivas. El inter´es
de dichas matrices radica en que una econom´ıa con tal matriz tecnol´ogica puede producir una
producci´on total por parte de los sectores productivos que satisfaga cualquier demanda final por
parte de los consumidores finales. Una propiedad tan relevante como esta en el ´ambito del An´alisis
Input-Output puede ser traducida y tratada como un simple problema de ´algebra matricial con
las t´ecnicas propias del ´
Algebra Lineal.
3.2 Teor´ıa de Juegos
Como disciplina tanto matem´atica como econ´omica, la Teor´ıa de Juegos se ocupa de la modeli-
zaci´on y an´alisis de situaciones de conflicto y cooperaci´on entre decisores racionales e inteligentes
(v´ease [58]). M´as concretamente, estudia el comportamiento racional en la toma de decisiones de
dos o m´as agentes (denominados jugadores) a la hora de afrontar una situaci´on de interacci´on
(que se denomina juego), teniendo en cuenta que tanto las decisiones propias como las del resto
de jugadores afectan en la toma de decisi´on.
En un juego, cada jugador busca la estrategia ´optima para alcanzar sus objetivos y tomar
las decisiones en base a dicha estrategia que tambi´en depender´a del comportamiento previsto de
los otros jugadores y del que est´a observando durante el propio juego con las correspondientes
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 79
adaptaciones a la estrategia de partida. Para ello, el jugador debe ponderar tanto el nivel de
coincidencia como de enfrentamiento de sus objetivos con respecto a los de los dem´as jugadores;
una vez realizada esta ponderaci´on y en base a la misma, el jugador tendr´a que decidir si le
interesa cooperar o enfrentarse con todos o solo con algunos de los jugadores.
El objetivo de un juego es buscar una soluci´on ´optima del mismo por medio de una descripci´on
de las decisiones que deber´ıa tomar cada jugador en base a las acciones de todos los jugadores y
determinando cu´al ser´ıa el resultado teniendo en cuenta todas las combinaciones posibles en la
toma de decisi´on.
Por tanto, un juego viene definido simplemente por un conjunto de jugadores, un conjunto
de movimientos (llamados estrategias) para esos jugadores y una especificaci´on de recompensas
para las posibles combinaciones de estrategias.
La ventaja de la Teor´ıa de Juegos como herramienta de an´alisis en la toma de decisiones reside
en que existen muchas situaciones basadas en la interacci´on entre agentes que, a priori, pueden
no tener relaci´on alguna y habr´ıa que resolver espec´ıficamente; sin embargo, cuando se modeliza
como un juego resulta que comparten una misma estructura que basta analizar una ´unica vez
para llevar a cabo la toma de decisiones independientemente del problema real que modeliza y
que, tras resolverlo te´oricamente, puede trasladarse la soluci´on a la situaci´on concreta para dar
respuesta a nuestro problema del mundo real.
Dentro de la Teor´ıa de Juegos, surge una divisi´on de manera natural que los diferencia entre
los no cooperativos y los que s´ı lo son. Desde la perspectiva m´as cl´asica, los juegos cooperativos
son aquellos que permiten la posibilidad de llegar a acuerdos vinculantes entre jugadores mediante
mecanismos preestablecidos (v´ease [36]). Sin embargo, en los juegos no cooperativos, cada jugador
debe centrarse ´unica y exclusivamente en su beneficio personal, estando habilitadas todas las
posibilidades de cooperaci´on entre jugadores (v´ease [77]).
Desde sus comienzos, la Teor´ıa de Juegos se plantea como herramienta para comprender c´omo
funcionan los fen´omenos sociales y econ´omicos. Como muestra de esta afirmaci´on, indicaremos
algunos de los trabajos aparecidos con anterioridad al s. XX y que pueden considerarse precursores
de la Teor´ıa de Juegos. En este sentido, el matem´atico franc´es Pierre-R´emond de Montmort
(1678–1619) publicar´ıa en 1713 [57] un ensayo en el que aparecen por primera vez el concepto de
estrategia mixta y la regla minimax en el contexto de los juegos de azar.
En 1785 [18], el pol´ıtico y matem´atico franc´es Marie-Jean-Antoine Nicolas de Caritat, marqu´es
de Condorcet (1743–1794), public´o su principal obra sobre sistemas electorales, en el que introduce
el Teorema del Jurado y la Paradoja de Condorcet, seg´un las cuales el criterio de preferencia de la
mayor´ıa no permite obtener un vencedor claro. De hecho, tambi´en se incluye en la obra el deno-
minado m´etodo de Condorcet para seleccionar al candidato que ganar´ıa por mayor´ıa en cualquier
emparejamiento contra otro candidato, si existe tal candidato. Esta t´ecnica es esencial en Teor´ıa de
Juegos cuando se quieren establecer preferencias para seleccionar candidatos. De manera paralela,
en 1770, el matem´atico y pol´ıtico franc´es Jean-Charles de Borda (1733–1799) expone su m´etodo
de elecci´on de un ´unico candidato vencedor mediante ordenaci´on de los candidatos por cada
votante seg´un sus preferencias y que se conoce como recuento de Borda [6].
En el campo de la Econom´ıa, la Teor´ıa de Juegos aparece con el tratamiento matem´atico de los
problemas de duopolios y oligopolios. En este sentido, la primera referencia habitualmente referida
se debe al matem´atico franc´es Antoine Augustin Cournot (1801–1877), quien desarrollo en 1838
[19] un modelo en competici´on imperfecta entre dos empresas (duopolio) que buscan un equilibrio
con sus decisiones. Posteriormente se ir´ıa complicando el modelo con el estudio realizado por
autores posteriores para corregir las problem´aticas que iban surgiendo a partir de dicho modelo
y sus modificaciones. Ejemplo de ello son las obras de los economistas y matem´aticos Joseph-
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
80 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
Louis-Fran¸cois Bertrand (1822–1900) y Francis Ysidro Edgeworth (1845–1926). Precisamente este
´ultimo public´o en 1881 la obra Mathematical Psychics [22], en la que se hac´ıa un estudio de los
equilibrios competitivos en base a un principio de incertidumbre que iba reduci´endose a media
que aumentaba el n´umero de jugadores. Este tratado es el m´as relevante del s. XIX sobre Teor´ıa
de Juegos, llegando a ser la primera aparici´on de muchas de las nociones y procedimientos que
posteriormente en el s. XX se volver´an esenciales en dicho campo.
Con el inicio del s. XX comenzar´an las primeras aportaciones en publicaciones matem´aticas
de la Teor´ıa de Juegos, estableci´endose resultados formales y buscando el formalismo de los con-
ceptos y procedimientos. Ser´a el matem´atico y l´ogico alem´an Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo
(1871–1953) quien tenga el honor de inaugurar este per´ıodo con su art´ıculo de 1913 [85] sobre el
juego del ajedrez para el estudio de las posiciones ganadoras en dicho juego y de la correcta defi-
nici´on de estas posiciones desde la perspectiva de la matem´atica formal. Pese a contextualizar el
art´ıculo con el caso del ajedrez, en verdad, la formulaci´on y demostraciones que se presentan eran
v´alidas para cualquier juego con dos jugadores sin movimientos de oportunidad y con intereses
completamente enfrentados, permitiendo realizar infinitos movimientos, aunque en una cantidad
finita de posiciones.
Posteriormente, los matem´aticos h´ungaros D´enes K¨onig (1884–1944) y L´aszl´o Kalm´ar (1905–
1976) complementar´ıan dicho trabajo. El primero [45] generaliza el estudio permitiendo infinitas
posiciones en el juego, pero solo pudiendo alcanzar una cantidad finita de posiciones desde cada
posici´on. El segundo [43] da un paso m´as e incluye la posibilidad de no solo tener infinitas
posiciones, sino que tambi´en se puede alcanzar un n´umero infinito de posiciones desde cada
posici´on.
Entre 1921 y 1927, el matem´atico y pol´ıtico franc´es F´elix ´
Edouard Justin ´
Emile Borel (1871–
1956) establece los fundamentos de la teor´ıa de juegos psicol´ogicos [7, 8, 9, 10], dando la primera
formulaci´on matem´atica moderna de estrategia mixta, de estrategia pura y de b´usqueda de la
soluci´on minimax para juegos sim´etricos de dos jugadores con intereses completamente contra-
puestos y con 3 o 5 estrategias para cada jugador. Posteriormente, en 1928 [80], el matem´atico
austroh´ungaro (nacionalizado estadounidense) John von Neumann (1903–1957) demuestra el teo-
rema minimax independientemente del n´umero de estrategias para cada jugador (que s´ı ha de
ser una cantidad finita). Este trabajo incluye la definici´on formal de estrategia usada actualmen-
te e introduce la forma extensiva de un juego como ´arbol l´ogico enraizado (lo que permitir´a el
tratamiento matricial del juego con las matrices de adyacencia e incidencia del ´arbol).
La siguiente aportaci´on ser´a la que se acepta como la obra clave y referencia b´asica de la
Teor´ıa de Juegos: el libro Theory of Games and Economic Behavior que von Neumann publica
en 1944 [81] conjuntamente con el economista alem´an Oskar Morgenstern (1902–1977). Esta
obra aport´o el primer tratamiento riguroso y exhaustivo de los conceptos de juego, estrategia
y resoluci´on del mismo, as´ı como de la forma en que las preferencias de los jugadores pod´ıan
ser representadas. Adem´as de los juegos donde los jugadores tienen intereses completamente
contrapuestos (i.e. juegos no cooperativos de suma nula), la obra tambi´en consideraba los juegos
en los que la ganancia de un jugador no conlleva necesariamente p´erdida para el otro (i.e. los
juegos cooperativos de suma nula con recompensa transferible). Es m´as, la Teor´ıa de Juegos
permiti´o que la obra desarrollara una teor´ıa axiom´atica de la utilidad.
Debido al impacto de esta obra entre matem´aticos y economistas, las d´ecadas de 1950 y 1960
fueron un per´ıodo de investigaci´on intensa y exhaustiva en Teor´ıa de Juegos, con la aparici´on de
numerosos art´ıculos te´oricos y aplicados (estos ´ultimos sobre todo a cuestiones econ´omicas). En
este sentido, destaca la obra del matem´atico estadounidense John Forbes Nash Jr. (1928–2015)
con el estudio de juegos no cooperativos comenzado en su tesis doctoral [59] en 1950, en la que se
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 81
introdujo la noci´on de punto de equilibrio (ahora llamado equilibrio de Nash) probando su exis-
tencia, y la reducci´on del estudio de los juegos cooperativos mediante los juegos no cooperativos
[60, 61]. Tambi´en destaca el modelo te´orico desarrollado por el matem´atico polaco-estadounidense
Melvin Dresher (1911–1992) y el matem´atico estadounidense Merril Meeks Flood (1908–1991) en
1950 para el juego de cooperaci´on y conflicto conocido como el “Dilema del Prisionero” (v´ease
[24, 21]), cuyo formato actual y nombre lo recibi´o del matem´atico estadounidense Albert William
Tucker (1905–1995) en 1950 [74].
Es m´as, la Teor´ıa de Juegos fue clave durante la Guerra Fr´ıa, conllevando una amplia inves-
tigaci´on que hoy en d´ıa es fundamental y referencia b´asica, como por ejemplo el desarrollo de
los juegos repetidos o iterados desarrollados en el seno de la Agencia de Desarme y Control de
Armas de los Estados Unidos para las negociaciones de control armament´ıstico (v´ease [2]).
Hoy en d´ıa el reconocimiento de la Teor´ıa de Juegos se ha visto recompensado con la concesi´on
del Premio del Banco de Suecia en Ciencias Econ´omicas en memoria de Alfred Nobel a investi-
gaciones en el campo del An´alisis Econ´omico que se basaban en el uso de la Teor´ıa de Juegos.
As´ı, en 1994, fueron premiados el economista h´ungaro John Charles Harsanyi (1920–2000), el ya
mencionado John F. Nash y el economista alem´an Reinhard Justus Reginald Selten (1930–2016)
por sus aplicaciones de la Teor´ıa de Juegos al estudio de los equilibrios generales de tipo Nash
y sus usos en Econom´ıa. Posteriormente, en 2005, los premiados ser´ıan el economista estadouni-
dense Thomas Crombie Schelling (1921–2016) y el matem´atico israel´ı Robert John Aumann (n.
1930): el primero por su estudio de modelos din´amicos para analizar la cooperaci´on y conflicto,
dando lugar a la Teor´ıa de Juegos evolutiva; y el segundo por sus aportaciones al estudio de los
equilibrios. Dos a˜nos despu´es, en 2007, los matem´aticos y economistas estadounidenses Leonid
Hurwicz (1917–2008) y Roger Bruce Myerson (n. 1951) recibieron el galard´on, junto con el eco-
nomista estadounidense Eric Stark Maskin (n. 1950), por establecer los fundamentos de la teor´ıa
de dise˜no de mecanismos, una rama de la Teor´ıa de Juegos que en ocasiones ha sido denominada
Teor´ıa de Juegos Inversa, pues busca establecer las reglas de un posible juego que sea compa-
tible con las interacciones entre jugadores y las soluciones que se desean. Fue en 2012 cuando
nuevamente la Teor´ıa de Juegos fue premiada en las personas de los matem´aticos y economistas
estadounidenses Lloyd Stowell Shapley (1923–2016) y Alvin Elliot Roth (n. 1951) debido a sus
contribuciones en la teor´ıa de localizaciones estables y la pr´actica de dise˜no de mercados, basada
en el uso de herramientas de juegos cooperativos y no cooperativos. En 2014, el economista franc´es
Jean Tirole (n. 1953) recibi´o el Nobel por su an´alisis del poder de mercado de los oligopolios y
c´omo ´estos debieran ser regulados, utilizando para ello la Teor´ıa de Juegos, cuyo uso introdujo
en la organizaci´on industrial. Nuevamente la Teor´ıa de Juegos result´o premiada cuando el ga-
lard´on fue concedido a los matem´aticos y economistas Oliver Hart (n. 1948) y Bengt Holmstr¨om
(n. 1949), estadounidense el primero y sueco el segundo, por sus aportaciones a la teor´ıa de los
contratos (Hart por sus aportes esenciales en la teor´ıa de contratos incompletos, que permiten
determinar cu´al de los actores en el contrato ha de tomar la decisi´on en cada circunstancia acon-
tecida estableciendo herramientas te´oricas para ello y Holmstr¨om por establecer c´omo dise˜nar
un contrato ´optimo para afrontar el problema del agente-principal y evitar que un agente realice
acciones en contra de su jerarca). Tambi´en en 2017, los trabajos del galardonado, el economista
estadounidense Richard H. Thaler (n. 1945), se centraban en el campo de la teor´ıa de juegos
conductual, incorporando hip´otesis psicol´ogicas realistas para analizar la toma de decisiones en
econom´ıa y mostrar el modo en que una serie de rasgos humanos afectan sistem´aticamente tanto
a las decisiones individuales como a los rendimientos del mercado. Los ´ultimos galardonados con
este premio en el ´ambito de la teor´ıa de juegos han sido el economista estadounidense Robert
B. Wilson (n. 1937) y el matem´atico y economista estadounidense Paul R. Milgrom (n. 1948),
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
82 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
ambos especialistas de esta disciplina y que fueron premiados por sus aplicaciones a la teor´ıa de
subastas (una subdisciplina de la teor´ıa de juegos) y dise˜nar matem´aticamente nuevos formatos
de subasta.
En un juego, los jugadores deben hacer uso de estrategias, las cuales no son m´as que planes
de acci´on para tomar decisiones en el futuro. Cada posible combinaci´on de estrategias en el juego
tiene asociado un peso indicando la recompensa (que se mide en beneficios o p´erdidas) para los
jugadores. La expresi´on tradicional de estas recompensas correspond´ıa al uso de una matriz, deno-
minada matriz de pagos ode recompensas, en las que se recogen todas las posibles estrategias que
puede emplear un jugador con sus correspondientes recompensas. Esta forma, denominada forma
normal oestrat´egica del juego, facilita la identificaci´on tanto de las estrategias estrictamente
dominadas (las que pierden siempre) como de los equilibrios de Nash en dichos juegos. Para
usar este tipo de representaci´on, se parte del hecho que los jugadores act´uan en simult´aneo
desconociendo las elecciones que van a tomar los otros jugadores. De hecho, la formulaci´on para
Njugadores parte del hecho que cada combinaci´on de estrategias de los Njugadores viene dada
por una N-tupla en la que la recompensa del jugador i-´esimo aparece en la coordenada i-´esima
de la tupla. En concreto, cuando tenemos dos jugadores, aparece una distribuci´on matricial en el
sentido habitual en el que las filas registran las estrategias del jugador 1 y las columnas, las del
jugador 2; tal y como ilustra la Tabla 1.
Cuadro 1: Ejemplo de juego en forma normal (matricial) para dos jugadores.
Jugador 1 / Jugador 2 Estrategia A
de Jugador 2
Estrategia B
de Jugador 2
Estrategia A
de Jugador 1 (4,4) (2,3)
Estrategia B
de Jugador 1 (3,2) (1,1)
Si el juego considera m´as de dos jugadores, podemos volver a obtener una expresi´on normal
(matricial) en la que las filas representan las estrategias de un jugador fijado y las columnas
registran todas las combinaciones de estrategias que pueden realizar el resto de jugadores, tal y
como puede observarse en la Tabla 2.
Cuadro 2: Matriz de un juego en forma normal desde la perspectiva de un jugador.
Jugador 1 / Resto Jugadores Combinaci´on A
resto jugadores
Combinaci´on B
resto jugadores
Combinaci´on C
resto jugadores
Estrategia A
de Jugador 1 (4,4,4) (2,3,2) (1,2,1)
Estrategia B
de Jugador 1 (3,2,3) (2,1,1) (1,1,1)
Ejemplo de los juegos que pueden expresarse en forma normal es el caso de los juegos biper-
sonales finitos de suma nula: dos jugadores que disponen de un n´umero finito de estrategias y
tal que las coordenadas de toda 2-tupla en la matriz de pago suman 0. En estos juegos, solo un
jugador puede salir beneficiado, obteniendo su beneficio a expensas del otro jugador. Ese es el
caso del ajedrez, las damas, el go o el juego “piedra–papel–tijeras”. En este ´ultimo juego existen
tres estrategias posibles para cada jugador, siendo su expresi´on matricial la que aparece en la
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 83
Tabla 3.
Cuadro 3: Matriz de pagos para el juego “piedra–papel–tijeras”.
Jugador 1 / Jugador 2 Jugador 2 saca
PIEDRA
Jugador 2 saca
TIJERAS
Jugador 2 saca
PAPEL
Jugador 1 saca
PIEDRA (0,0) (1,−1) (−1,1)
Jugador 1 saca
TIJERAS (−1,1) (0,0) (1,−1)
Jugador 1 saca
PAPEL (1,−1) (−1,1) (0,0)
Este juego no tiene ning´un equilibrio de estrategia pura de Nash ya que no existe estrategia
que asegure minimizar las p´erdidas, puesto que cualquier estrategia de este juego vence a una
segunda estrategia y es vencida por una tercera. Esto puede observarse directamente en la matriz
porque, para cada fila (resp. columna), la primera coordenada (resp. la segunda) de los pagos no
es siempre mayor o igual que la segunda (resp. la primera). Por lo tanto, el jugador no puede
elegir una estrategia que le asegure ganar o, al menos, que sus posibles ganancias sean mayores
que sus posibles p´erdidas.
Para disponer de equilibrios del tipo antes mencionado en un juego de las caracter´ısticas ya
vistas, ser´ıa necesario bien disponer de filas (y/o columnas) con una mayor cantidad de 1 que de
−1 en la coordenada de ese jugador o bien tener pesos cuyas coordenadas no se limiten a valores
de Z3; en este ´ultimo caso, se podr´ıa ver si una estrategia es m´as o menos beneficiosa seg´un le d´e
al jugador mayores o menores posibilidades de ganancias. As´ı, un ejemplo de estos ´ultimos ser´ıa
un juego cuya forma normal viniese dada por la Tabla 4.
Cuadro 4: Juego con pesos tomando valores enteros.
Jugador 1 / Jugador 2 Estrategia A
de Jugador 2
Estrategia B
de Jugador 2
Estrategia C
de Jugador 2
Estrategia 1
de Jugador 1 (30,−30) (−10,10) (20,−20)
Estrategia 2
de Jugador 1 (10,−10) (20,−20) (−20,20)
En el caso de la estrategia 1 del jugador 1, tiene la opci´on de ganar 30 frente a la de perder 20;
mientras que en la estrategia 2, ha de comparar una ganancia de 20 frente a una p´erdida tambi´en
de 20. En consecuencia, la estrategia 1 parece la m´as aconsejable, puesto que adem´as presenta
mismas posibilidades de ganar que de perder (2 a 1) y tiene mayor margen de ganancias. Sin
embargo, el jugador 2 deber´ıa elegir la estrategia C, puesto que la opci´on Bconlleva un menor
margen de ganancias con el mismo margen de p´erdidas y la opci´on Asiempre le causa p´erdidas.
Por tanto, el punto de equilibrio usando estrategia pura vendr´ıa dado por la elecci´on de la
estrategia 1 por el jugador 1 y de la estrategia Cpor el jugador 2.
El ejemplo cl´asico para explicar los equilibrios puros en los juegos consiste en el “Dilema del
Prisionero”. En este juego, los jugadores son dos personas detenidas que est´an aisladas una de la
otra y se les ofrece a cada una denunciar a la otra para reducir su condena, ya que sus testimonios
son necesarios para sustentar las pruebas disponibles. Los dos detenidos podr´ıan cooperar, con
lo que sus condenas ser´ıan menores por ausencia de pruebas para el delito principal. La matriz
de pagos de este juego ser´ıa la dada en la Tabla 5.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
84 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
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Cuadro 5: Forma normal del “Dilema del Prisionero”, considerando la coordenada icomo el
n´umero de a˜nos de condena que le corresponder´ıan al jugador i.
Persona 1 / Persona 2 Persona 2 coopera Persona 2 denuncia
Persona 1 coopera (1,1) (3,0)
Persona 1 denuncia (0,3) (2,2)
Ante esta situaci´on, cada detenido tiene como opci´on callarse (y cooperar con su compa˜nero)
o denunciarlo. Si coopera, el detenido tendr´a que ir a la c´arcel entre 1 y 3 a˜nos, dependiendo
respectivamente de que su compa˜nero tambi´en se calle o de que, por el contrario, lo denuncie.
Sin embargo, si el detenido denuncia, entonces podr´ıa quedar libre y toda la condena ir´ıa al otro
detenido. Por tanto, la mejor opci´on para cualquiera de los dos detenidos es la denuncia, ya que:
a) si el otro coopera, ´el se ir´a libre; y b) si el otro tambi´en denuncia, entonces ver´a reducida su
condena de 3 a˜nos a solo 2. Es decir, el punto de equilibrio se tiene en la denuncia mutua.
4 Conclusiones
En este trabajo hemos hecho un recorrido por los principales eventos e hitos en la aparici´on
y formalizaci´on de los conceptos de matriz y determinante, mostrando las dificultades que han
acarreado la formalizaci´on y correcto uso de estos conceptos, mostrando adem´as su aparici´on
desde mucho tiempo atr´as en varias civilizaciones antiguas y desde una perspectiva m´as aplicada y
basada en la b´usqueda de un procedimiento que les permitiese resolver ciertos problemas de ´ındole
econ´omico. En este sentido, hemos visto que la aplicaci´on de matrices (aunque no recibieran ese
nombre) para la resoluci´on de problemas econ´omicos ya se llevaba a cabo en civilizaciones como
las existentes en la Antigua India y China; aunque siempre usando dichas nociones de manera
impl´ıcita. De este modo, hemos expuesto c´omo una necesidad pr´actica conllevaba la aparici´on
de un procedimiento matem´atico para su resoluci´on basado en herramientas te´oricas potentes y
actuales; aunque sin formalizar su fundamentaci´on. Hecho esto hemos revisado las distintas etapas
hist´oricas que han tenido lugar para el surgimiento de las nociones de determinante y matriz. Con
ello, se ha podido constatar la consolidaci´on de las matem´aticas occidentales europeas desde la
perspectiva del ´algebra matricial y, por extensi´on, lineal, convirti´endose en herramienta esencial
para el conocimiento matem´atico (tanto te´orico como aplicado) de los siglos XX y XXI.
Siguiendo a la exposici´on hist´orica del ´
Algebra Lineal, hemos descrito varios problemas econ´omi-
cos que pueden modelizarse por medio de la teor´ıa de matrices y sus operaciones. En este sentido,
hemos tratado tanto el An´alisis input-output como la Teor´ıa de Juegos para ejemplificar proble-
mas econ´omicos cuyo tratamiento estuviese fuertemente basado en el uso de matrices.
En vista de todo lo comentado, creemos que hemos mostrado la fuerte vinculaci´on existente
entre el ´algebra matricial (y lineal) y un buen n´umero de problemas econ´omicos, resultando una
herramienta esencial para el tratamiento de problemas en las Ciencias Econ´omicas, en particular,
y en las Sociales, en general.
Referencias
[1] Aitken, A.C. Determinants and Matrices, Oliver and Boyd, Edimburgo, 1939. MR0000217.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 85
[2] Aumann, R.J.; Maschler, M.B.; Stearns, R.E. Repeated games with incomplete information,
MIT Press, Cambridge, 1995. MR1342074.
[3] B´ezout, E. Recherches sur le degr´e des ´equations r´esultantes de l’´evanouissement des incon-
nues, et sur les moyens qu’il convient d’employer pour trouver ces ´equations, M´em. Acad.
Roy. Sci. Paris 1764 (1764), 288–338.
[4] Binet, J.P.M. M´emoire sur un systeme de formules analytiques, et leur applications `a des
considerations g´eom´etriques, J. ´
Ec. Polytech. 9(1813), 280–302.
[5] Bˆocher, M. Introduction to Higher Algebra, Macmillan, Nueva York, 1907.
[6] Borda, J.C. Memoire sur les elections au scrutin, Hist. Acad. Roy. Sci. 1781 (1784), 657–664.
[7] Borel, E. La th´eorie du jeu et les ´equations int´egrales `a noyau sym´etrique, Compt. Rend.
Hebd. S´eances Acad. Sci. 173 (1921), 1304–1308.
[8] Borel, E. Sur les jeux o`u interviennent l’hasard et l’habilet´e des joueurs, en: E. Borel,
´
El´ements de la Th´eorie des Probabilit´es, 3e ´edition, Librairie Scientifique J. Hermann, Par´ıs,
1924, pp. 204–224.
[9] Borel, E. Un th´eor`eme sur les syst`emes de formes lin´eaires a d´eterminant sym´etrique gauche,
C. R. Acad. Sci. 183 (1926), 925–927, 996.
[10] Borel, E. Sur les syst`emes de formes lin´eaires `a d´eterminant sym´etrique gauche et la th´eorie
g´en´erale du jeu, Compt. Rend. Hebd. S´eances Acad. Sci. 184 (1927), 52–54.
[11] Cardano, G. Artis magnae, sive de regulis algebraicis, Johannes Petreius, Nuremberg, 1545.
[12] Cauchy, A.L. M´emoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs ´egales et de
signes contraires par suite des transpositions op´er´ees entre les variables qu’elles renferment,
J. ´
Ec. Polytech. 10 (1815), 29–112.
[13] Cauchy, A.L. Sur l’´equation `a l’aide de laquelle on d´etermine les in´egalit´es s´eculaires des
mouvements des plan`etes, Exer. Math. 4(1829), 140–160.
[14] Cayley, A. A theorem in the geometry of position, Cambridge Mathematical Journal II
(1841), 267–271.
[15] Cayley, A. Remarques sur la notations de fonctions alg´ebriques, Crelle’s J. 50 (1855), 282–
285. Doi: 10.1515/crll.1855.50.282. MR1578946.
[16] Cayley, A. A memoir on the theory of matrices, Philos. Trans. Roy. Soc. London 148 (1858),
17–37, Doi: 10.1098/rstl.1858.0002.
[17] Clasen, B.I. Sur une nouvelle m´ethode de r´esolution des ´equations lin´eaires et sur
l’application de cette m´ethode au calcul des d´eterminants, Ann. Soc. Sci. Bruxelles 12 (1888),
251–281.
[18] De Condorcet, M. Essai sur l’application de l’analyse `a la probabilit´e des d´ecisions rendues
`a la pluralit´e des voix, Imprenta Real, Par´ıs, 1785.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
86 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
[19] Cournot, A. Recherches sur les principes math´ematiques de la th´eorie des richesses, L. Ha-
chette, Par´ıs, 1838.
[20] Cramer, G. Introduction `a l’analyse des lignes courbes alg´ebriques, Fr`eres Cramer, Ginebra,
1750.
[21] Dresher, M. The mathematics of games of strategy: Theory and applications, Prentice-Hall,
Nueva Jersey, 1961. MR0671740.
[22] Edgeworth, F.Y. Mathematical Psychics. Kegan Paul & Co., Londres, 1881.
[23] Fedriani, E.M.; Mart´ın, A.M.; Tenorio, A.F. Bases econ´omicas en la constituci´on de los
sistemas de numeraci´on y sus operaciones, en: V. Guirao & V.J. Cano (eds.), Anales de
Econom´ıa Aplicada, Vol. XX, Delta Publicaciones, La Laguna, 2006, 25 pp.
[24] Flood, M.M. Some experimental games, Management Sci. 5(1958), 5–26, Doi: 10.1287/
mnsc.5.1.5. MR0097986. Previamente publicado como memorandum en M.M. Flood, Some
experimental games. Research Memorandum RM-789, RAND Corporation, Santa M´onica,
1952.
[25] Fr¨obenius, G. ¨
Uber lineare substitutionen und bilineare formen, Crelle’s J. 84 (1878), 1–63,
Doi: 10.1515/crelle-1878-18788403.
[26] Fr¨obenius, G. ¨
Uber vertauschbare matrizen, Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1896
(1896), 601–614.
[27] Fr¨obenius, G. ¨
Uber Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. K. Preuss. Akad.
Wiss. Berlin 1908 (1908), 471–476.
[28] Fr¨obenius, G. ¨
Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. K. Preuss. Akad.
Wiss. Berlin 1909 (1909), 514–519.
[29] Fr¨obenius, G. ¨
Uber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. K. Preuss. Akad.
Wiss. Berlin 1912 (1912), 456–477.
[30] Gauss, C.F. Disquisitiones Arithmeticae, Apud G. Fleischer, Leipzig, 1801.
[31] Gauss, C.F. Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium,
Perthes et Besser, Hamburgo, 1809.
[32] Gauss, C.F. Disquisitio de elementis ellipticis palladis, Commentat. Soc. Regiae Sci. Gott.
Recent. 1(1811), 3–26.
[33] Grcar, J.F. How ordinary elimination became Gaussian elimination, Historia Math. 38
(2011), 163–218, Doi: 10.1016/j.hm.2010.06.003. MR2775854.
[34] Grcar, J.F. Mathematicians of Gaussian elimination, Notices Amer. Math. Soc. 58 (2011),
782–792. MR2839923.
[35] Hamilton, W.R. Lectures on quaternions, Hodge and Smith editors, Dubl´ın, 1853.
[36] Harsanyi, J.C.; Selten, R. A General Theory of Equilibrium Selection in Games, MIT Press,
Cambridge, 1988. MR0956053.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 87
[37] Jacobi, C.G.J. De Formatione et Proprietatibus Determinantium, Crelle’s J. 22 (1841), 285–
318, Doi: 10.1515/crll.1841.22.285.
[38] Jacobi, C.G.J. De Determinantibus functionalibus, Crelle’s J. 22 (1841), 319–359, Doi: 10.
1515/crll.1841.22.319.
[39] Jacobi, C.G.J. De functionibus alternantibus earumque divisione per productum e differentiis
elementorum conflatum, Crelle’s J. 22 (1841), 360–371, Doi: 10.1515/crll.1841.22.360.
[40] Jordan, C. Trait´e des substitutions et des ´equations alg´ebriques, Gauthier-Villars, Par´ıs, 1870.
MR1188877.
[41] Jordan, W. Handbuch der Vermessungskunde, J.B. Metzler, Stuttgart, 1888.
[42] Joseph, G.G. La Cresta del pavo real. Las Matem´aticas y sus ra´ıces no europeas, Editorial
Pir´amide, Madrid, 1996.
[43] Kalm´ar, L. Zur Theorie der abstrakten Spiele, Acta Sci. Math. (Szeged) 4(1928–1929),
65–85.
[44] Kline, M. El pensamiento matem´atico de la Antig¨uedad a nuestros d´ıas, Alianza Editorial,
Madrid, 1992.
[45] K¨onig, D. ¨
Uber eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unendliche, Acta Sci. Math. (Sze-
ged) 3(1927), 121–130.
[46] Kr¨onecker, L. ¨
Uber Schaaren von quadratischen und bilinearen Formen, Monatsber. Akad.
Wiss. Berlin 1874 (1874), 59–76.
[47] Kr¨onecker, L. Vorlesungen ¨uber die Theorie der Determinanten, Teubner, Leipzig, 1903.
[48] Lacroix, S.F. Compl´ement des ´
El´ements d’alg`ebre, a l’usage de l’ ´
Ecole centrale des quatre-
nations, Courcier, Par´ıs, 1804.
[49] Lagrange, J.L. Sur l’attraction des spheroides elliptiques, M´em. Acad. Roy. Sci. Berlin 1773
(1773), 121–148.
[50] Laplace, P.S. Recherches sur le calcul integral et sur le systeme du monde, M´em. Acad. Roy.
Sci. Paris 1772, 2e partie (1772), 267–376.
[51] Leibniz, G.W. Letter to L’Hopital, VI, Hannover, 28 April 1693, en: G.I. Gerhardt (ed.),
Leibnizens mathematische Schriften, Part I, Volume 2, Berlin, 1850, pp. 238-241.
[52] Leontief, W.W. Quantitative input-output relations in the economic system of the United
States, Rev. Econ. Statistics 18 (1936), 105–125, Doi: 10.2307/1927837.
[53] Leontief, W.W. The Structure of the American Economy, 1919-1929, Harvard University
Press, Cambridge, 1941.
[54] Leontief, W.W. Input-Output Economics, Oxford University Press, Nueva York, 1966.
[55] Maclaurin, C. Treatise of Algebra, Millar & Nourse, Londres, 1748.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
88 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales - ´
Angel F. Tenorio
[56] Mirsky, L. An Introduction to Linear Algebra, Oxford University Press, Oxford, 1955.
MR0074364.
[57] Montmort, P.R. Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 2da. edici´on. Jacque Quillau, Par´ıs,
1713.
[58] Myerson, R.B. Game Theory: Analysis of Conflict, Harvard University Press, Cambridge,
1991. MR1107301.
[59] Nash, J.F. Non-cooperative games, Ph.D. Thesis, Princeton University, 1950. MR2938064.
[60] Nash, J.F. Equilibrium points in n-person games, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36 (1950),
48–49, Doi: 10.1073/pnas.36.1.48. MR0031701.
[61] Nash, J.F. Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54 (1951), 286–295, Doi: 10.
2307/1969529. MR0043432.
[62] Newton, I. Arithmeticae Universalis, Universidad de Cambridge, Cambridge, 1707.
[63] Organizaci´on de Naciones Unidas, A system of national accounts, Studies in Methods Series
F, no2, Naciones Unidas, Nueva York, 1993.
[64] Organizaci´on de Naciones Unidas, Handbook of input-output table compilation and analysis,
Studies in Methods Series F, no74, Naciones Unidas, Nueva York, 1999.
[65] Organizaci´on de Naciones Unidas, Handbook of integrated environmental and economic ac-
counting, Studies in Methods Series F, no61, Naciones Unidas, Nueva York, 2003.
[66] Perron, O. Zur Theorie der Matrizen, Math. Ann. 64 (1907), 248–263, Doi: 10.1007/
BF01449896. MR1511438.
[67] Quesnay, F. Le tableau ´economique, 1758. Reimpreso en F. Quesnay, The Economical Table,
University Press of the Pacific, Honolulu, 2004.
[68] Quesnay, F. Analyse de la formule arithm´etique du tableau ´economique de la distribution
des d´epenses annuelles d’une Nation agricole, Journal de l’agriculture, du commerce et des
finances II, 3`eme partie (1766), 11–41.
[69] Rheinboldt, W.C.; Vandergraft, J.S. A Simple Approach to the Perron-Frobenius Theory for
Positive Operators on General Partially-Ordered Finite-Dimensional Linear Spaces, Math.
Comp. 27 (1973), 139–145, Doi: 10.1090/S0025-5718-1973-0325650-4. MR0325650.
[70] Rolle, M. Trait´e d’Algebre, Estienne Michallet, Par´ıs, 1690.
[71] Simpson, T. A Treatise of Algebra, John Nourse, Londres, 1745.
[72] Sylvester, J.J. Additions to the articles: ‘On a new class of theorems’ and ‘On Pascal’s
theorem’, Phil. Mag. 37 (1859), 363–370.
[73] Sylvester, J.J. On involutants and other allied species of invariants to matrix systems, John
Hopkins University Circulars 3(1884), 34–35.
[74] Tucker, A.W. On Jargon: The Prisoner’s Dilemma. A Two Person Dilemma, UAMP Journal
1(1980), 101.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 89
[75] Turnbull, H. The Theory of Determinants, Matrices, and Invariants, Blackie and Sons Ltd.,
Londres, 1928.
[76] Turnbull, H.; Aitken, A. Introduction to the Theory of Canonical Matrices, Blackie & Sons
Ltd., Londres, 1932.
[77] Van Dammem, E.; Furth, D. Game theory and the market, en: P.Borm & H. Peters
(eds.), Chapters in Game Theory, Kluwer Academic Publishers, Dordretch, 2002, pp. 51–81.
MR2026212.
[78] Vandermonde, A.T. M´emoire sur la r´esolution des ´equations, M´em. Acad. Roy. Sci. Paris
1771 (1771), 365–416.
[79] Vandermonde, A.T. M´emoire sur l’´elimination, M´em. Acad. Roy. Sci. Paris 1772, 2e partie
(1772), 516–525.
[80] Von Neumann, J. Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math. Ann. 100 (1928), 295–320, Doi:
10.1007/BF01448847. MR1512486.
[81] Von Neumann, J.; Morgenstern, O. Theory of Games and Economic Behavior, Princeton
University Press, Princeton, 1944. MR0011937.
[82] Weierstrass, K. Zur Theorie der quadratischen und bilinearen formen, Monatsber. Akad.
Wiss. Berlin 1868 (1868), 311–338.
[83] Walras, L. ´
El´ements d’´economie politique pure, Corbaz & Cie., Lausana, 1874.
[84] Weierstrass, K. Zur Determinantentheorie, notas basadas en las lecturas impartidas en
1886/1887 y publicadas p´ostumamente, en J. Knoblauch (ed.), Mathematiche Werke, Vol.
III, Mayer & M¨uller, Berlin, 1903, pp. 271–286.
[85] Zermelo, E. ¨
Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels, en
E.W. Hobson, A.E.H. Love (eds.), Proceedings of the Fifth Congress of Mathematicians,
Vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 1913 , pp. 501–504. MR0403902.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 90–95
A proof of a version of Hensel’s lemma
Una prueba de una versi´on del lema de Hensel
Dinam´erico P. Pombo Jr. (dpombojr@gmail.com)
Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica
Universidade Federal Fluminense
Rua Professor Marcos Waldemar de Freitas Reis, s/no
Bloco G, Campus do Gragoat´a
24210-201 Niteri, RJ Brasil
Abstract
By using a few basic facts, a proof of a known version of Hensel’s lemma in the context
of local rings is presented.
Key words and phrases: local rings, discrete valuation rings, Hensel’s lemma.
Resumen
Usando algunos pocos hechos b´asicos, se presenta una demostraci´on de una versi´on del
lema de Hensel en el contexto de los anillos locales.
Palabras y frases clave: anillos locales, anillos de valoraci´on discretos, lema de Hensel.
1 Introduction
A classical and fundamental result, known as Hensel’s lemma, is discussed in [1], [3], [5], [6] and
[7], for instance. A quite general form of Hensel’s lemma may be found in Chapter III of [2],
although special cases of it may also be very important, as the one valid in the framework of local
rings and presented in Chapter II of [6]. The main purpose of this note is to offer an elementary
proof of the last-mentioned form of Hensel’s lemma, as well as to derive a few consequences of it.
2 A proof of a version of Hensel’s lemma
Definition 2.1 (cf. [2, p. 80]).A commutative ring Rwith and identity element 1 6= 0 is said to
be a local ring if it contains a unique maximal ideal I1, namely, the set of non-invertible elements
of R. If Kis the quotient ring R/I1, which is a field,
λ∈R7−→ ¯
λ∈K
will denote the canonical surjection. For f(X) = a0+a1X+· · · +anXn∈R[X], we will write
¯
f(X) = ¯a0+ ¯a1X+· · · + ¯anXn∈K[X].
Received 29/06/2021. Revised 30/06/2021. Accepted 26/07/2021.
MSC (2010): Primary 12J25, 13F30; Secondary 13H99, 13J10, 13B25.
Corresponding author: Dinam´erico P. Pombo Jr.
A proof of a version of Hensel’s lemma 91
Example 2.1 (cf. [6]).Let Rbe a discrete valuation ring and I1the maximal ideal of R, which
may be written as I1=π R. We have that
I1=π R ⊃I2=π2R⊃ · · · ⊃ In=πnR⊃In+1 =πn+1 R⊃....
is a decreasing sequence of ideals of Rsuch that InI1⊂In+1 for each integer n≥1and
T
n≥1
In={0}.
Example 2.2 (cf. [3]).Let Kbe a field endowed with a non-trivial discrete valuation |·|,
R={λ∈R;|λ| ≤ 1}the ring of integers of (K,|·|)and I1={λ∈R;|λ|<1}the maximal ideal
of R. Let µ∈I1be such that |µ|= sup{|λ|;λ∈I1}. Then
I1=µ R ⊃I2=µ2R⊃ · · · ⊃ In=µnR⊃In+1 =µn+1 R⊃....
is a decreasing sequence of ideals of Rsuch that InI1⊂In+1 for each integer n≥1and
T
n≥1
In={0}.
It may be seen that every discrete valuation ring may be regarded as the ring of integers of a
field endowed with a non-trivial discrete valuation.
Let us recall that, if Xis a non-empty set, a mapping
d:X×X−→ R+
is an ultrametric on Xif the following conditions hold for all x, y, z ∈X:
(a) d(x, y) = 0 if and only if x=y;
(b) d(x, y) = d(y, x);
(c) d(x, y)≤max{d(x, z), d(z, y)}.
By induction,
d(x1, xn)≤max{d(x1, x2), . . . , d(xn−1, xn)}
for n= 2,3, . . . and x1, . . . , xn∈X. And, since max{d(x, z), d(z, y)} ≤ d(x, z) + d(z, y), dis a
metric on X.
We shall present an elementary proof of the following form of Hensel’s lemma [6, p. 43]:
Proposition 2.1. Let Rbe a local ring and I1its maximal ideal, and assume the existence of a
decreasing sequence I1⊃I2⊃ · · · ⊃ In⊃In+1 ⊃.... of ideals of Rsuch that InI1⊂In+1 for
each integer n≥1and T
n≥1
In={0}. Then there exists a translation-invariant ultrametric don
Rsuch that In=λ∈R;d(λ, 0) ≤1
2nfor each integer n≥1(thus (In)n≥1is a fundamental
system of neighborhoods of 0in Rwith respect to the topology defined by d) and the mappings
(λ, µ)∈R×R7−→ λ+µ∈Rand (λ, µ)∈R×R7−→ λµ ∈R
are continuous. Moreover, if the metric space (R, d)is complete and if f(X)∈R[X]is such
that ¯
f(X)admits a simple root θin K, then there exists a unique root λof f(X)in Rsuch that
¯
λ=θ.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 90–95
92 Dinam´erico P. Pombo Jr.
In order to prove Proposition 2.1 we shall need an auxiliary result:
Lemma 2.1. Let (G, +) be a commutative group and H1⊃H2⊃ · · · ⊃ Hn⊃Hn+1 ⊃ · · · a
decreasing sequence of subgroups of Gsuch that T
n≥1
Hn={0}. Then there exists a translation-
invariant ultrametric don Gsuch that Hn=x∈G;d(x, 0) ≤1
2nfor each integer n≥1
(thus (Hn)n≥1is a fundamental system of neighborhoods of 0in Gwith respect to the topology
defined by d) and the mapping
(x, y)∈G×G7−→ x+y∈G
is continuous.
Proof of Lemma 2.1.We shall use a classical argument. Put H0=Gand let g:G→R+be
the mapping given by g(0) = 0 and g(x) = 1
2nif x∈Hn\Hn+1 (n= 0,1,2, . . . ). Obviously,
g(x)>0 if g∈G\{0},g(−x) = g(x) if x∈Gand
Hn=x∈G;g(x)≤1
2n
for n= 0,1,2, . . . . Moreover, g(x+y)≤max{g(x), g(y)}for all x, y ∈G, which is clear if x= 0 or
y= 0. Indeed, if x, y ∈G\{0},x∈Hk\Hk+1 ,y∈H`\H`+1 , with `≥k≥0, then g(x) = 1
2kand
g(y) = 1
2`≤1
2k·But, since H`⊂Hk,x+y∈Hk, and hence g(x+y)≤1
2k= max{g(x), g(y)}.
Therefore the mapping
d:G×G−→ R+,
defined by d(x, y) = g(x−y), is a translation-invariant ultrametric on Gsuch that
Hn=t∈G;d(t, 0) ≤1
2n
for each integer n≥0. Consequently,
x+Hn=t∈G;d(t, x)≤1
2n
if x∈Gand n= 0,1,2, . . . are arbitrary.
Finally, if x0, y0∈Gand n= 0,1,2, . . . are arbitrary,
(x0+Hn)+(y0+Hn)⊂(x0+y0) + Hn,
proving the continuity of the mapping
(x, y)∈G×G7−→ x+y∈G
at (x0, y0).
Now, let us turn to the
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 90–95
A proof of a version of Hensel’s lemma 93
Proof of Proposition 2.1.By Lemma 2.1 there is a translation-invariant ultrametric don R
such that
In=λ∈R;d(λ, 0) ≤1
2n
for each integer n≥1, and the operation of addition in Ris continuous. Moreover, if (λ0, µ0)∈
R×Rand n= 1,2, . . . are arbitrary, the relations λ∈λ0+In,µ∈µ0+Inimply
λµ −λ0µ0=λµ −λ0µ+λ0µ−λ0µ0=µ(λ−λ0) + λ0(µ−µ0)∈In+In⊂In,
proving the continuity of the mapping
(λ, µ)∈R×R7−→ λµ ∈R
at (λ0, µ0).
Now, assume that (R, d) is complete and let f(X),¯
f(X), λ, θ be as in the statement of the
proposition. In order to conclude the proof we shall apply Newton’s approximation method, as
in p. 44 of [6]. Let us first observe that, if h(X)∈R[X] and γ∈R, then h(γ) = ¯
h(¯γ).
To prove the uniqueness, assume the existence of a µ∈Rso that ¯µ=θand f(µ) = 0. Since
¯
λ=θis a simple root of ¯
f(X), there is a g(X)∈R[X] such that f(X) =
(X−λ)g(X) and ¯g(θ)6= 0; thus
0 = f(µ)=(µ−λ)g(µ).
Therefore, since g(µ) = ¯g(θ)6= 0, we conclude that g(µ) is an invertible element of R; hence
λ=µ.
To prove the existence, we claim that there is a sequence (λn)n≥1 in Rso that ¯
λn=θ,
f(λn)∈Inand λn+1 −λn∈Infor each integer n≥1. Indeed, let λ1∈Rbe such that
¯
λ1=θ. Then f(λ1) = ¯
f(θ) = 0, that is, f(λ1)∈I1. Now, let n≥1 be arbitrary, and
suppose the existence of a λn∈Rsuch that ¯
λn=θand f(λn)∈In. Then, for every h∈In,
(λn+h)−λn∈Inand (λn+h) = ¯
λn+¯
h=θ. We shall show the existence of an h∈Inwith
f(λn+h)∈In+1 . In fact, by Taylor’s formula [4, p. 387], there is a ξ∈Rso that
f(λn+h) = f(λn) + hf0(λn) + h2ξ.
And, by hypothesis, h2ξ=h(hξ)∈InIn⊂InI1⊂In+1 . But, since θis a simple root of
¯
f(X), f0(λn) = ( ¯
f)0(θ)6= 0, that is, f0(λn) is an invertible element of R. Thus, by taking
h=−f(λn)(f0(λn))−1∈Inand λn+1 =λn+h, we arrive at λn+1 =θ,f(λn+1)∈In+1 and
λn+1 −λn∈In, as desired.
Finally, f(λn)n≥1converges to 0 in R, because df(λn),0≤1
2nfor n= 1,2, . . . . On the
other hand, for n, ` = 1,2, . . . ,
d(λn+`, λn)≤max{d(λn+`, λn+`−1), . . . , d(λn+1, λn)} ≤ max 1
2n+`−1,..., 1
2n=1
2n,
and hence (λn)n≥1 is a Cauchy sequence in (R, d). By the completeness of (R, d), there is a
λ∈Rfor which (λn)n≥1 converges. Consequently, in view of the continuity of the mappings
(α, β)∈R×R7−→ α+β∈Rand (α, β)∈R×R7−→ αβ ∈R,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 90–95
94 Dinam´erico P. Pombo Jr.
f(λn)n≥1 converges to f(λ); thus f(λ) = 0.
Now, let us consider K=R/I1endowed with the discrete ultrametric d0, given by d0(s, s)=0
and d0(s, t) = 1 if s6=t(s, t ∈K). Since the canonical surjection
λ∈(R, d)7−→ ¯
λ∈(K, d0)
is continuous (¯
I1={0}) and (λn)n≥1 converges to λ, (¯
λn)n≥1 converges to ¯
λ. Therefore
¯
λ=θ.
Corollary 2.1. Let Rbe a discrete valuation ring which is complete under the ultrametric d
given in Proposition 2.1. Let f(X)∈R[X]be such that ¯
f(X)∈K[X]admits a simple root θ.
Then there exists a unique root λof f(X)such that ¯
λ=θ.
Proof. Follows immediately from Proposition 2.1, by recalling Example 2.1.
Remark 2.1. Let (K,| · |)and In(n= 1,2, . . . )be as in Example 2.2. Then e
d(λ, µ) = |λ−µ|
is an ultrametric on K, and hence its restriction to R×Ris an ultrametric on R(which we shall
also denote by e
d). Since, for n= 1,2, . . . ,
λ∈R;e
d(λ, 0) = |λ| ≤ 1
2n=In=λ∈R;d(λ, 0) ≤1
2n,
dbeing as in Proposition 2.1, it follows that e
dand dare equivalent.
Corollary 2.2. Let (K,| · |)and µbe as in Example 2.2, and assume that (K,e
d)is complete. If
f(X)∈R[X]and ¯
f(X)∈K[X]admits a simple root θ, then there is a unique root λof f(X)so
that |λ−ξ|≤|µ|(where ξ∈Rand ¯
ξ=θ).
Proof. Follows immediately from Remark 2.1 and Proposition 2.1.
Corollary 2.3 (cf. [5, p. 16]).Let pbe a prime number, Zp={λ∈Qp;|λ|p≤1}the ring of
p-adic integers and f(X)∈Zp[X]. If there is an a0∈Zpsuch that |f(a0)|p<1and |f0(a0)|p= 1,
then there is a unique a∈Zpsuch that f(a)=0and |a−a0|p≤1
p·
Proof. Since the condition “|f(a0)|<1 ” is equivalent to the condition “ ¯
f(¯a0) = f(a0) = 0 ”, and
the condition “|f0(a0)|p= 1 ” is equivalent to the condition “( ¯
f)0(¯a0) = f0(a0)6= 0”, Theorem
6, p. 391 of [4] guarantees that ¯a0is a simple root of ¯
f(X). Therefore the result follows from
Corollary 2.2.
Example 2.3 (cf. [3, p. 52]).Let pbe a prime number, p6= 2, and let b∈Zpwith |b|p= 1.
If there is an a0∈Zpsuch that |a2
0−b|p < 1, then b=a2for a unique a∈Zpsuch that
|a−a0|p≤1
p·
Indeed, put f(X) = X2−b∈Zp[X]. Then |f(a0)|p=|a2
0−b|p < 1and |f0(a0)|p=
|2a0|p=|2|p|a0|p=|a0|p= 1 (the relation |a2
0−b|p < 1 = |b|p= 1 implies |a0|p2=
|(a2
0−b) + b|p=|b|p= 1). Thus the result follows from Corollary 2.9.
In the same vein one shows that if pis a prime number, p6= 3,c∈Zp,|c|p= 1, and there is
an f0∈Zpsuch that |f3
0−c|p < 1, then c=f3for a unique f∈Zpsuch that |f−f0|p≤1
p·
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 90–95
A proof of a version of Hensel’s lemma 95
References
[1] E. Artin. Algebraic Numbers and Algebraic Functions, American Mathematical Society, Prov-
idence, Rhode Island, 2005.
[2] N. Bourbaki. Commutative Algebra, Hermann and Addison-Wesley, Paris and Reading, Mas-
sachusetts, 1972.
[3] J.W. Cassels. Local Fields, London Mathematical Society Student Texts 3, Cambridge Uni-
versity Press, Cambridge, 1986.
[4] R. Godement. Cours d’algbre, Troisime dition, Enseignement des Sciences, Hermann, Paris,
1966.
[5] N. Koblitz. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Second edition, Springer-
Verlag, Berlin. Heidelberg. New York, 1984.
[6] J. P. Serre. Corps Locaux, Quatrime dition, Actualits Scientifiques et Industrielles 1296,
Hermann, Paris, 1968.
[7] J. P. Serre. A Course in Arithmetic, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 7,
Springer-Verlag, Berlin. Heidelberg. New York, 1985.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 90–95
Divulgaciones Matemáticas Vol. 22 No. 1 (2021), pp. 9698
Problemas y Soluciones
Problems and Solutions
Editor: José Heber Nieto (
jhnieto@gmail.com
)
Departamento de Matemática, Facultad Exp. de Ciencias
Universidad del Zulia, Maracaibo. Venezuela.
Los problemas apropiados para esta sección son aquellos que puedan ser abordados por un
estudiante de matemática no graduado sin conocimientos especializados. Problemas abiertos
conocidos no son aceptables. Se preeren problemas originales e interesantes. Las soluciones
y los problemas propuestos deben dirigirse al editor por correo electrónico, en español o
inglés, a la dirección arriba indicada (preferiblemente como un archivo fuente en L
A
T
EX). Las
propuestas deben acompañarse de la solución, o al menos de información suciente que haga
razonable pensar que una solución puede ser hallada.
Appropriate problems for this section are those which may be tackled by undergradu-
ate math students without specialized knowledge. Known open problems are not suitable.
Original and interesting problems are preferred. Problem proposals and solutions should
be e-mailed to the editor, in Spanish or English, to the address given above (preferably as
a L
A
T
EX source le). Proposals should be accompanied by a solution or, at least, enough
information on why a solution is likely.
1 Problemas propuestos
Los tres problemas propuestos a continuación se plantearon en la Olimpiada Matemática de
Centroamérica y el Caribe 2020, organizada por Panamá y realizada de manera virtual.
148. Se tienen monedas idénticas distribuidas en varias pilas con una o más monedas en cada
pila. Una
operación
consiste en tomar dos pilas, con una cantidad total de monedas par
entre ellas, y repartir sus monedas entre las dos pilas de modo que ambas terminen con la
misma cantidad. Una distribución es
nivelable
si es posible, mediante 0 o más operaciones,
lograr que todos los pilas queden con el mismo número de monedas. Determine todos los
enteros positivos
n
tales que, para todo entero positivo
k
, cualquier distribución de
nk
monedas en
n
pilas es nivelable.
149. Sea
P(x)
un polinomio con coecientes reales no negativos. Sea
k
un entero positivo y sean
x1
,
x2
,. . .
xk
números reales positivos tales que
x1x2···xk= 1
. Demuestre que
P(x1) + P(x2) + ··· +P(xk)≥kP (1).
150. Se dice que un entero positivo
N
es
interoceánico
si su factorización prima
N=px1
1px2
2···pxk
k
satisface que
x1+x2+··· +xk=p1+p2+··· +pk.
Encuentre todos los números interoceánicos menores que 2020.
Problemas y Soluciones 97
2 Soluciones
Recordamos que no se han recibido soluciones a los problemas 2425, 2728, 44, 54, 79, 84
91, 94100, 108113, 116, 118123, 126, 128129, 133143 y 145147. Invitamos a los lectores a
enviarnos sus soluciones para esos problemas.
59. [
10
(1) (2002) p. 86.] Hallar el máximo valor del número real
m
, tal que sea cierta la siguiente
armación:
Si
a
,
b
,
c
y
d
son números enteros positivos tales que,
c>d
a+b=c+d
ab = 2cd
entonces
c/d > m
.
Solución del editor:
El máximo es
3+√8
. Supongamos que
a
,
b
,
c
y
d
cumplen las condiciones
y pongamos
x=c−a=b−d
. Entonces
(c−x)(d+x) = ab = 2cd
, de donde
x2−(c−d)x+cd =
0
y
(c−d)2−4cd ≥0
, o sea
c2−6cd +d2≥0
,
(c−3d)2−8d2≥0
,
(c/d −3)2≥8
,
|c/d −3| ≥ √8
, y como
c>d
debe ser
c/d > 3 + √8
. Para ver que
3 + √8
es el valor mínimo
consideremos su desarrollo en fracción continua simple, a saber
[5,1,4,1,4, . . .]
, y sean
cn/dn
los convergentes. Entonces
c1= 5
,
d1= 1
,
c2= 6
,
d2= 1
y se tienen las recurrencias
c2k=c2k−1+c2k−2
,
d2k=d2k−1+d2k−2
,
c2k+1 = 4c2k+c2k−1
,
d2k+1 = 4d2k+d2k−1
.
De aquí se deduce fácilmente que
d2k=c2k−2
y que
c2k= 6c2k−2+c2k−4
. Como
c2= 6
,
c3= 4 ·6 + 5 = 29
y
c4= 6 + 29 = 35
, vemos que
c2
es par,
c4
es impar y de la
recurrencia
c2k= 6c2k−2+c2k−4
se sigue que los
c2k
son alternadamente pares e impares.
Luego
a2k= (c2k+c2k−2+ 1)/2
y
b2k= (c2k+c2k−2−1)/2
son enteros positivos y
a2k+b2k=c2k+c2k−2=c2k+d2k
. La condición
a2kb2k= 2c2kd2k
equivale a
(c2k+c2k−2+ 1)(c2k+c2k−2−1) = 8c2kc2k−2,
o sea
(c2k+c2k−2)2−1−8c2kc2k−2= 0,
que para
k= 2
se verica. Asumiendo que se cumple para
k
, para
k+ 1
se tiene
(c2k+2 +c2k)2−1−8c2k+2c2k= (7c2k−c2k−2)2−1−8(6c2k−c2k−2)c2k
= 49c2
2k−14c2kc2k−2+c2
2k−2−1−48c2
2k+ 8c2k−2c2k
=c2
2k−6c2kc2k−2+c2
2k−2−1
= (c2
2k+c2k−2)2−8c2kc2k−2−1=0.
Esto muestra que hay una sucesión innita de números
c2k
,
d2k
,
a2k
,
b2k
que cumplen las
condiciones y tales que
c2k/d2k→3 + √8
cuando
k→ ∞
.
69. [
11
(1) (2003) p. 84.] Sea
ABC
un triángulo acutángulo. Sean
D
,
E
y
F
los pies de las
alturas y
X
,
Y
, y
Z
los puntos medios de los lados
BC
,
AC
y
AB
, respectivamente. Sea
H
el punto de intersección de las alturas. Supóngase que
H
no se encuentra en el interior del
Divulgaciones Matemáticas Vol. 22 No. 1 (2021), pp. 9698
98 José H. Nieto (ed.)
triángulo
XY Z
. Demostrar que por lo menos el área de uno de los triángulos
AEF
,
BDF
,
CDE
es menor o igual que
1/9
del área del triángulo
ABC
.
Solución del editor:
H
debe encontrarse en el semiplano limitado por
Y Z
que contiene a
A
, o en el limitado por
XZ
que contiene a
B
, o en el limitado por
XY
que contiene a
C
.
Supongamos que se da el primer caso (los otros son similares). Consideremos el triángulo
isósceles
BAP C
con
∠BP C =∠BAC =α
y sea
K
el ortocentro de
BP C
. Es fácil ver que
P K =AH ≤HD ≤KX
.
Como
∠BP X =α/2
y
∠BKX = 90◦−α/2
se tiene
cot α/2 = XP
XB ≤2XQ
XB = 2 cot(90◦−α/2) = 2 tan α/2,
de donde
tan2α/2≥1/2
. Luego
cos α=1−tan2α
2
1 + tan2α
2
=−1 + 2
1 + tan2α
2≤ −1 + 2
1 + 1
2
=1
3.
Finalmente
[AEF ] = 1
2AE ·AF sen α=1
2AC cos α·AB cos αsen α= [ABC] cos2α≤1
9[ABC].
Divulgaciones Matemáticas Vol. 22 No. 1 (2021), pp. 9698
Guía para los Autores
Divulgaciones Matemáticas
es una revista arbitrada que considera para su publicación
trabajos inéditos de investigación, en todas las áreas de la Matemática y sus aplicaciones, historia
o enseñanza. Contribuciones adecuadas trabajos de investigación, de divulgación e históricos y
de enseñanza matemática. Se presta especial atención a los temas tratados en la reunión anual e
itinerante de las
Jornadas Venezolanas de Matemáticas
celebradas en Venezuela. Además,
contempla una sección de problemas y soluciones, la cual presenta problemas que puedan ser
abordados por un estudiante de matemática no graduado, sin conocimientos especializados.
El primer requisito para que un artículo sea publicable es su corrección matemática. En
segundo lugar, el estilo expositivo debe ser atrayente y lo más uido y organizado que sea
posible. En los trabajos de investigación se tomarán en cuenta la relevancia y originalidad de
los resultados obtenidos. El tercer requisito para que el cuerpo editorial de la revista acepte
un artículo, para someterlo a evaluación y posible publicación, es que el mismo debe estar
elaborado en LaTeX, utilizando una plantilla predenida por la revista, se le pide a los au-
tores respetar las instrucciones internas indicadas en la plantilla mencionada. El archivo fuente
(.tex) y una versión en formato .dvi, .pdf o .ps (imprimible) debe enviarse por correo electrónico a
divulgaciones@demat-fecluz.org
. Si el artículo contiene guras, éstas deben adjuntarse como
archivos separados en formatos .png o .jpg.
Los lenguajes aceptados por la revista son español e inglés. Al someter un artículo, el autor
debe remitir una carta en la que se haga constar que el artículo que se está sometiendo no ha
sido publicado o sometido a otra revista de forma total o parcial. Dicha carta debe contener los
siguientes datos: Nombre completo del autor o autores, título del artículo, rma del autor que
somete el artículo (autor de correspondencia), y declaración expresa de conformidad de los demás
autores (cuando exista más de un autor).
El autor, o autores, en el mensaje de sometimiento del manuscrito deben indicar la sección de
la revista en la que sugiera debe ser incluido su trabajo, a saber: artículo de investigación, artículo
de divulgación e histórico, artículo de enseñanza matemática. Además, el autor debe suministrar
los datos (nombre, correo, institución donde laboran) de tres especialistas en el área del trabajo
sometido. Los artículos deben organizarse en las siguientes secciones: Identicación, Resumen,
Abstract, Introducción, Desarrollo, Agradecimiento (opcional), y Referencias bibliográcas (usar
el estilo ejemplicado en la plantilla).
Identicación.
Esta debe incluir: Título completo del trabajo en castellano e inglés; Título
corto para el trabajo; Nombre completo y dirección completa del autor o autores; Aliación
institucional; Dirección electrónica; Dos clasicaciones, una primaria y otra secundaria, de
cinco caracteres de la AMS (MSC 2010).
Resumen:
Texto de no más de doscientas palabras que simplique en esencia lo que se
presenta a lo largo del trabajo. Debe tomar en cuenta aspectos como: Objetivos del trabajo;
Metodología utilizada; Resultado. A continuación del resumen se deben incluir de tres a
seis palabras o frases claves.
Abstract:
Una traducción al idioma inglés de todo lo expuesto en el resumen.
Cabe resaltar que
LA REVISTA SOLO PROCESARÁ LOS ARTÍCULOS QUE
CUMPLAN CON TODOS LOS REQUISITOS ANTES EXPUESTOS
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lished research papers in all branches of mathematics and its applications, history or teaching.
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ical reviews. Special attention is paid to those topics covered by the annual itinerant meeting
Jornadas Venezolanas de Matemáticas
held in Venezuela. In addition, the journal contem-
plates a section of problems and solutions, which contains problems that can be addressed by
undergraduate students of mathematics without expertise.
Mathematical correctness is the rst requirement for an article to be published. In second
place, the exposition style should be attractive and most uid and organized as possible. For
research works the relevance and originality of the results will be taken into account. The third
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cal papers, mathematics teaching papers. In addition, the author must provide the data (name,
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Identication
. This should include: Full title in Spanish and English; short title for the
article; Full name and full address of author or authors; Institutional aliation; Electronic
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Abstract:
Text of not more than two hundred words simplify essentially what is pre-
sented throughout the work. You should take into account aspects such as work objectives;
Methodology used; Result. Following the abstract should include three to six key words or
phrases.
Resumen:
A Spanish language translation of the above in the abstract.
Should be noted that
THE JOURNAL WILL QNLY PROCESS ARTICLES THAT
MEET ALL THE REQUIREMENTS MENTIONED ABOVE
.
DIVULGACIONES MATEMÁTICAS, Vol. 22, No. 1
Se terminó de editar en Julio del 2021
en el Departamento de Matemática (DEMAT)
Maracaibo - Venezuela.
La Universidad del Zulia
AUTORIDADES
Judith Aular de Durán
Rector
Clotilde Navarro
Vicerrectora Académica
Marlene Primera Galué
Vicerrector Administrativa
Ixora Gómez
Secretaria de LUZ
Facultad Experimental de Ciencias
Beatríz González
Decana (E)
Tobías Rosas Soto
Director (E) del Departamento de Matemática
Divulgaciones Matemáticas
Vol. 22, No. 1, 2021
Contenido (Contents):
Artículos de Investigación
(Research papers)
Caputo and Caputo-Fabrizio fractional differential masks for images enhancement.
Máscaras diferenciales fraccionarias de Caputo y Caputo-Fabrizio para la mejora de
imágenes.
Gustavo Mboro, Leandro Lau, Ana Morales 1-21
A note on the Banach contraction principle in b-metric spaces.
Una nota sobre el principio de contracción de Banach en b-espacios métricos.
Mohamed Akkouchi 22-30
The graph of a base power b, associated to a positive integer number.
El grafo potencia de base b, asociado a un entero positivo.
Daniel Brito, Oscar Castro, Lope Marín 31-39
Influence of physical exercise on the strengthening of immunity. Mathematical model.
Influencia del ejercicio fı&sico en el fortalecimiento de la inmunidad. Modelo matemático.
Annia Ruiz, Daniela Rodríguez, Sandy Sánchez, Yuri Alcántara, Adolfo Arsenio,
Isabel Martén, Antonio Ruiz 40-51
A note on some forms of continuity.
Una nota sobre algunas formas de continuidad.
Zanyar Ameen 52-63
Artículos de Divulgación e Históricos
(Expository and Historical)
Un breve recorrido histórico por el álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la
economía.
A short tour along the history of linear algebra and some of its applications to economics.
Ana Martín, Concepción Paralera, Ángel Tenorio 64-89
A proof of a version of Hensel’s lemma.
Una prueba de una versión del lema de Hensel.
Dinamrico Pombo 90-95
Problemas y Soluciones
(Problems and Solutions)
José H. Nieto S. (Editor). 96-98