Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal
y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa
A short tour along the history of linear algebra and some of its applications to
economics
Ana M. Mart´ın-Caraballo (ammarcar@upo.es)
Concepci´on Paralera-Morales (cparmor@upo.es)
´
Angel F. Tenorio (aftenvil@upo.es)
Depto. de Econom´ıa, M´etodos Cuantitativos e Historia Econ´omica
Universidad Pablo de Olavide
Sevilla - Espa˜na
Resumen
En el presente art´ıculo trataremos diversos t´opicos del ´algebra lineal (y m´as concreta-
mente del ´algebra matricial) tanto desde una perspectiva hist´orica en la que se mostrar´a
la evoluci´on de diversos conceptos como desde su aplicaci´on a la resoluci´on de problemas
econ´omicos. En relaci´on al recorrido hist´orico del ´algebra lineal, expondremos los inicios de
la misma y los principales hitos alcanzados en relaci´on al estudio de las matrices, aunque
no seremos exhaustivos por motivo de extensi´on. Con respecto al uso del ´algebra lineal para
resolver cuestiones econ´omicas, mostraremos algunas de las aplicaciones m´as habituales y
tradicionales a este respecto, haciendo especial ´enfasis en el an´alisis input-output y la teor´ıa
de juegos para la toma de decisiones.
Palabras y frases clave: ´algebra matricial; aplicaciones a la econom´ıa; an´alisis input-
ouput; teor´ıa de juegos; introducci´on hist´orica.
Abstract
This article deals with several topics in the field of Linear Algebra (and more concretely
Matrix Algebra), by considering both its application to solving economic problems and a
historic approach showing the evolution of such concepts. Regarding the historic tour of
Linear Algebra, we explain the first steps and the main milestones in the classical research
on matrices, although we are not being exhaustive due to reasons of length. With respect to
the use of Linear Algebra to solve economic questions, we show some of the most traditional
and usual applications, emphasizing Input-Output Analysis and Game Theory, the latter for
Decision Making, as its most characteristic examples.
Key words and phrases: matrix algebra; applications to economics; input-output
analysis; game theory; historic introduction.
Recibido 11/03/21. Revisado 26/03/21. Aceptado 13/06/21.
MSC (2010): Primary 15-03; Secondary 01A50; 01A55.
Autor de correspondencia:
´
Angel F. Tenorio
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1 Introducci´on
Al adentrarnos en el ´ambito de la aplicaci´on de las matem´aticas a otras ciencias, podemos encon-
trarnos con situaciones cuya modelizaci´on consiste en la resoluci´on de ecuaciones e inecuaciones
de primer grado o lineales. Es entonces cuando el ´algebra lineal se convierte en una herramienta
que facilita y permite dar respuesta al problema matem´atico asociado a la situaci´on del mundo
real. La validez del ´algebra lineal para tratar estas cuestiones se basa en que los sistemas de
ecuaciones lineales son expresables matricialmente y, gracias a esta conversi´on, pueden aplicarse
posteriormente m´ultiples procedimientos. En consecuencia, el tratamiento y resoluci´on de sis-
temas lineales, matrices y determinantes (que se obtienen de ellos) se convierte en pieza clave
para la resoluci´on de problemas (por ejemplo, aquellos de tipo num´erico o relativos a ecuaciones
diferenciales) que modelizan situaciones del mundo real que nos rodea.
En el presente art´ıculo, mostraremos c´omo el inter´es y (nos atrever´ıamos a decir) la necesidad
de resolver problemas algebraicos basados en ecuaciones lineales aparece ya en los albores de
nuestra historia, pudi´endose encontrar m´ultiples ejemplos de su uso en los textos matem´aticos
m´as antiguos existentes. Como indican Kline [44] y Joseph [42], las tablillas cuneiformes de la
Antigua Babilonia (que datan del a˜no 3000 a.C.), los papiros Rhind y moscovita (entre el a˜no
2000 y el 1500 a.C.) o los Nueve Cap´ıtulos sobre el Arte de las Matem´aticas (hacia el s. X a.C.)
contienen m´ultiples ejemplos de resoluci´on de problemas pr´acticos de ´algebra lineal para resolver
cuestiones que interesaban en esta cultura, especialmente cuestiones con un fuerte componente
econ´omico.
A este respecto, Fedriani et al. [23] realizaron un estudio sobre c´omo los sistemas de nu-
meraci´on hab´ıan ido apareciendo a lo largo de la historia en base a las necesidades econ´omicas
existentes en cada civilizaci´on y c´omo dichas necesidades generaron diferencias significativas en
sus respectivos sistemas como pueden ser la aparici´on de diferentes conceptos num´ericos y de
distintos niveles de representaci´on num´erica entre otras.
Pero el ´algebra lineal no solo permite modelizar situaciones de ´ındole econ´omico, sino que
much´ısimas situaciones de otras ramas del conocimiento pueden ser modelizadas y tratadas me-
diante los objetos y resultados propios de este campo. Sin remontarnos al pasado y tocando
temas de mayor actualidad, como son las cuestiones relacionadas con la inform´atica, cualquier
lenguaje de programaci´on trata los datos como ‘arrays’ o, lo que es lo mismo, como tablas con un
determinado n´umero de filas y columnas; y que, por tanto, son modelizables matem´aticamente
por medio de vectores o matrices (seg´un tengan m´as de una fila y una columna). Del mismo
modo, cualquier matriz puede verse como una transformaci´on que permite codificar y decodificar
la informaci´on que se env´ıa por un canal de comunicaci´on. Estar´ıamos hablando de la teor´ıa de
c´odigos lineales, en la que incluso se podr´ıan detectar y corregir los errores que se cometen al
transmitir la informaci´on anterior por dicho canal por medio de unas matrices especiales llamadas
de Hadamard. La detecci´on y correcci´on de errores en la informaci´on transmitida es esencial para
la transmisi´on de im´agenes y documentos por Internet.
Un tercer ejemplo m´as geom´etrico (y con m´ultiples aplicaciones tanto al tratamiento de imagen
por ordenador como a la rob´otica) se basa en el hecho que todos los movimientos en el espacio
n-dimensional pueden representarse (y por tanto traducirse) como matrices cuadradas invertibles.
Ya que el ´algebra lineal es una disciplina matem´atica que abarca un considerable n´umero de
nociones y resultados, el presente art´ıculo va a centrarse en la parcela correspondiente al ´algebra
matricial. M´as concretamente, comenzaremos exponiendo c´omo se origina el concepto de matriz
y c´omo van apareciendo sus operaciones esenciales; para continuar, en una segunda etapa, con el
estudio de sus aplicaciones a diversos problemas de ´ındole econ´omica. Por tanto, nuestro objetivo
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es doble: por un lado, recorrer la evoluci´on hist´orica del ´algebra matricial desde sus or´ıgenes; y por
el otro, explicar algunos de los t´opicos econ´omicos que pueden tratarse con el ´algebra matricial.
Finalizaremos el art´ıculo indicando algunas conclusiones sobre la aplicaci´on del ´algebra matricial
al estudio de problemas econ´omicos tanto desde un punto de vista investigador como docente.
2 Evoluci´on hist´orica
En esta secci´on expondremos c´omo fueron surgiendo las distintas nociones pertenecientes al
´algebra matricial en su correspondiente contexto hist´orico. M´as concretamente, primero veremos
su aparici´on en base al tratamiento matem´atico que se ven´ıa realizando en algunas de las culturas
cl´asicas antiguas (como por ejemplo la Antigua India o China) y, hecho esto, comentaremos
c´omo se trabajaron y formalizaron dichos conceptos en las denominadas matem´aticas modernas,
procurando mostrar que dicha formalizaci´on requiri´o de un trayecto que dur´o varios siglos hasta
su culminaci´on a finales del s. XIX.
2.1 Matem´aticas antiguas
El uso de las matrices (aunque sin usar esa terminolog´ıa que aparecer´a a mediados del s. XIX) en
diversas civilizaciones cl´asicas de la antigedad puede encontrarse en la resoluci´on y tratamiento de
algunos de los problemas cl´asicos que se expon´ıan en los documentos de esa ´epoca. No obstante,
debe tenerse en cuenta que en ninguno de ellos se hace un desarrollo matem´atico formal de las
nociones tratadas, sino que se expon´ıan procedimientos aplicados a un problema concreto como
gu´ıa para resolver problemas similares. Debe tenerse en cuenta que la primera aproximaci´on a
un cuerpo matem´atico cerrado con axiomas, definiciones y proposiciones no tendr´a lugar hasta
que Euclides elabore su Elementos hacia el a˜no 300 a.C., aunque no aparecen ni conceptos ni
resultados relativos al ´algebra lineal, sino geom´etricos o pertenecientes a la teor´ıa de n´umeros.
2.1.1 India
El matem´atico ´arabe Halayudha realiz´o un comentario en el siglo X en relaci´on a la obra de otro
matem´atico indio llamado Pingala, que vivi´o en la zona que actualmente conforma el estado de
Kerala. Aunque se ha situado a Pingala en el siglo VII a.C., la tradici´on hind´u afirmaba que ´el
era el hermano menor del gran gram´atico indio Panini que vivi´o en el s. V a.C., siendo este el
siglo en el que finalmente se le ubic´o.
Pingala fue qui´en formul´o la primera descripci´on conocida de un sistema de numeraci´on
binario, describiendo este sistema en base a la lista de m´etricas v´edicas y las s´ılabas cortas y largas.
En su obra tambi´en pueden encontrarse las ideas b´asicas del m¯atr¯a-meru (que posteriormente se
denominar´a sucesi´on de Fibonacci) y el meru-pr¯ast¯ara (el conocid´ısimo tri´angulo de Pascal o de
Tartaglia). Pero eso no es todo, ya que como puede verse en Joseph [42], dar´ıa una descripci´on
de c´omo formar una matriz.
Debe tenerse en cuenta que, para la Antigua India, el ´algebra consist´ıa en las actividades
aritm´eticas y computacionales, no en la detecci´on de patrones deductivos o procedimientos t´ecni-
cos. En relaci´on al ´algebra lineal, se dispon´ıan de reglas para resolver las ecuaciones lineales y
cuadr´aticas y los sistemas de las primeras. Solo se denominaba inc´ognita a la primera en la
ecuaci´on, recibiendo las restantes nombres de colores (negro, azul, amarillo, etc.) y us´andose
iniciales de palabras como s´ımbolos. Esto llevaba a disponer de una simbolog´ıa poco extensa
pero muy clarificadora. Aunque los problemas y sus resoluciones se expresaban usando un estilo
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quasi-simb´olico e indicando los pasos que se iban realizando, hay que indicar que se carec´ıa de
cualquier tipo de justificaci´on sobre la validez de los m´etodos de resoluci´on empleados.
En el a˜no 628, Brahmagupta (598–665) escribi´o el Brahma-sphuta-siddhanta (que traducido
vendr´ıa a ser La ciencia perfeccionada de Brahma). El decimoctavo libro de esta obra estaba
dedicado al
´
Algebra y a la resoluci´on de ecuaciones indeterminadas. Posteriormente Bhaskara
(1114–1185) escribir´ıa un libro titulado Siddh¯anta Shiromani (que podr´ıa traducirse como Corona
o Joya de los Tratados) cuya segunda parte se denominaba Bijaganita (cuya traducci´on ser´ıa
Matem´aticas por medio de semillas o algoritmos) y estaba centrado en la aplicaci´on de algoritmos
de resoluci´on para ecuaciones lineales y cuadr´aticas y de sus sistemas.
2.1.2 China
En esta civilizaci´on tampoco aparecer´ıa el nombre de matriz, pero s´ı su concepto tal y como
atestiguar´ıa la aparici´on de un cuadrado m´agico 3 × 3 hacia el a˜no 650 a.C.
La obra clave de las matem´aticas en la Antigua China es el Jiu Zhang Suan Shu (o los Nueve
Cap´ıtulos sobre el Arte de las Matem´aticas). Era un texto que recopilaba todo el conocimiento
matem´atico existente en China entre los siglos X y I a.C., aunque la primera versi´on conservada
del texto data del a˜no 179 d.C. Desafortunadamente, ni su autor´ıa ni su fecha de composici´on son
conocidas, existiendo teor´ıas que los sit´uan en la ´ultima dinast´ıa Chin o en la primera dinast´ıa
Han (s. I a.C.). El libro se estructuraba como sigue: tras plantearse el enunciado de un problema,
se enunciaba la soluci´on del mismo seguida de una explicaci´on sobre el m´etodo de resoluci´on
empleado. Dicho m´etodo podr´ıa ir desde una regla general hasta una secuencia de operaciones
sin justificaci´on alguna. En el a˜no 263 d.C., el matem´atico y fil´osofo Liu Hui (circa 220–circa 280)
realiz´o una serie de comentarios a las explicaciones que se recog´ıan en el libro y que tienen tanto
valor como la obra original comentada. En los 246 problemas que se recogen en los nueve cap´ıtulos
de los que se compone la obra, se recoge todo el conocimiento matem´atico chino de la ´epoca,
incluidos los relativos a la resoluci´on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Concretamente, el
cap´ıtulo octavo, titulado Fang Cheng (que puede traducirse como M´etodo de las Tablas), contiene
18 problemas de resoluci´on de sistemas de ecuaciones simult´aneas con dos o tres inc´ognitas e
incluye el primer texto en el que se hace uso de las matrices para resolver sistemas lineales.
El m´etodo mostrado para resolver sistemas de ecuaciones lineales es esencialmente el que
Gauss desarrollar´ıa mil quinientos a˜nos despu´es y que nosotros utilizamos actualmente. Usando
la notaci´on matricial del sistema A · x = b, se realizaban transformaciones por columnas para
obtener otro equivalente D · x = b, con D una matriz triangular superior. Hay que destacar que
el uso de estas transformaciones obligaron a la introducci´on del concepto de n´umero negativo y
de la regla cheng-fu (m´as-menos) para operar con ellos.
El cap´ıtulo s´eptimo, titulado Ying Buzu (que vendr´ıa a significar demasiado y no suficiente),
consiste en 19 problemas cuya resoluci´on resulta ser un caso especial de la regla de Cramer para
dos ecuaciones con dos inc´ognitas. Es decir, la cultura china introdujo el concepto de determinante
en la historia y lo hizo unos dos mil a˜nos antes de su descubrimiento por el matem´atico japon´es
Seki Kowa (circa 1639–1708) en su obra Kai Fukudai no Hˆo (cuya traducci´on ser´ıa M´etodo
de resoluci´on de problemas disimulados) de 1683. No ser´ıa hasta diez a˜nos despu´es, en 1693,
que el matem´atico y fil´osofo alem´an Gottfried Willhelm Leibniz (1646–1716) llegara tambi´en a
definir el concepto de determinante en la matem´atica europea y se le atribuyese hist´oricamente
su descubrimiento.
Volviendo a las matem´aticas chinas y avanzando hasta la Edad Media, Zhu Shijie (circa 1260–
circa 1320) introdujo una serie de m´etodos algebraicos generales y perfeccion´o la simbolog´ıa
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empleada, usando la exclusi´on sucesiva de inc´ognitas en su obra Siyuan Yujian (que significa
El espejo de jade para los cuatro elementos) fechada en 1303. En su obra, las inc´ognitas se
simbolizaban mediante los cuatro elementos de la cultura china: cielo, tierra, hombre y objeto.
Su m´etodo se basaba en el uso del tian yuan (o m´etodo de la inc´ognita celeste), que simplemente
consist´ıa en la Regla de Ruffini para resolver ecuaciones; regla que ser´ıa introducida por Horner
(1786–1837) en las matem´aticas europeas medio siglo despu´es de la obra antes referida.
2.2 Matem´aticas modernas
Durante los siglos XVIII y XIX, buena parte de los principales matem´aticos europeos tomaron
parte en el desarrollo y formalizaci´on de los determinantes y sus propiedades. En el contexto de
las matem´aticas modernas, se considera mayoritariamente que la teor´ıa de los determinantes se
origin´o con el matem´atico alem´an Gottfried Willhelm Leibniz (1646–1716), que utiliz´o los deter-
minantes (aunque llam´andolos resultantes) en 1693 [51] para resolver los sistemas de ecuaciones
lineales. Como se indic´o anteriormente, el matem´atico japon´es Seki Kowa hab´ıa introducido en
el wasan (nombre de las matem´aticas en Jap´on durante el periodo Tokugawa) gracias a su obra
de 1683, no solo m´etodos basados en tablas como en la matem´atica china que ya hemos comen-
tado, sino que tambi´en introdujo el concepto y los m´etodos generales de c´alculo de la noci´on de
‘determinante’. Concretamente, trabaj´o con determinantes de orden menor o igual que 5 y los
utiliz´o para la resoluci´on de ecuaciones, aunque no para sistemas de ecuaciones lineales.
Ser´ıa en 1748 cuando un matem´atico escoc´es, disc´ıpulo de Newton, llamado Colin Maclaurin
(1698–1746) publicar´ıa su libro Treatise of Algebra [55] y, en el cap´ıtulo XI, aparecer´ıa la resoluci´on
habitual de las ecuaciones lineales simult´aneas mediante el m´etodo de eliminaci´on de inc´ognitas.
En esta misma obra, pero en su cap´ıtulo XII, Maclaurin describir´ıa la soluci´on alternativa de
estos sistemas mediante determinantes y que consiste en la denominada Regla de Cramer, a
quien Maclaurin atribuy´o la regla que reproduc´ıa en su libro y de la que posiblemente se tendr´ıa
conocimiento desde 1730. Maclaurin solo prob´o en su obra la regla de Cramer para sistemas
lineales de orden 2 × 2 y 3 × 3, dejando indicado c´omo habr´ıa que proceder en orden 4 × 4.
Ser´ıa dos a˜nos despu´es, en 1750, cuando el propio Gabriel Cramer (1704–1752) publicar´ıa este
m´etodo de resoluci´on para sistemas lineales de orden n × n en el ap´endice de su tratado de
geometr´ıa titulado Introduction `a l’analyse des lignes courbes alg´ebriques [20], aunque sin incluir
prueba alguna del resultado. Con las obras de Maclaurin y Cramer, tiene lugar hist´oricamente
el pistoletazo de salida para la publicaci´on de trabajos sobre determinantes de manera regular y
continuada.
Como curiosidad hay que indicar que en la obra Artis magnae, sive de regulis algebraicis
(m´as conocida como Ars Magna [11]) del humanista italiano Gerolamo Cardano (1501-1576),
publicada en 1545, aparece una regla para la resoluci´on de sistemas lineales de dos ecuaciones con
dos inc´ognitas. Esta regla, que denomin´o ‘regula de modo’, coincide en lo esencial con los c´alculos
correspondientes a la regla de Cramer de la que hemos hablado anteriormente y que aparece
unos dos siglos despu´es. Sin embargo, Cardano no dar´ıa una definici´on formal de determinante
ni introducir´ıa un m´etodo de c´alculo u objeto que se pueda identificar con dicha noci´on.
En 1764 [3], el matem´atico franc´es
ˆ
Etienne B´ezout (1730–1783) introducir´ıa m´etodos para el
c´alculo de determinantes al igual que har´ıa el matem´atico franc´es Alexandre-Th´eophile Vander-
monde (1735–1796) en su obra M´emoire sur l’´elimination, fechada en 1772 [79]. No obstante, el
famoso determinante que le debe su nombre solo aparecer´ıa expl´ıcitamente en M´emoire sur la
r´esolution des ´equations de 1771 [78]. Tambi´en en 1772, el matem´atico, astr´onomo y f´ısico franc´es
Pierre-Simon Laplace (1749–1827) generalizar´ıa los trabajos de B´ezout, Vandermonde y Cramer,
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llegando a afirmar que los m´etodos introducidos por Cramer y B´ezout eran impracticables. La
obra en cuesti´on en la que llevar´ıa a cabo esta tarea se denomin´o Recherches sur le calcul integral
et sur le systeme du monde [50], en la que (adem´as de estudiar las ´orbitas de los planetas inte-
riores) discuti´o la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de determinantes
(a los que tambi´en denomin´o resultantes tal y como hab´ıa hecho Leibniz previamente, pero des-
conocedor de su trabajo), aunque sin llegar a realizar los c´alculos. En esa misma obra, Laplace
tambi´en introdujo el desarrollo general por una fila o columna de un determinante por medio de
la suma ponderada alternada de menores del determinante de partida y que hoy denominamos
desarrollo de Laplace.
Un a˜no despu´es, en 1773 [49], el matem´atico y astr´onomo franc´es Joseph-Louis de Lagrange
(1736–1813) desarroll´o la teor´ıa de las matrices de orden 3 × 3, demostrando muchas de las pro-
piedades de estas matrices. Tambi´en en esta obra se interpret´o por primera vez un determinante
como el volumen de un tetraedro (concretamente el formado por el origen de coordenadas y otros
tres puntos). Hay que tener en cuenta que Lagrange realiz´o su estudio de manera independiente
y que nunca lleg´o a establecer relaci´on entre su investigaci´on y la de Laplace y el resto de los
matem´aticos franceses que fueron coet´aneos suyos y que trabajaron con determinantes y matrices.
Hemos de entrar en el siglo XIX para encontrarnos por primera vez con el t´ermino ‘deter-
minante’, que ser´ıa introducido por el matem´atico y f´ısico alem´an Johann Carl Friedrich Gauss
(1777–1855) en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicada en 1801 [30]. No obstante, el objeto
al que originalmente llam´o determinante no coincide con el que disfruta hoy d´ıa de ese nombre,
sino que se usaba para una expresi´on del discriminante de una forma cuadr´atica expresada en
relaci´on a un cierto m´odulo y lo denominaba de este modo porque ese objeto ‘determinaba’ las
propiedades de la forma cuadr´atica en cuesti´on. M´as a´un, Gauss tambi´en expres´o en esta obra los
coeficientes de sus formas cuadr´aticas mediante ‘arrays’ rectangulares (i.e. matrices) y describi´o
c´omo se multiplicaban matrices y se calculaba la inversa de una matriz en el contexto de los
‘arrays’ de coeficientes de formas cuadr´aticas.
Debe tenerse en cuenta que con el t´ermino ‘array’ que hemos empleado, queremos referirnos
a una distribuci´on en formato tabular de datos expresados en filas y columnas. Este t´ermino es
empleado como sin´onimo del t´ermino ‘matriz’ en Computaci´on e Inform´atica, pero eliminando
las connotaciones matem´aticas que el segundo t´ermino tiene en relaci´on a tener definida una
estructura algebraica (de espacio vectorial en general y de anillo en el caso de matrices cuadradas
de un determinado orden). Este era adem´as el sentido en el que usaba Gauss las matrices ya que
no lleg´o a tener conciencia de la noci´on de ´algebra matricial, puesto que para ´el, el producto de
matrices era simplemente un c´alculo para obtener la composici´on de formas cuadr´aticas.
Ya hemos indicado que Gauss emple´o el t´ermino determinante por primera vez en la matem´ati-
ca europea, pero refiri´endose a otro objeto matem´atico distinto al que hoy en d´ıa asociamos a
ese t´ermino. Para usar el t´ermino ‘determinante’ en su sentido actual habr´ıa que esperar a que el
matem´atico franc´es Augustin Louis Cauchy (1789–1857) leyera su Essai sur les fonctions sym´etri-
ques en la Acad´emie des Sciences del Institute de France y que publicar´ıa bajo el t´ıtulo M´emoire
sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs ´egales et de signes contraires par suite
des transpositions op´er´ees entre les variables qu’elles renferment en 1815 [12]. Esta obra conver-
tir´ıa a Cauchy en el autor m´as prol´ıfico de su ´epoca en relaci´on a la teor´ıa de determinantes y
ser´ıa la obra m´as completa de su tiempo. De hecho, en ella aparecen las demostraciones de todos
los resultados obtenidos hasta la fecha (ya que Cauchy no consideraba correctas algunas de las
pruebas ya existentes) y un considerable n´umero de resultados nuevos sobre menores y adjun-
tos, destacando el teorema de multiplicaci´on de determinantes. Este teorema permite expresar
el determinante de un producto como producto de determinantes y es com´unmente conocido co-
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mo la f´ormula de Cauchy-Binet para dos matrices rectangulares de ´ordenes transpuestos. Como
curiosidad, indicar que el matem´atico y f´ısico franc´es Jacques-Philippe-Marie Binet (1786–1856)
lleg´o de manera independiente al mismo resultado en su M´emoire sur un systeme de formules
analytiques, et leur applications `a des considerations g´eom´etriques [4], que present´o a la Acad´emie
des Sciences en la misma sesi´on que Cauchy en 1812.
Posteriormente, saldr´ıa a la luz la obra Sur l’´equation `a l’aide de laquelle on d´etermine les
in´egalit´es s´eculaires des mouvements des plan`etes en 1829 [13], tambi´en escrita por Cauchy. En
ella se emplear´ıa por primera vez el t´ermino ‘tableau’ al referirse a la matriz de coeficientes
asociada a una forma cuadr´atica en n variables. En esa obra, se calculaban los autovalores de
dicha matriz (cuadrada y definida) y aparec´ıan los primeros resultados sobre diagonalizaci´on de
matrices al expresar una forma cuadr´atica como suma de cuadrados. Tambi´en se inclu´ıa en esta
obra la noci´on de matrices similares, aunque sin dar nombre a dicha relaci´on de equivalencia y
demostrando el resultado principal para matrices similares en relaci´on a la diagonalizaci´on de
matrices y c´alculo de autovalores: dos matrices similares tienen la misma ecuaci´on caracter´ıstica,
los mismos autovalores con la misma multiplicidad y, por ende, una es diagonalizable si y solo
si lo es la otra. Otra propiedad b´asica de la diagonalizaci´on de matrices incluida en el trabajo
comentado era la de que toda matriz sim´etrica real es diagonalizable.
El siguiente autor del que hablaremos en relaci´on a los determinantes es el matem´atico alem´an
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), quien publicar´ıa tres trabajos sobre determinantes en el
Crelle’s Journal durante el a˜no 1841 [37, 38, 39]. En ellos, dio la primera formalizaci´on algor´ıtmi-
ca de la definici´on de determinante, admitiendo que los t´erminos de un determinante pudiesen
ser n´umeros o funciones. El trabajo de Jacobi fue esencial para la noci´on de determinante ya
que dotaron al concepto de tal relevancia que se hizo ampliamente conocido. Ese mismo a˜no, el
matem´atico ingl´es Arthur Cayley (1821–1895) publicar´ıa su art´ıculo sobre la geometr´ıa de la posi-
ci´on [14] y ´esta ser´ıa la primera aportaci´on de la matem´atica inglesa a la teor´ıa de determinantes.
La importancia de esta publicaci´on reside en que este trabajo introdujo la notaci´on empleada en
la actualidad para los determinantes: la estructura tabular o ‘array’ de datos delimitada por una
l´ınea vertical a cada lado del ‘array’.
N´otese que hemos hablado de la aparici´on del t´ermino ‘determinante’ pero no del t´ermino
‘matriz’, el cual aparecer´ıa casi cuatro d´ecadas despu´es de que Cauchy usase por primera vez
el t´ermino ‘determinante’. No obstante, antes de que se llegase a darle el nombre de ‘matriz’ al
objeto que hoy conocemos como tal, muchos matem´aticos europeos estuvieron trabajando con
este objeto de forma directa o indirecta (esto ´ultimo al resolver sistemas de ecuaciones linea-
les). Al hablar de la evoluci´on hist´orica del ‘determinante’ ya hemos comentado algunos de estos
casos, pero no podemos pasar por alto en este trabajo uno de los t´opicos principales al hablar de
matrices: la denominada eliminaci´on gaussiana.
Cuando expusimos en su momento la matem´atica china, ya hicimos referencia a c´omo se
dispuso de esta t´ecnica para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, pero no hemos
indicado c´omo apareci´o en la matem´atica europea y lo err´oneo de su nombre. Un magn´ıfico
estudio sobre esta cuesti´on se debe a Grcar [33, 34]. A este respecto, el matem´atico y f´ısico
ingl´es Isaac Newton (1642–1727), cuando estaba revisando entre 1669 y 1670 una versi´on de
un manual sobre ´algebra que el impresor John Collins quer´ıa editar, insert´o una anotaci´on al
margen indicando su preocupaci´on sobre la carencia en todos los manuales de la ´epoca de un
apartado explicando la resoluci´on de sistemas de ecuaciones y su inter´es en completar esa laguna
del conocimiento incluyendo un cap´ıtulo a la obra que se iba a editar. Sin embargo, al no llevarse
a cabo la edici´on de este manual, Newton opt´o por comenzar a escribir un manuscrito que revis´o
repetidas veces y que qued´o inconcluso, datando la ´ultima versi´on de 1684. Esta obra, que iba
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 71
a titularse Arithmeticae Universalis, no lleg´o a publicarse y Newton hizo entrega de sus notas
de clase sobre ´algebra a la Universidad de Cambridge, en la que hab´ıa impartido la c´atedra
lucasiana de matem´aticas hasta 1702 y que se basaron en los borradores de sus manuscritos. Su
sucesor en la c´atedra, William Whiston (1667–1752), edit´o las notas de Newton en lat´ın bajo el
t´ıtulo de su obra inconclusa en 1707 [62] tras dejar su vida acad´emica y en la que aparec´ıan sus
explicaciones sobre c´omo resolver los sistemas de ecuaciones tratando las ecuaciones dos a dos.
No solo se expon´ıa la regla correspondiente al m´etodo de eliminaci´on o reducci´on (al que ´el llam´o
de ‘exterminaci´on’) que es el que nos ocupa en relaci´on a la evoluci´on hist´orica de los conceptos
de ‘matriz’ y ‘determinante’ que estamos considerando en el presente trabajo, sino que tambi´en
inclu´ıa las reglas correspondientes a los m´etodos de igualaci´on y sustituci´on. Todos estos m´etodos
de resoluci´on de sistemas de ecuaciones estaban presentados para aplicar a sistemas de dos o m´as
ecuaciones sin que ´estas necesariamente tuvieran que ser lineales.
Aunque el trabajo de Newton es el primer texto de ´algebra en las matem´aticas europeas que
abord´o la explicitaci´on de unas reglas para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones, las m´ultiples
revisiones de Newton y su reticencia a que se publicasen sus notas (las primeras versiones de
su Arithmeticae Universalis aparecieron sin autor´ıa) llevaron a que se publicase previamente, en
1690, el Trait´e d’Algebre [70] del matem´atico franc´es Michel Rolle (1652–1719). En esta obra
aparecer´ıa la primera descripci´on de la eliminaci´on gaussiana bajo el nombre de m´etodo de susti-
tuci´on y formulado espec´ıficamente para sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, los textos
de ´algebra que surgieron con posterioridad a los de Newton y Rolle tomaron como referencia el
desarrollo hecho por Newton para la resoluci´on de sistemas. De estas obras, caben destacar dos:
el A Treatise of Algebra [71] del matem´atico ingl´es Thomas Simpson (1710–1761), que fue publi-
cada en 1745 y que introdujo la regla de adici´on y sustracci´on de ecuaciones (i.e. combinaciones
lineales de ecuaciones); y la del matem´atico franc´es Sylvestre Fran¸cois Lacroix (1765–1843) de
1804 [48], en la que por primera vez se usa el t´ermino ‘eliminaci´on’ para referirse a este m´etodo.
En vista de lo anterior, cabr´ıa preguntarse cu´al fue la aportaci´on de Gauss al respecto del
m´etodo de eliminaci´on que lleva su nombre y cuyos or´ıgenes en las matem´aticas modernas se
remontan a Newton y Rolle tal y como acabamos de exponer. Concretamente, la contribuci´on de
Gauss al m´etodo de eliminaci´on (que ´el denomin´o como ‘eliminationem vulgarem’ en su obra de
1809 [31]) consisti´o en su uso para la resoluci´on de las ecuaciones normales que llevan a soluciones
aproximadas por m´ınimos cuadrados de sistemas lineales de ecuaciones y en la introducci´on de
una notaci´on y un procedimiento algor´ıtmico para la eliminaci´on sim´etrica que permit´ıa una
sistematizaci´on, simplificaci´on y mayor velocidad en la realizaci´on de los c´alculos (como puede
verse en [32]), lo cual conllev´o a su uso extendido por parte de todos los calculistas profesionales
en el s. XIX y a la obtenci´on de diferentes variantes algor´ıtmicas del m´etodo de eliminaci´on para
la simplificaci´on y aumento de velocidad en los c´alculos. El m´as conocido de est´as variantes es el
denominado m´etodo de Gauss-Jordan que idearon de manera independiente el geodesista alem´an
Wilhelm Jordan (1842–1899) y el matem´atico luxemburgu´es Bernard-Isidore Clasen (1829–1902)
en 1888 ([41] y [17], respectivamente).
Hecho este inciso en relaci´on a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones (lineales), volvemos
a la cuesti´on que nos ocupaba en relaci´on al surgimiento y desarrollo de la noci´on de ‘matriz’,
ya que la aparici´on de la noci´on de matriz y del ´algebra de matrices permiti´o traducir toda la
notaci´on y procedimientos algor´ıtmicos para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones, simplificando
y automatizando a´un m´as los procedimientos y c´alculos involucrados.
Concretamente, hubo que esperar a 1850 [72] para que el matem´atico ingl´es James Joseph
Sylvester (1814–1897) acu˜nase finalmente el t´ermino ‘matriz’, que defini´o como una estructura
tabular rectangular de t´erminos de la que se puede obtener diversos determinantes como estruc-
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
72 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
´
Angel F. Tenorio
turas tabulares cuadradas almacenadas en su interior. Cayley comprender´ıa casi de inmediato la
relevancia y significado del concepto de matriz que hab´ıa introducido su amigo Sylvester, por lo
que trabaj´o en esta noci´on publicando el art´ıculo titulado Remarques sur la notations de fonctions
alg´ebriques en 1855 [15]. Esta nota introduc´ıa el concepto de inversa de una matriz y el de pro-
ducto de dos matrices, relacionando la estructura matricial con una forma cuadr´atica y bilineal.
Simult´aneamente, en 1853, el matem´atico y f´ısico irland´es William Rowan Hamilton (1805–1865)
escribi´o sus Lectures on Quaternions [35], en la que har´ıa uso del c´alculo matricial para estudiar
los cuaterniones y obtener para estos objetos varios resultados que ser´ıan formalizados para las
matrices por Cayley en su memoria de 1858 [16].
Esta memoria se titul´o Memoir on the theory of matrices y en ella no solo aparece la primera
definici´on abstracta de matriz (mostrando c´omo los ‘arrays’ que se hab´ıan estado utilizando
hasta ese momento en matem´aticas eran casos particulares de su concepto), sino que tambi´en
incluye el primer tratamiento formal de las operaciones con matrices y sus principales resultados.
As´ı, Cayley dio la definici´on algebraica de las siguientes operaciones: suma, resta y producto de
matrices, producto de matriz por escalar e inversi´on de matrices. En el caso de la inversa de una
matriz, la construy´o expl´ıcitamente en t´erminos de determinantes. M´as a´un, introdujo la notaci´on
matricial para escribir un sistema de ecuaciones lineales, representando las ecuaciones como filas
y las inc´ognitas como columnas. En la obra comentada, Cayley demostr´o que dada una matriz
de orden 2 × 2, dicha matriz anula a su polinomio caracter´ıstico. Aunque dej´o indicada tambi´en
la prueba para matrices 3 × 3, afirm´o que no dispon´ıa de los requisitos necesarios para demostrar
la propiedad considerando una matriz arbitraria de orden arbitrario n × n. Este resultado se
conoce como Teorema de Cayley-Hamilton porque, previamente al estudio de Cayley, Hamilton
[35] describi´o una demostraci´on de este resultado para orden 4 × 4. No obstante y como veremos
en breve, habr´ıa que esperar al matem´atico alem´an Ferdinand Georg Fr¨obenius (1849–1917) para
disponer del resultado general para matrices de orden n × n.
Aproximadamente una d´ecada m´as tarde, en 1870, el matem´atico franc´es Marie Ennemond
Camille Jordan (1838–1922) escribe su Trait´e des substitutions et des ´equations alg´ebriques [40],
en el que aparece descrita por primera vez la forma can´onica que lleva su nombre al trabajar con
las sustituciones lineales sobre un cuerpo finito de orden primo.
En 1878, Fr¨obenius escribe su obra
¨
Uber lineare substitutionen und bilineare formen [40], sin
tener conocimiento del trabajo llevado a cabo por Cayley y que hemos comentado anteriormente.
Esta obra se convertir´ıa en uno de los principales referentes sobre la teor´ıa de matrices. Aun-
que sin emplear el t´ermino ‘matriz’, Fr¨obenius trabaj´o con coeficientes de formas cuadr´aticas.
Tambi´en incluy´o demostraciones de resultados fundamentales sobre matrices can´onicas como re-
presentaciones de clases de equivalencia de matrices. A este respecto, mencion´o expl´ıcitamente
los trabajos previos de los matem´aticos alemanes Leopold Kr¨onecker (1823–1891) y Karl Theo-
dor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) publicados en 1874 [46] y 1868 [82] respectivamente, pero
indicando que eran casos particulares de los resultados que ´el hab´ıa obtenido. Pero esta obra de
Fr¨obenius no se limit´o solo a las cuestiones ya indicadas, sino que inclu´ıa la demostraci´on general
del Teorema de Cayley-Hamilton, que solo hab´ıa sido demostrada hasta orden 4×4. Adem´as, este
trabajo conten´ıa la primera definici´on formal del rango de una matriz (usada cuando trabajaba
con formas can´onicas) y de matriz ortogonal.
No es hasta 1896 que Fr¨obenius tuvo conocimiento de la obra de Cayley en [16] sobre la
teor´ıa de matrices y es entonces que Fr¨obenius comenz´o a emplear el t´ermino ‘matriz’. De este
modo, su art´ıculo de 1896 [26] inclu´ıa nuevamente una demostraci´on general del Teorema de
Cayley-Hamilton para matrices cuadradas de cualquier orden; atribuyendo el m´erito de dicha
demostraci´on al propio Cayley, que como ya indicamos antes no hab´ıa sido capaz de conseguirla.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 73
Fr¨obenius tambi´en fue primordial en el estudio de las matrices positivas, puesto que sus
art´ıculos de 1908 [27] y 1909 [28] sobre este tipo de matrices contienen los resultados esenciales
y fundamentales sobre ´estas, incluso a d´ıa de hoy. Es m´as, la teor´ıa sobre matrices positivas y
matrices no negativas recibe el nombre de Teor´ıa de Perron-Fr¨obenius ya que los dos art´ıculos
anteriores junto con el de 1912 [29] y el previo del matem´atico alem´an Oskar Perron (1880–
1975) publicado en 1907 [66], crean el cuerpo te´orico de los resultados relativos a estos dos
tipos de matrices, siendo el resultado principal el denominado Teorema de Perron-Fr¨obenius. La
demostraci´on para las matrices cuadradas reales de t´erminos positivos se debe a Perron [66] que
prob´o la existencia de un ´unico autovalor real positivo (llamado ra´ız de Perron) que es mayor
que el m´odulo de cualquier otro autovalor (incluidos los autovalores complejos) de la matriz y
la existencia de un autovector asociado a este autovalor con todas sus coordenadas positivas.
Posteriormente en 1912, Fr¨obenius [29] extender´ıa el resultado de manera no trivial a cierto
tipo de matrices no negativas: las matrices no negativas irreducibles, concepto que introdujo en
ese trabajo. Debe tenerse en cuenta que los cuatro art´ıculos indicados en el presente p´arrafo se
consideran igualmente claves para el origen y estudio de los m´etodos iterativos de las ecuaciones
lineales reales (v´ease Rheinboldt y Vandergraft [69]).
Otro concepto importante dentro del ´algebra lineal es el de nulidad de una matriz de orden
m × n, que hoy en d´ıa podemos identificar con la dimensi´on del n´ucleo o espacio nulo de dicha
matriz, pero que Sylvester introdujo y defini´o formalmente en 1884 [73] como un valor k tal
que todos los menores de orden n − k + 1 de la matriz se anulaban. Este concepto surge al
estudiar propiedades invariantes en las matrices bajo ciertas transformaciones, esencialmente de
tipo lineal. Una de las propiedades demostrada en ese trabajo era la ley de nulidad de Sylvester,
seg´un la cual la nulidad de una matriz est´a acotada superiormente por la nulidad del producto
de esa matriz por cualquier otra por la que se pueda multiplicar y esta segunda nulidad est´a a
su vez acotada superiormente por la suma de las nulidades de las dos matrices multiplicadas.
Con el comienzo del siglo XX debemos volver a tratar la noci´on de determinante. Aunque
existe constancia de la existencia de una definici´on formal y rigurosa de la noci´on de determinante
por parte de Weierstrass y de Kr¨onecker desde mediados de la d´ecada de 1860 y de su uso
en sus respectivas lecciones, la comunidad matem´atica en general tendr´ıa que esperar a 1903
para que dichas definiciones aparecieran en sus obras p´ostumas. En el caso de Weierstrass, el
determinante se defin´ıa como funci´on homog´enea, lineal y normada tal y como aparecer´ıa en
su Zur Determinantentheorie [84]. Por su parte, la definici´on de Kr¨onecker ser´ıa publicada en
Vorlesungen ¨uber die Theorie der Determinanten [47], como parte de las lecciones que impart´ıa
sobre determinantes, los cuales evaluaba usando la funci´on delta de Kr¨onecker que el cre´o y que
resulta ser el primer tensor utilizado en las matem´aticas. Con las dos publicaciones mencionadas,
se da por lo general como completamente desarrollada la teor´ıa moderna de determinantes. Sin
embargo, la teor´ıa de matrices requerir´ıa de algo m´as de tiempo para disponer de una teor´ıa
completamente aceptada por la comunidad matem´atica (todo ello pese a que solemos definir los
determinantes a partir de las matrices). En cualquier caso, los trabajos de matem´aticos como
Cayley, Fr¨obenius, Weierstrass y Kr¨onecker fueron claves y esenciales para que los t´erminos
‘matriz’ y ‘determinante’ fuesen de uso y pr´actica com´un en el campo de las matem´aticas.
No queremos concluir el presente apartado sin hacer algunas indicaciones a las obras que
entendemos sustentar´ıan la teor´ıa de matrices en las matem´aticas actuales y la han convertido
en una de las herramientas esenciales para la inmensa totalidad de ramas de las matem´aticas. En
primer lugar, habr´ıa que tener en cuenta la obra Introduction to Higher Algebra del matem´atico
americano Maxime Bˆocher (1867–1918) fechada en 1907 [5]. Posteriormente, aparecer´ıan los tres
textos m´as influyentes sobre ´algebra matricial en la d´ecada de 1930, dos de ellos escritos por el
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74 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
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matem´atico ingl´es Herbert Westren Turnbull (1885–1961) en 1928 [75] y 1932 [76] y el tercero
por el matem´atico neozeland´es Alexander Craig Aitken (1895–1967) en 1939 [1]. Estas obras
llevar´ıan al punto culmen de la teor´ıa de matrices: la publicaci´on de An Introduction to Linear
Algebra por el matem´atico ruso Leonid Mirsky (1918–1983) en 1955 [56]. Esta obra mostrar´ıa la
importancia de la teor´ıa de matrices dentro de las matem´aticas y la posicion´o como uno de los
t´opicos matem´aticos esenciales para estudiantes universitarios de matem´aticas.
2.3 Una visi´on de los “nombres” a lo largo del tiempo
En las Figuras 1 a 3 se pretende dar un r´apido y breve repaso visual a la evoluci´on hist´orica de
los conceptos citados en el apartado anterior. Adem´as, dicho gr´afico permite observar c´omo el
auge en el estudio de las matrices y determinantes tuvo lugar durante los siglos XVIII y XIX.
Figura 1: “Visi´on” de los “nombres” hasta 1400.
3 Algunos conceptos econ´omicos que utilizan matrices
En la presente secci´on, nos centraremos en posibles aplicaciones de las matrices en el ´ambito de
la modelizaci´on de problemas econ´omicos. Partiendo del hecho de que dichas aplicaciones pueden
ser m´ultiples y variadas, nuestro objetivo solo es mostrar su utilidad en este campo sin llegar
a ser exhaustivos. En este sentido y a modo de visi´on general previa, debe tenerse en cuenta,
como ya se coment´o en la introducci´on, que el ´algebra matricial y la teor´ıa de matrices pueden
utilizarse en la resoluci´on num´erica tanto de sistemas de ecuaciones lineales como de ecuaciones
diferenciales (ordinarias y en derivadas parciales). Adem´as, las matrices surgen de forma natural
y de manera directa o indirecta en m´ultiples campos de las ciencias experimentales, t´ecnicas y
sociales. En la presente secci´on expondremos c´omo la teor´ıa de matrices resulta una herramienta
de gran utilidad para estudiar fen´omenos econ´omicos.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 75
Figura 2: “Visi´on” de los “nombres” desde 1400 hasta 1800.
Figura 3: “Visi´on” de los “nombres” en 1800 y principios de 1900.
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76 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
´
Angel F. Tenorio
3.1 An´alisis Input-Output
El economista ruso-americano Wassily Wassilyevich Leontief (1906–1999) introdujo y desarroll´o
los fundamentos del An´alisis Input-Output en tres art´ıculos claves que datan de 1936 [52], 1941
[53] y 1966 [54]. Llev´o a cabo el desarrollo de esta herramienta para el estudio de las interrelaciones
existentes entre los diferentes sectores econ´omicos (o actividades econ´omicas) en una econom´ıa
moderna y para ello se vali´o del algebra matricial para medir la estructura de la misma. Tal fue
la relevancia de la herramienta desarrollada y de su aplicaci´on a problemas econ´omicos que fue
galardonado con el Premio Nobel en Ciencias Econ´omicas en 1973.
Sin embargo y aunque Leontief es considerado como el padre del An´alisis Input-Output, ha
de tenerse en cuenta la existencia de otros autores anteriores que pueden considerarse como
precursores de los trabajos de Leontief, ya que ´estos hab´ıan expuesto parte de la infraestructura
t´ecnica que sustenta el An´alisis Input-Output. En este sentido, la estructura b´asica de las tablas
(matrices o ‘arrays’) input-output fue establecida por el economista franc´es Fran¸cois Quesnay
(1694–1774) en su Tableau Economique en 1758 [67] y 1766 [68]. En esta obra se representaba, por
primera vez, la relaci´on entre las compras y las ventas de las industrias de una econom´ıa concreta.
Dicha representaci´on gr´afica se llevaba a cabo mediante un ’array’ en el que se representaban los
valores num´ericos de las compras y ventas realizadas y que se considera el germen de las matrices
input-output (o matrices de transacciones) que son la herramienta b´asica de trabajo en el An´alisis
Input-Output.
No obstante, Quesnay solo mostrar´ıa la representaci´on mediante una tabla y no dar´ıa una
formulaci´on te´orica concisa. Precisamente esa fue la aportaci´on del tambi´en economista franc´es
L´eon Walras (1834–1930), uno de los pioneros en la matem´atica econ´omica y del desarrollo de
la teor´ıa del equilibrio general, en la que se engloba el An´alisis Input-Output. En 1874, Walras
[83] adapt´o la obra de Quesnay e introdujo en el modelo las compras de los consumidores finales,
adem´as de dar la primera representaci´on econ´omica de una tecnolog´ıa. Para ello, Walras us´o un
conjunto de coeficientes productivos para relacionar las cantidades necesarias del producto de cada
sector para obtener una unidad de un producto concreto a niveles de producci´on total de dicho
producto. Estos coeficientes coinciden, en lo esencial, con los coeficientes t´ecnicos (o tecnol´ogicos)
que se usan en la actualidad en la matriz de coeficientes t´ecnicos o matriz tecnol´ogica.
El valor a˜nadido que tuvo el trabajo de Leontief consisti´o en que su modelo simplificaba la
formulaci´on te´orica del modelo de Walras por medio de dos hip´otesis: considerar que el compor-
tamiento de la tecnolog´ıa y del mercado se mantiene constante en el tiempo. En base a estas
hip´otesis, los datos disponibles de un per´ıodo temporal anterior podr´ıan usarse para prever el
comportamiento futuro de la econom´ıa y del mercado. M´as concretamente, el comportamiento
futuro de la econom´ıa se reduc´ıa a un producto de la matriz t´ecnica de la econom´ıa y, por tanto,
simplemente consist´ıa en operaciones matriciales.
Los modelos input-output combinan las compras intermedias (entre sectores industriales) y
las finales (a consumidores finales y gobierno), adem´as de insertar las correspondientes ventas
intermedias y finales. Precisamente, el An´alisis Input-Output resulta ser uno de los modelos inter-
sectoriales m´as populares en la actualidad. En este sentido, las agencias nacionales de estad´ısti-
cas elaboran las tablas input-output de las econom´ıas nacionales y regionales en determinados
per´ıodos de a˜nos (actualmente cada lustro), usando un n´umero limitado de sectores en funci´on del
nivel de agregaci´on de los mismos. M´as a´un, la Organizaci´on de Naciones Unidas ha fomentado
el uso del An´alisis Input-Output como una herramienta ´util y esencial para la planificaci´on de la
econom´ıa de pa´ıses en v´ıa de desarrollo, auspiciando un sistema est´andar para las contabilidades
econ´omicas nacionales usando un modelo input-output (v´ease [63, 64, 65]).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 77
Por todo lo anterior, el An´alisis Input-Output tiene una amplia aceptaci´on y uso en gran
n´umero de las ramas de las que consta la Econom´ıa. No obstante, su aceptaci´on general no tuvo
lugar hasta la d´ecada de 1950 con los adelantos en el software y equipos inform´aticos de modo
que se pudiera empezar a manejar el volumen de datos almacenados en las tablas input-output
y realizar de manera autom´atica y r´apida las operaciones con las mismas. A modo de ejemplo,
queremos indicar algunos de los distintos ´ambitos que emplean esta t´ecnica matricial: sistemas
de cuentas nacionales, elaboraci´on de tablas input-output, econom´ıa medioambiental, an´alisis
regional y multirregional, an´alisis input-output estoc´astico (donde los t´erminos de la matriz input-
output son variables estad´ısticas), equilibrio general aplicado, matrices de contabilidad social
(SAM), pol´ıtica econ´omica o an´alisis de la productividad, innovaci´on y empleo.
El modelo b´asico del An´alisis Input-Output se caracteriza por el estudio de los datos econ´omi-
cos de los sectores productivos existentes en una determinada regi´on geogr´afica. Cada sector en
la econom´ıa produce una serie de bienes a la vez que consume tanto sus productos como los
producidos por otros sectores. En consecuencia, cada sector productivo es considerado tanto pro-
ductor (y los bienes se denominan entonces ‘outputs’) como consumidor (denomin´andose ‘inputs’
los bienes). Estos flujos intersectoriales de compra y venta entre sectores productivos de una
econom´ıa se miden en unidades monetarias en un per´ıodo determinado de tiempo (que suele ser
de un a˜no). Estas mediciones pueden resumirse distribuyendo estos valores en una matriz, que
se denomina tabla de flujos intersectoriales o matriz input-output de la econom´ıa. Esta matriz
almacena toda esta informaci´on y resulta ser la herramienta esencial en el An´alisis Input-Output.
Con ella se puede generar toda la informaci´on necesaria de la econom´ıa, permitiendo prever el
comportamiento de la misma en el futuro.
La construcci´on de la matriz de flujos intersectoriales de una econom´ıa con n sectores pro-
ductivos se basa en situar las ventas del sector i al sector j en el t´ermino (i, j) de dicha matriz.
En consecuencia, la fila i de la matriz viene a representar la distribuci´on de las ventas realizadas
por el sector i a los sectores (incluido ´el mismo) de la econom´ıa bajo estudio. An´alogamente, si
llevamos una interpretaci´on por columnas de la matriz, la columna j representar´a las compras
(consumo de producci´on) realizadas por el sector j a todos los sectores (incluido el consumo de
su propia producci´on) de la econom´ıa. A los datos relativos a los flujos de producci´on entre los
sectores productivos, podemos a˜nadir los datos relativos de consumo de la producci´on de cada
sector llevada a cabo por los consumidores finales (que vienen a ser los usuarios de los productos,
el gobierno e incluso las exportaciones). Estos datos requieren la inclusi´on de columnas adiciona-
les al modelo matricial que permitan registrar las ventas del sector en cuesti´on a cada uno de los
tres colectivos indicados. Debe tenerse en cuenta que solo se a˜naden columnas y no filas, ya que
los consumidores finales no son sectores productivos y por tanto no producen un producto final
que puedan vender y que sea consumido por otros sectores o alguno de los colectivos considera-
dos como consumidores finales. De este modo, pasamos de una matriz cuadrada que representa
las transacciones entre sectores productivos (la matriz de flujos intersectoriales) a una segunda
matriz rectangular en la que aparecen los consumidores finales de los productos realizados por los
sectores productivos, Los consumidores finales suelen representarse conjuntamente en una ´unica
columna, denominada de demanda final (aunque podr´ıa desagregarse la informaci´on en colum-
nas independientes llegado el caso). La matriz rectangular obtenida al considerar la columna de
demanda final se denomina matriz de transacciones.
Si definimos la matriz de flujos intersectoriales como Z = [Z1| . . . |Zn] por sus columnas Z
i
y
denotamos respectivamente por Y y por X al vector de demanda final y al vector de producci´on
total de la econom´ıa, entonces los t´erminos X
i
e Y
i
son respectivamente la producci´on total y
demanda final del sector i. En consecuencia, el modelo input-output puede expresarse haciendo
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78 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
´
Angel F. Tenorio
uso del
´
Algebra Lineal por medio de la siguiente ecuaci´on vectorial:
X = Z
1
+ · · · + Z
n
+ Y. (1)
Desafortunadamente, la matriz de transacciones se limita a describir el comportamiento ac-
tual de la econom´ıa como si de una foto fija se tratase. Para prever los posibles cambios en la
producci´on final de cada sector productivo (es decir, el vector X) en funci´on de los cambios que
tengan lugar sobre la demanda final (el vector Y ), debemos considerar una matriz cuadrada A en
la que intervengan todos estos datos. Esto se consigue relativizando la matriz de flujos intersecto-
riales y obteniendo la denominada matriz tecnol´ogica o de coeficientes t´ecnicos. En esta matriz,
el t´ermino (i, j) representa el valor del bien comprado al sector i por el sector j, pero relativizado
por unidad monetaria respecto de la producci´on final del sector j. Por tanto, las columnas de la
matriz A se obtienen con una simple reescala de las columnas de la matriz Z:
A
j
=
1
X
j
· Z
j
Como consecuencia, la matriz A nos proporciona informaci´on sobre la estructura interna de la
econom´ıa y podemos usarla tanto para comparar distintos per´ıodos temporales de una econom´ıa
concreta como para comparar distintas econom´ıas entre s´ı. Haciendo uso de la matriz A de
coeficientes t´ecnicos, el modelo input-output puede representarse mediante la siguiente ecuaci´on
matricial (o equivalentemente sistema de ecuaciones lineales):
A · X + Y = X
reflejando las relaciones existentes entre el vector X de producci´on total y el vector Y de demanda
final:
Y = (A − Id) · X y X = (A − Id)
−1
· Y,
donde Id es la matriz identidad de orden n y la potencia −1 representa la inversa matricial.
Desde un punto de vista puramente econ´omico, las matrices tecnol´ogicas A para las cuales existe
la inversa (A − Id)
−1
son de gran inter´es y reciben el nombre de matrices productivas. El inter´es
de dichas matrices radica en que una econom´ıa con tal matriz tecnol´ogica puede producir una
producci´on total por parte de los sectores productivos que satisfaga cualquier demanda final por
parte de los consumidores finales. Una propiedad tan relevante como esta en el ´ambito del An´alisis
Input-Output puede ser traducida y tratada como un simple problema de ´algebra matricial con
las t´ecnicas propias del
´
Algebra Lineal.
3.2 Teor´ıa de Juegos
Como disciplina tanto matem´atica como econ´omica, la Teor´ıa de Juegos se ocupa de la modeli-
zaci´on y an´alisis de situaciones de conflicto y cooperaci´on entre decisores racionales e inteligentes
(v´ease [58]). M´as concretamente, estudia el comportamiento racional en la toma de decisiones de
dos o m´as agentes (denominados jugadores) a la hora de afrontar una situaci´on de interacci´on
(que se denomina juego), teniendo en cuenta que tanto las decisiones propias como las del resto
de jugadores afectan en la toma de decisi´on.
En un juego, cada jugador busca la estrategia ´optima para alcanzar sus objetivos y tomar
las decisiones en base a dicha estrategia que tambi´en depender´a del comportamiento previsto de
los otros jugadores y del que est´a observando durante el propio juego con las correspondientes
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 79
adaptaciones a la estrategia de partida. Para ello, el jugador debe ponderar tanto el nivel de
coincidencia como de enfrentamiento de sus objetivos con respecto a los de los dem´as jugadores;
una vez realizada esta ponderaci´on y en base a la misma, el jugador tendr´a que decidir si le
interesa cooperar o enfrentarse con todos o solo con algunos de los jugadores.
El objetivo de un juego es buscar una soluci´on ´optima del mismo por medio de una descripci´on
de las decisiones que deber´ıa tomar cada jugador en base a las acciones de todos los jugadores y
determinando cu´al ser´ıa el resultado teniendo en cuenta todas las combinaciones posibles en la
toma de decisi´on.
Por tanto, un juego viene definido simplemente por un conjunto de jugadores, un conjunto
de movimientos (llamados estrategias) para esos jugadores y una especificaci´on de recompensas
para las posibles combinaciones de estrategias.
La ventaja de la Teor´ıa de Juegos como herramienta de an´alisis en la toma de decisiones reside
en que existen muchas situaciones basadas en la interacci´on entre agentes que, a priori, pueden
no tener relaci´on alguna y habr´ıa que resolver espec´ıficamente; sin embargo, cuando se modeliza
como un juego resulta que comparten una misma estructura que basta analizar una ´unica vez
para llevar a cabo la toma de decisiones independientemente del problema real que modeliza y
que, tras resolverlo te´oricamente, puede trasladarse la soluci´on a la situaci´on concreta para dar
respuesta a nuestro problema del mundo real.
Dentro de la Teor´ıa de Juegos, surge una divisi´on de manera natural que los diferencia entre
los no cooperativos y los que s´ı lo son. Desde la perspectiva m´as cl´asica, los juegos cooperativos
son aquellos que permiten la posibilidad de llegar a acuerdos vinculantes entre jugadores mediante
mecanismos preestablecidos (v´ease [36]). Sin embargo, en los juegos no cooperativos, cada jugador
debe centrarse ´unica y exclusivamente en su beneficio personal, estando habilitadas todas las
posibilidades de cooperaci´on entre jugadores (v´ease [77]).
Desde sus comienzos, la Teor´ıa de Juegos se plantea como herramienta para comprender c´omo
funcionan los fen´omenos sociales y econ´omicos. Como muestra de esta afirmaci´on, indicaremos
algunos de los trabajos aparecidos con anterioridad al s. XX y que pueden considerarse precursores
de la Teor´ıa de Juegos. En este sentido, el matem´atico franc´es Pierre-R´emond de Montmort
(1678–1619) publicar´ıa en 1713 [57] un ensayo en el que aparecen por primera vez el concepto de
estrategia mixta y la regla minimax en el contexto de los juegos de azar.
En 1785 [18], el pol´ıtico y matem´atico franc´es Marie-Jean-Antoine Nicolas de Caritat, marqu´es
de Condorcet (1743–1794), public´o su principal obra sobre sistemas electorales, en el que introduce
el Teorema del Jurado y la Paradoja de Condorcet, seg´un las cuales el criterio de preferencia de la
mayor´ıa no permite obtener un vencedor claro. De hecho, tambi´en se incluye en la obra el deno-
minado m´etodo de Condorcet para seleccionar al candidato que ganar´ıa por mayor´ıa en cualquier
emparejamiento contra otro candidato, si existe tal candidato. Esta t´ecnica es esencial en Teor´ıa de
Juegos cuando se quieren establecer preferencias para seleccionar candidatos. De manera paralela,
en 1770, el matem´atico y pol´ıtico franc´es Jean-Charles de Borda (1733–1799) expone su m´etodo
de elecci´on de un ´unico candidato vencedor mediante ordenaci´on de los candidatos por cada
votante seg´un sus preferencias y que se conoce como recuento de Borda [6].
En el campo de la Econom´ıa, la Teor´ıa de Juegos aparece con el tratamiento matem´atico de los
problemas de duopolios y oligopolios. En este sentido, la primera referencia habitualmente referida
se debe al matem´atico franc´es Antoine Augustin Cournot (1801–1877), quien desarrollo en 1838
[19] un modelo en competici´on imperfecta entre dos empresas (duopolio) que buscan un equilibrio
con sus decisiones. Posteriormente se ir´ıa complicando el modelo con el estudio realizado por
autores posteriores para corregir las problem´aticas que iban surgiendo a partir de dicho modelo
y sus modificaciones. Ejemplo de ello son las obras de los economistas y matem´aticos Joseph-
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
80 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
´
Angel F. Tenorio
Louis-Fran¸cois Bertrand (1822–1900) y Francis Ysidro Edgeworth (1845–1926). Precisamente este
´ultimo public´o en 1881 la obra Mathematical Psychics [22], en la que se hac´ıa un estudio de los
equilibrios competitivos en base a un principio de incertidumbre que iba reduci´endose a media
que aumentaba el n´umero de jugadores. Este tratado es el m´as relevante del s. XIX sobre Teor´ıa
de Juegos, llegando a ser la primera aparici´on de muchas de las nociones y procedimientos que
posteriormente en el s. XX se volver´an esenciales en dicho campo.
Con el inicio del s. XX comenzar´an las primeras aportaciones en publicaciones matem´aticas
de la Teor´ıa de Juegos, estableci´endose resultados formales y buscando el formalismo de los con-
ceptos y procedimientos. Ser´a el matem´atico y l´ogico alem´an Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo
(1871–1953) quien tenga el honor de inaugurar este per´ıodo con su art´ıculo de 1913 [85] sobre el
juego del ajedrez para el estudio de las posiciones ganadoras en dicho juego y de la correcta defi-
nici´on de estas posiciones desde la perspectiva de la matem´atica formal. Pese a contextualizar el
art´ıculo con el caso del ajedrez, en verdad, la formulaci´on y demostraciones que se presentan eran
v´alidas para cualquier juego con dos jugadores sin movimientos de oportunidad y con intereses
completamente enfrentados, permitiendo realizar infinitos movimientos, aunque en una cantidad
finita de posiciones.
Posteriormente, los matem´aticos h´ungaros D´enes K¨onig (1884–1944) y L´aszl´o Kalm´ar (1905–
1976) complementar´ıan dicho trabajo. El primero [45] generaliza el estudio permitiendo infinitas
posiciones en el juego, pero solo pudiendo alcanzar una cantidad finita de posiciones desde cada
posici´on. El segundo [43] da un paso m´as e incluye la posibilidad de no solo tener infinitas
posiciones, sino que tambi´en se puede alcanzar un n´umero infinito de posiciones desde cada
posici´on.
Entre 1921 y 1927, el matem´atico y pol´ıtico franc´es F´elix
´
Edouard Justin
´
Emile Borel (1871–
1956) establece los fundamentos de la teor´ıa de juegos psicol´ogicos [7, 8, 9, 10], dando la primera
formulaci´on matem´atica moderna de estrategia mixta, de estrategia pura y de b´usqueda de la
soluci´on minimax para juegos sim´etricos de dos jugadores con intereses completamente contra-
puestos y con 3 o 5 estrategias para cada jugador. Posteriormente, en 1928 [80], el matem´atico
austroh´ungaro (nacionalizado estadounidense) John von Neumann (1903–1957) demuestra el teo-
rema minimax independientemente del n´umero de estrategias para cada jugador (que s´ı ha de
ser una cantidad finita). Este trabajo incluye la definici´on formal de estrategia usada actualmen-
te e introduce la forma extensiva de un juego como ´arbol l´ogico enraizado (lo que permitir´a el
tratamiento matricial del juego con las matrices de adyacencia e incidencia del ´arbol).
La siguiente aportaci´on ser´a la que se acepta como la obra clave y referencia b´asica de la
Teor´ıa de Juegos: el libro Theory of Games and Economic Behavior que von Neumann publica
en 1944 [81] conjuntamente con el economista alem´an Oskar Morgenstern (1902–1977). Esta
obra aport´o el primer tratamiento riguroso y exhaustivo de los conceptos de juego, estrategia
y resoluci´on del mismo, as´ı como de la forma en que las preferencias de los jugadores pod´ıan
ser representadas. Adem´as de los juegos donde los jugadores tienen intereses completamente
contrapuestos (i.e. juegos no cooperativos de suma nula), la obra tambi´en consideraba los juegos
en los que la ganancia de un jugador no conlleva necesariamente p´erdida para el otro (i.e. los
juegos cooperativos de suma nula con recompensa transferible). Es m´as, la Teor´ıa de Juegos
permiti´o que la obra desarrollara una teor´ıa axiom´atica de la utilidad.
Debido al impacto de esta obra entre matem´aticos y economistas, las d´ecadas de 1950 y 1960
fueron un per´ıodo de investigaci´on intensa y exhaustiva en Teor´ıa de Juegos, con la aparici´on de
numerosos art´ıculos te´oricos y aplicados (estos ´ultimos sobre todo a cuestiones econ´omicas). En
este sentido, destaca la obra del matem´atico estadounidense John Forbes Nash Jr. (1928–2015)
con el estudio de juegos no cooperativos comenzado en su tesis doctoral [59] en 1950, en la que se
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 81
introdujo la noci´on de punto de equilibrio (ahora llamado equilibrio de Nash) probando su exis-
tencia, y la reducci´on del estudio de los juegos cooperativos mediante los juegos no cooperativos
[60, 61]. Tambi´en destaca el modelo te´orico desarrollado por el matem´atico polaco-estadounidense
Melvin Dresher (1911–1992) y el matem´atico estadounidense Merril Meeks Flood (1908–1991) en
1950 para el juego de cooperaci´on y conflicto conocido como el “Dilema del Prisionero” (v´ease
[24, 21]), cuyo formato actual y nombre lo recibi´o del matem´atico estadounidense Albert William
Tucker (1905–1995) en 1950 [74].
Es m´as, la Teor´ıa de Juegos fue clave durante la Guerra Fr´ıa, conllevando una amplia inves-
tigaci´on que hoy en d´ıa es fundamental y referencia b´asica, como por ejemplo el desarrollo de
los juegos repetidos o iterados desarrollados en el seno de la Agencia de Desarme y Control de
Armas de los Estados Unidos para las negociaciones de control armament´ıstico (v´ease [2]).
Hoy en d´ıa el reconocimiento de la Teor´ıa de Juegos se ha visto recompensado con la concesi´on
del Premio del Banco de Suecia en Ciencias Econ´omicas en memoria de Alfred Nobel a investi-
gaciones en el campo del An´alisis Econ´omico que se basaban en el uso de la Teor´ıa de Juegos.
As´ı, en 1994, fueron premiados el economista h´ungaro John Charles Harsanyi (1920–2000), el ya
mencionado John F. Nash y el economista alem´an Reinhard Justus Reginald Selten (1930–2016)
por sus aplicaciones de la Teor´ıa de Juegos al estudio de los equilibrios generales de tipo Nash
y sus usos en Econom´ıa. Posteriormente, en 2005, los premiados ser´ıan el economista estadouni-
dense Thomas Crombie Schelling (1921–2016) y el matem´atico israel´ı Robert John Aumann (n.
1930): el primero por su estudio de modelos din´amicos para analizar la cooperaci´on y conflicto,
dando lugar a la Teor´ıa de Juegos evolutiva; y el segundo por sus aportaciones al estudio de los
equilibrios. Dos a˜nos despu´es, en 2007, los matem´aticos y economistas estadounidenses Leonid
Hurwicz (1917–2008) y Roger Bruce Myerson (n. 1951) recibieron el galard´on, junto con el eco-
nomista estadounidense Eric Stark Maskin (n. 1950), por establecer los fundamentos de la teor´ıa
de dise˜no de mecanismos, una rama de la Teor´ıa de Juegos que en ocasiones ha sido denominada
Teor´ıa de Juegos Inversa, pues busca establecer las reglas de un posible juego que sea compa-
tible con las interacciones entre jugadores y las soluciones que se desean. Fue en 2012 cuando
nuevamente la Teor´ıa de Juegos fue premiada en las personas de los matem´aticos y economistas
estadounidenses Lloyd Stowell Shapley (1923–2016) y Alvin Elliot Roth (n. 1951) debido a sus
contribuciones en la teor´ıa de localizaciones estables y la pr´actica de dise˜no de mercados, basada
en el uso de herramientas de juegos cooperativos y no cooperativos. En 2014, el economista franc´es
Jean Tirole (n. 1953) recibi´o el Nobel por su an´alisis del poder de mercado de los oligopolios y
c´omo ´estos debieran ser regulados, utilizando para ello la Teor´ıa de Juegos, cuyo uso introdujo
en la organizaci´on industrial. Nuevamente la Teor´ıa de Juegos result´o premiada cuando el ga-
lard´on fue concedido a los matem´aticos y economistas Oliver Hart (n. 1948) y Bengt Holmstr¨om
(n. 1949), estadounidense el primero y sueco el segundo, por sus aportaciones a la teor´ıa de los
contratos (Hart por sus aportes esenciales en la teor´ıa de contratos incompletos, que permiten
determinar cu´al de los actores en el contrato ha de tomar la decisi´on en cada circunstancia acon-
tecida estableciendo herramientas te´oricas para ello y Holmstr¨om por establecer c´omo dise˜nar
un contrato ´optimo para afrontar el problema del agente-principal y evitar que un agente realice
acciones en contra de su jerarca). Tambi´en en 2017, los trabajos del galardonado, el economista
estadounidense Richard H. Thaler (n. 1945), se centraban en el campo de la teor´ıa de juegos
conductual, incorporando hip´otesis psicol´ogicas realistas para analizar la toma de decisiones en
econom´ıa y mostrar el modo en que una serie de rasgos humanos afectan sistem´aticamente tanto
a las decisiones individuales como a los rendimientos del mercado. Los ´ultimos galardonados con
este premio en el ´ambito de la teor´ıa de juegos han sido el economista estadounidense Robert
B. Wilson (n. 1937) y el matem´atico y economista estadounidense Paul R. Milgrom (n. 1948),
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
82 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
´
Angel F. Tenorio
ambos especialistas de esta disciplina y que fueron premiados por sus aplicaciones a la teor´ıa de
subastas (una subdisciplina de la teor´ıa de juegos) y dise˜nar matem´aticamente nuevos formatos
de subasta.
En un juego, los jugadores deben hacer uso de estrategias, las cuales no son m´as que planes
de acci´on para tomar decisiones en el futuro. Cada posible combinaci´on de estrategias en el juego
tiene asociado un peso indicando la recompensa (que se mide en beneficios o p´erdidas) para los
jugadores. La expresi´on tradicional de estas recompensas correspond´ıa al uso de una matriz, deno-
minada matriz de pagos o de recompensas, en las que se recogen todas las posibles estrategias que
puede emplear un jugador con sus correspondientes recompensas. Esta forma, denominada forma
normal o estrat´egica del juego, facilita la identificaci´on tanto de las estrategias estrictamente
dominadas (las que pierden siempre) como de los equilibrios de Nash en dichos juegos. Para
usar este tipo de representaci´on, se parte del hecho que los jugadores act´uan en simult´aneo
desconociendo las elecciones que van a tomar los otros jugadores. De hecho, la formulaci´on para
N jugadores parte del hecho que cada combinaci´on de estrategias de los N jugadores viene dada
por una N-tupla en la que la recompensa del jugador i-´esimo aparece en la coordenada i-´esima
de la tupla. En concreto, cuando tenemos dos jugadores, aparece una distribuci´on matricial en el
sentido habitual en el que las filas registran las estrategias del jugador 1 y las columnas, las del
jugador 2; tal y como ilustra la Tabla 1.
Cuadro 1: Ejemplo de juego en forma normal (matricial) para dos jugadores.
Jugador 1 / Jugador 2
Estrategia A
de Jugador 2
Estrategia B
de Jugador 2
Estrategia A
de Jugador 1
(4,4) (2,3)
Estrategia B
de Jugador 1
(3,2) (1,1)
Si el juego considera m´as de dos jugadores, podemos volver a obtener una expresi´on normal
(matricial) en la que las filas representan las estrategias de un jugador fijado y las columnas
registran todas las combinaciones de estrategias que pueden realizar el resto de jugadores, tal y
como puede observarse en la Tabla 2.
Cuadro 2: Matriz de un juego en forma normal desde la perspectiva de un jugador.
Jugador 1 / Resto Jugadores
Combinaci´on A
resto jugadores
Combinaci´on B
resto jugadores
Combinaci´on C
resto jugadores
Estrategia A
de Jugador 1
(4,4,4) (2,3,2) (1,2,1)
Estrategia B
de Jugador 1
(3,2,3) (2,1,1) (1,1,1)
Ejemplo de los juegos que pueden expresarse en forma normal es el caso de los juegos biper-
sonales finitos de suma nula: dos jugadores que disponen de un n´umero finito de estrategias y
tal que las coordenadas de toda 2-tupla en la matriz de pago suman 0. En estos juegos, solo un
jugador puede salir beneficiado, obteniendo su beneficio a expensas del otro jugador. Ese es el
caso del ajedrez, las damas, el go o el juego “piedra–papel–tijeras”. En este ´ultimo juego existen
tres estrategias posibles para cada jugador, siendo su expresi´on matricial la que aparece en la
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
Un breve recorrido hist´orico por el ´algebra lineal y algunas de sus aplicaciones a la econom´ıa 83
Tabla 3.
Cuadro 3: Matriz de pagos para el juego “piedra–papel–tijeras”.
Jugador 1 / Jugador 2
Jugador 2 saca
PIEDRA
Jugador 2 saca
TIJERAS
Jugador 2 saca
PAPEL
Jugador 1 saca
PIEDRA
(0,0) (1,−1) (−1,1)
Jugador 1 saca
TIJERAS
(−1,1) (0,0) (1,−1)
Jugador 1 saca
PAPEL
(1,−1) (−1,1) (0,0)
Este juego no tiene ning´un equilibrio de estrategia pura de Nash ya que no existe estrategia
que asegure minimizar las p´erdidas, puesto que cualquier estrategia de este juego vence a una
segunda estrategia y es vencida por una tercera. Esto puede observarse directamente en la matriz
porque, para cada fila (resp. columna), la primera coordenada (resp. la segunda) de los pagos no
es siempre mayor o igual que la segunda (resp. la primera). Por lo tanto, el jugador no puede
elegir una estrategia que le asegure ganar o, al menos, que sus posibles ganancias sean mayores
que sus posibles p´erdidas.
Para disponer de equilibrios del tipo antes mencionado en un juego de las caracter´ısticas ya
vistas, ser´ıa necesario bien disponer de filas (y/o columnas) con una mayor cantidad de 1 que de
−1 en la coordenada de ese jugador o bien tener pesos cuyas coordenadas no se limiten a valores
de Z
3
; en este ´ultimo caso, se podr´ıa ver si una estrategia es m´as o menos beneficiosa seg´un le d´e
al jugador mayores o menores posibilidades de ganancias. As´ı, un ejemplo de estos ´ultimos ser´ıa
un juego cuya forma normal viniese dada por la Tabla 4.
Cuadro 4: Juego con pesos tomando valores enteros.
Jugador 1 / Jugador 2
Estrategia A
de Jugador 2
Estrategia B
de Jugador 2
Estrategia C
de Jugador 2
Estrategia 1
de Jugador 1
(30,−30) (−10,10) (20,−20)
Estrategia 2
de Jugador 1
(10,−10) (20,−20) (−20,20)
En el caso de la estrategia 1 del jugador 1, tiene la opci´on de ganar 30 frente a la de perder 20;
mientras que en la estrategia 2, ha de comparar una ganancia de 20 frente a una p´erdida tambi´en
de 20. En consecuencia, la estrategia 1 parece la m´as aconsejable, puesto que adem´as presenta
mismas posibilidades de ganar que de perder (2 a 1) y tiene mayor margen de ganancias. Sin
embargo, el jugador 2 deber´ıa elegir la estrategia C, puesto que la opci´on B conlleva un menor
margen de ganancias con el mismo margen de p´erdidas y la opci´on A siempre le causa p´erdidas.
Por tanto, el punto de equilibrio usando estrategia pura vendr´ıa dado por la elecci´on de la
estrategia 1 por el jugador 1 y de la estrategia C por el jugador 2.
El ejemplo cl´asico para explicar los equilibrios puros en los juegos consiste en el “Dilema del
Prisionero”. En este juego, los jugadores son dos personas detenidas que est´an aisladas una de la
otra y se les ofrece a cada una denunciar a la otra para reducir su condena, ya que sus testimonios
son necesarios para sustentar las pruebas disponibles. Los dos detenidos podr´ıan cooperar, con
lo que sus condenas ser´ıan menores por ausencia de pruebas para el delito principal. La matriz
de pagos de este juego ser´ıa la dada en la Tabla 5.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 22, No. 1 (2021), pp. 64–89
84 Ana M. Mart´ın-Caraballo - Concepci´on Paralera-Morales -
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Angel F. Tenorio
Cuadro 5: Forma normal del “Dilema del Prisionero”, considerando la coordenada i como el
n´umero de a˜nos de condena que le corresponder´ıan al jugador i.
Persona 1 / Persona 2
Persona 2 coopera Persona 2 denuncia
Persona 1 coopera
(1,1) (3,0)
Persona 1 denuncia
(0,3) (2,2)
Ante esta situaci´on, cada detenido tiene como opci´on callarse (y cooperar con su compa˜nero)
o denunciarlo. Si coopera, el detenido tendr´a que ir a la c´arcel entre 1 y 3 a˜nos, dependiendo
respectivamente de que su compa˜nero tambi´en se calle o de que, por el contrario, lo denuncie.
Sin embargo, si el detenido denuncia, entonces podr´ıa quedar libre y toda la condena ir´ıa al otro
detenido. Por tanto, la mejor opci´on para cualquiera de los dos detenidos es la denuncia, ya que:
a) si el otro coopera, ´el se ir´a libre; y b) si el otro tambi´en denuncia, entonces ver´a reducida su
condena de 3 a˜nos a solo 2. Es decir, el punto de equilibrio se tiene en la denuncia mutua.
4 Conclusiones
En este trabajo hemos hecho un recorrido por los principales eventos e hitos en la aparici´on
y formalizaci´on de los conceptos de matriz y determinante, mostrando las dificultades que han
acarreado la formalizaci´on y correcto uso de estos conceptos, mostrando adem´as su aparici´on
desde mucho tiempo atr´as en varias civilizaciones antiguas y desde una perspectiva m´as aplicada y
basada en la b´usqueda de un procedimiento que les permitiese resolver ciertos problemas de ´ındole
econ´omico. En este sentido, hemos visto que la aplicaci´on de matrices (aunque no recibieran ese
nombre) para la resoluci´on de problemas econ´omicos ya se llevaba a cabo en civilizaciones como
las existentes en la Antigua India y China; aunque siempre usando dichas nociones de manera
impl´ıcita. De este modo, hemos expuesto c´omo una necesidad pr´actica conllevaba la aparici´on
de un procedimiento matem´atico para su resoluci´on basado en herramientas te´oricas potentes y
actuales; aunque sin formalizar su fundamentaci´on. Hecho esto hemos revisado las distintas etapas
hist´oricas que han tenido lugar para el surgimiento de las nociones de determinante y matriz. Con
ello, se ha podido constatar la consolidaci´on de las matem´aticas occidentales europeas desde la
perspectiva del ´algebra matricial y, por extensi´on, lineal, convirti´endose en herramienta esencial
para el conocimiento matem´atico (tanto te´orico como aplicado) de los siglos XX y XXI.
Siguiendo a la exposici´on hist´orica del
´
Algebra Lineal, hemos descrito varios problemas econ´omi-
cos que pueden modelizarse por medio de la teor´ıa de matrices y sus operaciones. En este sentido,
hemos tratado tanto el An´alisis input-output como la Teor´ıa de Juegos para ejemplificar proble-
mas econ´omicos cuyo tratamiento estuviese fuertemente basado en el uso de matrices.
En vista de todo lo comentado, creemos que hemos mostrado la fuerte vinculaci´on existente
entre el ´algebra matricial (y lineal) y un buen n´umero de problemas econ´omicos, resultando una
herramienta esencial para el tratamiento de problemas en las Ciencias Econ´omicas, en particular,
y en las Sociales, en general.
Referencias
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